中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案06年A 卷评分阅卷人1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx ex 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分) 评分阅卷人6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-e p xx dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若22223111x y I x y dxdy +≤=--⎰⎰,222232121x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,222233241x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I>>(C) 123I I I << (D) 213I I I<<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)评分评分评阅人11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.评分评阅人12、求二重极限 11lim222200-+++→→y x y x y x .评分评阅人13、),(y x z z =由xy e z z=+确定，求y x z∂∂∂2.评分评阅人14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.评分评阅人15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .评分评阅人16、计算二重积分22()D xy dxdy+⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.评分评阅人17、解微分方程x y y +'=''.评分评阅人18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.评分评阅人19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.评分评阅人20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=， 求最优广告策略.四、证明题(每小题5分,共10分) 评分评分评阅人21、设1133ln()z x y =+，证明：13z z xy x y ∂∂+=∂∂.评分评阅人22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.06年B 卷一、填空题(每小题3分,共15分)评分阅卷人1、设22(,)yf x y x y x -=-，则=),(y x f _____________.2、已1()2πΓ=知，则5()2Γ＝___________.3、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值，则常数 ________a = .4、已知)arctan 4(),(y x y x y x f +++=,则=')0,1(x f ________.5、以xx e C e C y 321+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是__________________.二、选择题(每小题3分,共15分) 评分阅卷人6、已知dx e p x⎰∞+- 0 与⎰e p xx dx 1 ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 0>p (B) 0<p (C) 1<p (D) 10<<p7、对于函数22(,)f x y x y =-,点(0,0)( ).(A) 不是驻点 (B) 是驻点而非极值点 (C) 是极大值点 (D) 是极小值点8、已知21()D I x y d σ=+⎰⎰,32()D I x y d σ=+⎰⎰,其中D 为22(2)(1)1x y -+-≤,则( ).(A) 12I I = (B) 12I I > (C) 12I I < (D) 2212I I =9、方程xxe y y y 265=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) x e b ax y 2)(+=(C) x e bx ax y 22)(+= (D)xe bx ax y 223)(+=10、级数∑∞=-12)1(n nnna 收敛，则级数∑∞=1n na( ).(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不定三、计算题(每小题6分,共60分)评分评分评阅人11、求3x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.评分评阅人12、求二重极限)1sin 1sin(lim 00xy y x y x +→→.评分评阅人13、设xy y x z -+=1arctan,求22x z ∂∂.评分评阅人14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y xy =在满足条件1x y +=下的极值.评分评阅人15、计算⎰⎰11ded yxx xy.评分评阅人16、计算二重积分22Dx y dxdy+⎰⎰,其中D是由y轴及圆周22(1)1x y+-=所围成的在第一象限内的区域.评分评阅人17、解微分方程0='+''y y x .评分评阅人18、判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛12!n nn n 的敛散性.评分评阅人19、将函数x x f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数.评分评阅人20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x 单位甲产品,生产y 单位乙产品的总费用为2220300.1(223)100x y x xy y ++-++,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.四、证明题(每小题5分,共10分) 评分评分评阅人21、设222ln z y x u ++=,证明222222z uy u x u ∂∂+∂∂+∂∂=2221x y z ++.07年A 卷一、填空题(每小题3分,共15分) 评分阅卷人1、设)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z=，则=z .2、计算广义积分⎰∞+ 13x dx= .3、设xye z =，则=)1,1(dz .4、微分方程xxe y y y 265=+'-''具有 形式的特解.5、设14n n u ∞==∑，则11122n n n u ∞=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑_________二、选择题(每小题3分,共15分)评分阅卷人6、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为( ).