圆中的计算垂径定理教学设计【内容分析】垂径定理及其推论是圆的性质部分非常重要的定理。

垂径定理为圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在中考考点上属于高频考点。

垂径定理的学习无论从知识上，还是从学生能力的培养及学习信心的提升都起着重要的作用。

【学情分析】学生是我自己所任教班级的学生，整体学习能力薄弱，中下生若多。

他们在初三上学期已经完成垂径定理的学习，在运用定理方面仍不够灵活、熟练，又因为圆的知识点长时间运用，遗忘率很高。

学生的基础弱，遇到不懂的题目，容易放弃，他们的自信心明显不足，大部分学生口头语言表达能力较弱，自我探索解题思路欠缺，分析问题需要老师引导。

目前，有大部分学生，肯在老师的引导下，努力解题，由被动转向主动学习。

【教学目标】1.进一步熟悉垂径定理及其推论的应用；2.通过教学，提高学生分析基本图形、添加适当的辅助线探索解题思路的能力；通过把实际问题转化一个数学问题，了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力；3.通过练习，总结常用解题方法，渗透方程、构造直角三角形等数学思想；4. 学会与同学交流合作，培养团队精神，体验学习过程中成功的快乐，增强学习数学的信心和热情。

【教学重点】1.垂径定理及其推论的灵活运用；2.定理应用过程的方法提炼和计算能力的训练提升。

【教学难点】添加辅助线和把实际问题转化成数学问题，并用定理及其推论解决问题。

【任务分析】学生中下面较广，知识点掌握不牢固，遗忘率很高。

通过感知基础图形，动手画变式图形，达到巩固垂径定理，从而用垂径定理解决圆中有关计算。

【教学策略】引入采用启发、类比，教学过程采用变式训练、分组训练、数学建模。

【教学过程】一、引入1.确定垂径定理基本图形师：我们今天复习的内容是圆。

（老师在黑板上画圆）CD不垂直于AB CD⊥AB于点E CD∥AB 图（1）图（2）图（3）利用图（1）与图（2）图形结构的对比，确定垂径定理基本图形。

师：图（2），是垂径定理的基本图形。

这就是今天我们复习的主角——垂径定理。

根据图（2），同学们来说一下垂径定理图中有那些相等的量。

条件：①AB是直径；②AB⊥CD结论：③CE=DE；④弧AC=弧AD；⑤弧BC=弧BD.让学生自行用数学符号语言表述这一结论(垂径定理)，最后提炼出垂径定理的文字表述——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意：定理中的两个条件缺一不可——过圆心的直线，垂直于弦．师：垂径定理体现了直径、弦、弧三者之间的关系，直径①AB是直径；②AB⊥CD弦（非直径的弦）③CE=DE弧④④弧AC=弧AD；⑤弧BC=弧BD例如：条件：①AB是直径；②CE=DE结论：③AB⊥CD；④弧AC=弧AD；⑤弧BC=弧BD垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.5个条件，①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧。

（当以②、③为题设时，“弦”不能是直径。

），知道2个条件，从而得到另外3个条件成立，我们简称垂径定理——“知二推三”。

2．垂径定理应用1. 在⊙O 中， CD=8，圆心O 到CD 的距离（即弦心距）为3，则半径长为 52.在⊙O 中，半径OC=5，弦CD 的长为8，则OE= 33. 在⊙O 中，半径OC=5，OE= 3，则弦CD 的长为 8垂径定理的简单运用后，圆中半径、弦心距及弦长三者有何关系？ r 2=d 2+（2l ）2 半径2=圆心距2+（21弦长）2 根据此公式，在l ，r ，d 三个量中，知道任何两个量就可以求出第三个量。

