《信号与系统》（第四版）习题解析高等教育出版社2007年8月目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (24)第5章习题解析 (32)第6章习题解析 (42)第7章习题解析 (50)第8章习题解析 (56)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。
[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t)表示将f ( t )波形展宽。
](a) 2 f ( t - 2 ) (b) f ( 2t )(c) f ( 2t)(d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。
图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i Lt u L L d )(d )(= ⎰∞-=tC C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。
S RS LS C题1-4图解 系统为反馈联接形式。
设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有)()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T == )()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
1-6 判断下列方程所表示的系统的性质。
(1) ⎰+=tf t t f t y 0d )(d )(d )(ττ (2) )()(3)()(t f t y t y t y '=+'+''(3) )(3)()(2t f t y t y t =+' (4) )()()]([2t f t y t y =+'解 (1)线性；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。
1-7 试证明方程)()()(t f t ay t y =+'所描述的系统为线性系统。
式中a 为常量。
证明 不失一般性，设输入有两个分量，且)()()()(2211t y t f t y t f →→，则有)()()(111t f t ay t y =+' )()()(222t f t ay t y =+' 相加得)()()()()()(212211t f t f t ay t y t ay t y +=+'++' 即[][])()()()()()(d d212121t f t f t y t y a t y t y t+=+++ 可见)()()()(2121t y t y t f t f +→+即满足可加性，齐次性是显然的。
故系统为线性的。
1-8 若有线性时不变系统的方程为)()()(t f t ay t y =+'若在非零f ( t )作用下其响应t t y --=e 1)(，试求方程)()(2)()(t f t f t ay t y '+=+'的响应。
解 因为f ( t ) →t t y --=e 1)(，由线性关系，则)e 1(2)(2)(2t t y t f --=→由线性系统的微分特性，有t t y t f -='→'e )()(故响应t t t t y t f t f ----=+-=→'+e 2e )e 1(2)()()(2第2章习题解析2-1 如图2-1所示系统，试以u C ( t )为输出列出其微分方程。
题2-1图解 由图示，有tu C R u i d d C C L +=又⎰-=tt u u Li 0C S L d )(1 故CC C S )(1u C Ru u u L ''+'=- 从而得)(1)(1)(1)(S C C Ct u LCt u LC t u RC t u =+'+''2-2 设有二阶系统方程0)(4)(4)(=+'+''t y t y t y在某起始状态下的0+起始值为2)0(,1)0(='=++y y试求零输入响应。
解 由特征方程λ2 + 4λ + 4 =0得 λ1 = λ2 = -2 则零输入响应形式为t e t A A t y 221zi )()(-+=由于y zi ( 0+ ) = A 1 = 1 -2A 1 + A 2 = 2所以A 2 = 4故有0,)41()(2zi ≥+=-t e t t y t2-3 设有如下函数f ( t )，试分别画出它们的波形。
(a) f ( t ) = 2ε( t -1 ) - 2ε( t -2 ) (b) f ( t ) = sin πt [ε( t ) - ε( t -6 )]解 (a)和(b)的波形如图p2-3所示。
图p2-32-4 试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。
题2-4图解 (a) f ( t ) = ε( t ) - 2ε( t -1 ) + ε( t -2 ) (b) f ( t ) = ε( t ) + ε( t -T ) + ε( t -2T )2-5 试计算下列结果。
(1) t δ( t - 1 )(2) ⎰∞∞--t t t d )1(δ(3) ⎰∞--0d )()3πcos(t t t δω (4) ⎰+---003d )(e t t t δ解 (1) t δ( t - 1 ) = δ( t - 1 )(2) 1d )1(d )1(=-=-⎰⎰∞∞-∞∞-t t t t t δδ (3) 21d )()3πcos(d )()3πcos(00=-=-⎰⎰∞∞--t t t t t δδω(4) 1d )(d )(e d )(e 00003003===-⎰⎰⎰+-+-+---t t t t t t t t δδδ2-6 设有题2-6图示信号f ( t )，对(a)写出f ' ( t )的表达式，对(b)写出f " ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。
题2-6图解 (a)20,21≤≤tf ' ( t ) = δ( t - 2 )， t = 2-2δ( t - 4 )， t = 4(b) f " ( t ) = 2δ( t ) - 2δ( t - 1 ) - 2δ( t - 3 ) + 2δ( t - 4 )图p2-62-7 如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i 和u L ，对(b)求冲激响应u C 和i C ，并画出它们的波形。
题2-7图解 由图(a)有Ri t u tiL-=)(d d S 即)(1d d S t u Li L R t i =+ 当u S ( t ) = δ( t )，则冲激响应)(e 1)()(t Lt i t h tL Rε⋅==-则电压冲激响应)(e )(d d )()(L t LR t t i L t u t h tL Rεδ⋅-===-对于图(b)RC 电路，有方程Ru i t u CC S C d d -=即S C C11i Cu RC u =+' 当i S = δ( t )时，则)(e 1)()(C t Ct u t h RC tε⋅==-同时，电流)(e 1)(d d C C t RCt t u C i RCtεδ⋅-==-2-8 设有一阶系统方程)()()(3)(t f t f t y t y +'=+'试求其冲激响应h ( t )和阶跃响应s ( t )。
解 因方程的特征根λ = -3，故有)(e )(31t t x t ε⋅=-当h ( t ) = δ( t )时，则冲激响应)(e 2)()]()([)()(31t t t t t x t h t εδδδ⋅-=+'*=-阶跃响应)()e 21(31d )()(30t h t s t t εττ-+==⎰2-9 试求下列卷积。
(a) δ( t ) * 2(b) ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) (c) t e -t ⋅ε( t ) * δ' ( t )解 (a) 由δ( t )的特点，故δ( t ) * 2 = 2(b) 按定义ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) =⎰∞∞---+ττετεd )5()3(t考虑到τ < -3时，ε( τ + 3 ) = 0；τ > t -5时，ε( t -τ - 5 ) = 0，故ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) =2,2d 53>-=⎰--t t t τ也可以利用迟延性质计算该卷积。
因为ε( t ) * ε( t ) = tε( t )f1( t-t1 ) * f2( t-t2 ) = f( t-t1-t2 )故对本题，有ε( t + 3 ) * ε( t- 5 ) = ( t + 3 - 5 )ε( t + 3 - 5 ) = ( t- 2 )ε( t- 2 )两种方法结果一致。
(c) t e-t⋅ε( t ) * δ'( t ) = [t e-tε( t )]' = ( e-t-t e-t )ε( t )2-10对图示信号，求f1( t ) * f2( t )。
题2-10图解(a)先借用阶跃信号表示f1( t )和f2( t )，即f1( t ) = 2ε( t ) - 2ε( t- 1 )f2( t ) = ε( t ) -ε( t- 2 )故f1( t ) * f2( t ) = [2ε( t ) - 2ε( t- 1 )] * [ε( t ) -ε( t- 2 )]因为ε( t ) * ε( t ) = ⎰t0d1τ= tε( t )故有f1( t ) * f2( t ) = 2tε( t ) - 2( t- 1 )ε( t- 1 ) -2( t- 2 )ε( t- 2 ) + 2( t- 3 )ε( t- 3 ) 读者也可以用图形扫描法计算之。