(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D)不存在7、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的( ).(A) 必要非充分的条件 (B) 充分非必要的条件 (C) 充分且必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件8、由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是( ).(A) d d θπr r r42202-⎰⎰(B)12204d 4d r rπθ-⎰⎰(C) 212d 4d r rπθ-⎰⎰(D)442012d d θπr r r-⎰⎰9、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1，xe y =2，xe y 23=，则其通解为( ).(A) xx e C e C x 221++ (B) x x e C e C x C 2321++(C) )()(221x x x e x C e e C x -+-+ (D))()(2221x e C e e C xx x -+-10、无穷级数∑∞=--11)1(n pn n (p 为任意实数) ( ).(A) 收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 无法判断三、计算题(每小题6分,共60分) 评分评分评阅人11、求极限00lim11x y xy xy →→+-.评分评阅人12、求由x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.评分评阅人13、求由xyz e z=所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ∂∂∂∂.评分评阅人14、求函数322(,)42f x y x x xy y =-+-的极值.评分评阅人15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=.若提供的广告费用为5.1万元,求相应的最优广告策略.评分评阅人16、计算积分⎰⎰D d x y σ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域.评分评阅人17、已知连续函数)(x f 满足⎰+=xx x xf dt t f 0)(2)(，且0)1(=f ，求)(x f .评分评阅人18、求解微分方程212y y y '-+''=0.评分评阅人19、求级数31(2)n n x n ∞=-∑的收敛区间.评分评阅人20、判定级数∑∞=⋅1!)2sin(n n n x 是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛.四、证明题(每小题5分,共10分) 评分评分评阅人21、设正项级数1nn u∞=∑收敛,证明级数11n n n u u ∞+=∑也收敛.评分评阅人22、设)(22y x f yz -=,其中)(u f 为可导函数, 证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂一、填空题(每小题3分,共15分)评分阅卷人1、设()z x y f y x =++-，且当0x =时，2z y =，则=z .2、计算广义积分=⎰∞+ 1 2x dx.3、设)1ln(22y x z ++=，则(1,2)dz = .4、微分方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有 形式的特解.5、级数∑∞=+1913n nn 的和为 .二、选择题(每小题3分,共15分) 评分阅卷人6、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为( ).(A) 0 (B) 3 (C) 2 (D)不存在7、),(y x f x 和),(y x f y 在),(00y x 存在且连续是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的( ).(A) 必要非充分的条件 (B) 充分非必要的条件 (C) 充分且必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件8、由曲面z x y =--422和z =0及柱面224x y +=所围的体积是( ). (A)2420d 4d r r rπθ-⎰⎰ (B)222004d 4d r r rπθ-⎰⎰ (C)222d 4d r rπθ-⎰⎰(D)22204d 4d r rπθ-⎰⎰9、设二阶常系数非齐次微分方程()y py qy f x '''++=有三个特解21y x =，x e y =2，xe y 23=，则其通解为( ).(A) 22212()()x x x C e e C e x -+- (B) 22123x x C x C e C e ++(C) 2212x xx C e C e ++ (D) )()(22212xx x e x C e e C x -+-+10、无穷级数121(1)n pn n -∞=-∑(p 为任意实数) ( ).(A) 无法判断 (B) 绝对收敛(C) 收敛(D) 发散三、计算题(每小题6分,共60分) 评分评分评阅人11、求极限24 limxyxyxy→→-+.评分评阅人12、求由在区间]2,0[π上,曲线xy sin=与直线2π=x、0=y所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积.评分评阅人13、求由xy xyz z=-e 所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ∂∂∂∂.评分评阅人14、求函数33812),(y xy x y x f +-=的极值.评分评阅人15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=. 若提供的广告费用为5.1万元,求相应的最优广告策略.评分评阅人16、计算二重积分⎰⎰+D d y x σ)2(,其中D 是由x y =,x y 1=及2=y 所围成的闭区域.评分评阅人17、已知连续函数)(x f 满足0)(2)(0=++⎰xx x f dt t f ，求)(x f .评分评阅人18、求微分方程02)1(2='-''+y x y x 的通解.评分评阅人19、求级数∑∞=-1)3(nnnx的收敛区间.评分评阅人20、判定级数1cos()!nn x n∞=⋅∑是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛.四、证明题(每小题5分,共10分) 评分评分评阅人21、设级数21nn a∞=∑收敛，证明1(0)nn n a a n ∞=>∑也收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+.2、π.3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。