哈 尔
f
y
(
x0
,
y0
)表示曲面z
f (x, y)
滨 工 程
与平面x x0的交线在点P0的
z
z f (x, y)
大 学
切线对Oy轴的斜率.
z f (x, y)
S
2
:
x
x0
高 等 数 学
f tan
y M0
P0
•
O
•
M0 ( x0 , y0 )
y
T
x
❖ 高阶偏导数
哈 如果偏导函数 f (x, y) 和 f (x, y)的偏导数也
大
学 在空间直角坐标系Oxyz中, z f (x, y)表示一张曲面S.
高 等
用平面y y0去截曲面S,得交线为平面曲线 1,
数
学
1 :
z f (x, y)
y
y0
,
即z f ( x, y0 ).
从而, fx( x0 , y0 )表示曲线z f ( x, y0 )上点P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切线对Ox轴的斜率.
第八章 多元函数微分法
哈
尔 滨
第二节 偏导数
工
程
大 学
学习要点
高 等
理解偏导数的概念
数
学
熟练掌握偏导数的计算
❖ 偏导数的定义
哈 设函数 z f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 点的某邻域 U (P0 )
尔 滨 工
内有定义 , 当y固定在y0，而x在x0处有增量x时,
程 大
相应地函数有增量
x2 y2 (x2 y2 )2
0.
❖ 可偏导与连续的关系
哈 [问题]: 二元函数f ( x, y)在点( x0 , y0 )偏导数存在,
尔 滨
f 在这点是否连续？
工
程 大
若f (x, y)在点( x0 , y0 )连续，f 在这点偏导数
学
是否存在？
高
等 数
二元函数在一点的连续性与可导性(两个偏导是
哈 尔 滨 工 程 大 学 高 等 数 学
x
z f (x, y)
z
z f (x, y)
1
:
y
y0
S • P0
O
•
M0(x0, y0 )
N
f tan
y x M0
fx( x0 , y0 )表示z f ( x, y) 与y y0的交线在P0处的 切线对Ox轴的斜率.
类似得f
y
(
x0
,
y0
)的几何意义.
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
学
高 等
若 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 存在,则称此极限
x0
x
数 学
为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x 的偏导数,
记为 :
fx( x0 , y0 ), z , x ( x0 , y0 )
学 否存在)没有关系!!!
对于多元函数f (P )而言,即使它在P0点的对各个自 变量的偏导数都存在,也不能保证f (P )在P0连续.
所谓曲面在M
0连续,
也就是
lim
P P0
f (P)
f (P0 ).
哈 尔 滨
记作
z y
，f y
，zy或f
y(
x
,
y).
工 程
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
大
学
如u=f(x, y, z) 在(x, y, z)处
高
等 数 学
f x( x ,
y, z)
lim
x0
f (x
x,
y, z) x
f (x,
y, z) ,
f y( x,
y, z)
lim
y0
f (x,
y y, z) y
y2 2
在点
M
(1,1,
3 2
)处的
滨
工 程
切线与 y轴正向的夹角 .
大
学
解 由偏导的几何意义,
高 等 数 学
tan z
d
(12
y2 )
1
y (1, 1) dy
2 y1
4
例3 验证函数 z ln x2 y2 满足拉普拉斯方程
哈 尔
zxx zyy 0.
滨 工 程 大
解
z
1 ln( x 2 2
尔 滨
x
y
工 程
存在,则称它们是f (x, y)的二阶偏导数,
大
学 f 关于x的二阶偏导数
高 等 数 学
z x x
2z x 2
zxx
fxx ( x, y),
f 关于y的二阶偏导数
y
z y
2z y2
zyy
f yy ( x, y);
f 先对x后对y的二阶混合偏导数
哈 尔 滨
y
z x
2z xy
zxy
fxy ( x, y),
工
程 大
f 先对y后对x的二阶混合偏导数
学
高 等 数
x
z y
2z yx
zyx
f yx ( x, y).
学
定理 : (混合偏导数定理)
如果函数 f ( x, y)的两个二阶混合偏导数fxy , f yx 连续, 那麽就有fxy f yx
例 1. 求z x2 3x y y2在点(1,2)处的偏导数.
z
或 f
x ( x0 , y0 )
x ( x0 , y0 )
同理可以定义函数z f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 处对于
y 的偏导数:
哈
尔 滨 工 程
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
大
学
记为 f y( x0 , y0 ), z , y ( x0 , y0 )
z y
或 f y
高
( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
等
数 学
如果函数z
f (x, y)在区域D内任意一点(x, y)处对
x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x, y的函数,
称为z f (x, y)对自变量x的偏导数,记作
z , f , x x
zx ,
fx(x, y)
函数z f (x, y)对自变量y的偏导数，
哈 尔 滨
2. 设z x y ,求 z 和 z . x y
工
程
大 学
3. u
z
y x
,
求ux
,
uy
,
uz
高
等 数
4. 设 z exy ,求二阶偏导数.
学
5. z f (x2 y2 ),求zxx 6.已知x y z 0,求 z y x
x z y
哈 尔
例2
求空间曲线
z
x2
x 1
y2 ),
z xΒιβλιοθήκη x2x y2
,
z y
x2
y
y2
;
学
2z (x2 y2) x2x y2 x2
高 等 数
x 2 ( x 2 y2 )2 ( x 2 y2 )2 ;
学
由 x, y 的对称性,
2z x2 y2 y2 ( x 2 y2 )2 ;
2z x 2
2z y2
y2 x2 (x2 y2 )2
f
(x,
y, z) ,
fz( x,
y, z)
lim
z0
f (x,
y, z z) z
f (x,
y, z) .
❖ 偏导数的几何意义
哈 尔
由于f x (
x0
,
y0
)
d dx
f ( x, y0 ) xx0 ,故只需弄清一元函数
滨
工 程
f ( x, y0 )的几何意义，就可以得到fx ( x0 , y0 )的几何意义.