设计意图：利用变式训练，加深学生对定理本质的了解，总结规律，培养学生的归纳总结能力。

利用垂径定理求直径(半径)、弦或弦心距的长度1. 如图（1），在⊙O ，AB ⊥CD 于P ，弦CD=16 ，OP=6，则半径的长是 ．析解：连接OD ,因为AB ⊥CD 于P ， 所以由垂径定理可得8162121=⨯==DC DP . 在Rt △DOP 中，由勾股定理可得OD=10图（1）2. 如图（2），⊙O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于析解：连接OA ,因为OC AB ⊥于C ， 所以由垂径定理可得AC =118422AB =⨯=. 在Rt △AOC 中，由勾股定理可得OC =2222543OA AC -=-= 图（2）3. 如图（3），⊙O 的半径为20，︒=∠120AOB ，则弦AB= S △AOB = 解析：过点O 作OC ⊥AB 于C ，则AC=BC ，∠AOC=∠BOC=60°．COABECDＢＡ ·OＢＡ·O∴∠OAC=30O OC=1021=AO 根据勾股定理 3=AC 或 在Rt △AOC 中，sin60°=AOAC∴AC=AOsin60°=2×323= 图（3） ∴AB=32 ∴S △AOB =31010322121=⨯⨯=⋅OC AB4. 如图（4），AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，如果AB=10，CD=8，那么AE 的长为______． 解析：∵ AB=10，∴⊙O 的半径为5，根据垂径定理可知DE=421=CD 在Rt △DOE 中，∠DEO=90°，OD=5，DE=CD 21=4， 根据勾股定理得：OE=3，则求得的AE=2．图（4）5. 如图（4）， AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，如果CD=8，AE=2，那么OE 的长为 解析：设OD=x ，则OE=x-2，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB,CD=8，∴DE=4根据勾股定理 42+(x-2)2=x 2解得x=5, ∴OE=36. 如图（5）AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为E ，连接OC ，若cosC=54,CD=8，则OE= 解析：∵ AB 为直径，AB ⊥CD ， ∴ CE=DE∵ CD=8 ∴ CE ＝421=CD ∵ cosC=54∴ 54cos ==CO CE C∴ CO=5∴ OE= 3 图（5）设计意图：熟悉常用的辅助线方法：连半径，作弦心距，与弦的一半构造直角三角形，利用勾股定理求解或方程思想等解决问题。

已知：直径，弦长，弦心距，拱高四者知其二，既可以根据勾股定理求出另外的两个量。

例1：如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长（1）方法一:证明：∵AB=AC∴弧AB=弧AC∵AD是⊙O的直径∴BE=CE方法二：证明：∵AD是直径，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；（2）答：四边形BFCD是菱形．证明：∵AD是直径，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，在△BED 和△CEF 中，∴△BED ≌△CEF ， ∴CF=BD ，∴四边形BFCD 是平行四边形， ∵∠BAD=∠CAD ， ∴BD=CD ，∴四边形BFCD 是菱形； （3）解：连接OB∵AD 是直径，AD=10 ∴5==OD OA ∵AD ⊥BC ，BE=CE=421=AD ， 在Rt △OBE 中，3452222=-=-=BE OB OE ∴DE=OD-OE=5-3=2在Rt △CED 中， CD===2．设计意图：进一步熟悉垂径定理及其推论的应用。

三、课堂小结师：通过本节课的学习，你对垂径定理又有哪些新的认识？收获？通过本节课的复习，我们又重新梳理了直径与弧、弦之间的关系定理——垂径定理及推论，以及圆的一些基本知识，圆心角、圆周角。

通过学习，我们知道解决垂径定理题目的方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合可以计算弦长、半径、弦心距等问题，关键是构造直角三角形——连半径或作弦心距；(2)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．基础练习：1、（2013•广州）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，⊙P 与x轴交于O ，A 两点，点A 的坐标为（6，0），⊙P 的半径为13，则点P 的坐标为_ （3,2））第1题 第2题 第3题 第4题 2、如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD＝40°,则∠DCF 等于 400. 3、如图,AB 为⊙O 的直径,E 是弧BC 的中点，OE 交弦BC 于点D.已知BC=8,AB=10,则DE 的为 2 .4、如右图，在△ABC 中，⊙O 是它的外接圆，OD ⊥AB 于D , OE ⊥AC 于E.若 DE=3 ,则BC= 6 。

5、已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是（ C ）A ．33 B. 93 C. 183 D. 363 6. 如图，AB 为⊙O 直径，已知为∠DCB=20o,则∠DBA 为（ D ） A ．o50 B. o20 C. o60 D. o707.如图所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB 是（ C ） A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.以上答案都不对第（6）题 第（7）题 第（8）题7. 如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB ＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围 3≤OP ≤59.在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为_1cm 或7cm______ _.DCＢＡ O·10. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，求这段弯路的半径多少？.解：∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴AD ＝150m.设半径为R ，则OD=R-50 根据勾股定理可列方程 R 2＝(R －50)2＋1502， 解得R ＝250答：这段弯路的半径为250m11.(2016.南沙) 如图，AB 是⊙O 的一条弦，AB OD ⊥，垂足为点C ， 交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上． (1)若52=∠AOD ，求DEB ∠的度数； (2)若6,3==OA OC ，求DEB ∠tan 的值． 解：(1)连接OB .∵OD ⊥AB ，∴. ⌒AD =⌒BD∴∠AOD ＝∠BOD ＝52° ∴∠DEB ＝12∠BOD ＝12×52°＝26°.(2)∵OD ⊥AB ，6,3==OA OC∴∠OAC=30°，∠OAD=60°，AC=33∵∠DEB ＝12∠AOD=30°∴33tan tan =∠=∠OCA DEB。