问题：由于 Jˆ 与 Jˆ1, Jˆ2 有关，而 Jˆ1, Jˆ2 对易，可以同时有确定取值，则 j1, j2, m1, m2 的取值怎 样约束 j, m 的取值？
1）两个表象
Jˆ1 与
Jˆ2 相互对易，故
Jˆ12,
Jˆ1z ,
Jˆ
2 2
,
Jˆ2 z
有共同本征矢。总的矢量空间是两个独立子空间的直
积，构成无耦合表象：
j2
max
−
j2
min
+ 2 jmax
+1
j = jmin
必须相等，否则破坏正交性，完备性条件，
(2 j1
+1)(2 j2
+1) =
(
j1
+
)j2 2
−
j2 min
+ 2(
j1
+
j2 ) +1 ，
( ) j2 min
=
j1 − j2 2 ， jmin = j1 − j2 。
故当 j1, j2 确定时，总角动量 Jˆ 2, Jˆz 的取值：
先考虑任意两个角动量 Jˆ1, Jˆ2 的耦合。
⎡⎣ Jˆ1i , Jˆ1 j ⎤⎦ = i εijk Jˆ1k , ⎡⎣ Jˆ2i , Jˆ2 j ⎤⎦ = i εijk Jˆ2k , ⎡⎣ Jˆ1i , Jˆ2 j ⎤⎦ = 0
J12 = j1( j1 +1) 2 , J1z = m1 ,
m1 = − j1,..., j1
m1 ,m2
∑ ( ) m − m1 − m2 j1m1 j2m2 j1 j2 jm j1m1 j2m2 = 0
m1 ,m2
在无耦合表象中，基矢 j1m1 j2m2 是相互独立的，故上式存立的条件是每个基矢前的系数都
必须等于零。即要么 CG 系数=0，要么 m = m1 + m2 。我们要求的就是不等于零的 CG 系数，
耦合表象基矢
1 l, 2 , j,mj
，
无耦合表象基矢
1 l, ml , 2 , ms
。
表象变换：
由于
∑ 1
l 2 jmj
=
Cml ,ms
ml ,ms
1 l, ml , 2 , ms
∑ =
ml
⎡ ⎢⎣ Aml
l
,
ml
,
1 2
,
1 2
+ Bml
l
,
ml
,
1 2
,
−1 2
⎤ ⎥⎦
m j = ml + ms ,
2
l1 2
jm j
，
代人在无耦合表象的自旋子空间 J 2 的矩阵形式
J2
=
L2
+
S2
+
2LiS
=
⎛ ⎜ ⎜
Lˆ2
+
3 4
2+
Lˆz
⎜⎜⎝
Lˆ+
Lˆ−
⎞ ⎟
⎟，
Lˆ2 + 3 4
2−
Lˆz ⎟⎟⎠
其中 Lˆ± = Lˆx ± iLˆy 为轨道角动量上升、下降算符，
以及
l
,
ml
,
1 2
,
1 2
，
l,
ml
2
2
当 j = l + 1 时， 2
A = l + ml +1 ，
B
l − ml
归一化后：
1 l 2 jmj
==
l + ml +1 2l +1
11 l, ml , 2 , 2
+
l − ml 2l +1
l, ml
+ 1,
1 2
,
−1 2
，
有耦合表象
CG
无耦合表象
CG
无耦合表象
同理，当 j = l − 1 时， 2
+ 1) ⎤⎥⎦
A
+
(l − ml )(l + ml +1)B⎬⎫ l, ml
⎭
=0
⎨
⎪ ⎪⎩
⎧ ⎨ ⎩
(l
+
ml
)(l
−
ml
+1)A +
⎡⎛ ⎢⎣⎜⎝
l
(l
+ 1)
+
3 4
− (ml
+
1)
⎞ ⎟⎠
−
j(
j
+ 1)⎤⎥⎦
⎫ B⎬
⎭
l, ml
+1
=0即Leabharlann ⎧ ⎪ ⎪⎡⎛ ⎣⎢⎜⎝
l
(l
+ 1)
+
3 4
+
ml
⎞ ⎟⎠
−
j ( j +1)⎦⎤⎥ A +
(l − ml )(l + ml +1)B = 0
⎨
→ A, B
⎪ ⎩⎪
(l
+
ml
)(l
−
ml
+1)A +
⎡⎛ ⎣⎢⎝⎜
l
(l
+1) +
3 4
− (ml
+
1)
⎞ ⎠⎟
−
j(
j
+ 1)⎦⎤⎥
B
=
0
4
j 可能取值： j = l − 1 , l + 1 共两个值。
j1m1 j2m2
m1 = − j1, , j1, m2 = − j2 , , j2 由于在无耦合表象，
1
⎡ ⎢⎣
Jˆ
2
,
Jˆ1z
⎤ ⎥⎦
≠
0,
⎡ ⎢⎣
Jˆ
2
,
Jˆ2 z
⎤ ⎥⎦
≠
0
，
故
Jˆ 2 不是对角矩阵，不便求解
Jˆ1
⋅
Jˆ2
=
1 2
⎡ ⎢⎣
Jˆ
2
−
Jˆ12
−
Jˆ22
⎤ ⎥⎦
的本征值。
由于
⎡ ⎢⎣
4.两个角动量耦合
自旋角动量与轨道运动产生的磁场之间的相互作用V ∼ Lˆ ⋅ Sˆ 。
由于
( ) Lˆ + Sˆ 2 = Lˆ2 + Sˆ2 + 2Lˆ ⋅ Sˆ ，
( ) Lˆ ⋅Sˆ
=
1⎡ 2 ⎢⎣
Lˆ + Sˆ
2
−
Lˆ2
−
Sˆ
2
⎤ ⎥
，
⎦
要了解 Lˆ ⋅ Sˆ 耦合，必须考虑两个角动量之和。
因此取
2
m = m1 + m2 。 再考虑 j 的取值。设
jmin ≤ j ≤ jmax ，
( ) ( ) jmax = mmax =
m1
+
max
m2
max = j1 + j2 。
由无耦合表象维数
D = (2 j1 +1)(2 j2 +1) ，
与耦合表象维数
jmax
∑ D =
( ) 2 j +1
=
= j1 ( j1 +1)
2
j1 j2 jm ，
Jˆ
2 2
j1 j2 jm
= j2 ( j2 +1)
2
j1 j2 jm
Jˆ 2 j1 j2 jm = j ( j +1) 2 j1 j2 jm ， Jˆz j1 j2 jm = m j1 j2 jm
在耦合表象， Jˆ 2, Jˆz 是对角矩阵，本征值就是对角元。
J 2 = j ( j +1) 2, j = j1 − j2 , , j1 + j2
J z = m , m = m1 + m2 3）耦合表象的本征态 j1 j2 jm
关键是如何求 CG 系数。不做一般讨论，有专门表可查。
下面以 Lˆ ⋅ Sˆ 耦合为例来说明求法。
Jˆ = Lˆ + Sˆ, Jˆ1 = Lˆ, Jˆ2 = Sˆ ，
l
1 2
jm j
=−
l − ml 2l +1
l
,
ml
,
1 2
,
1 2
+
l − ml +1 2l +1
l, ml
+1, 1 , −1 22
。
5
由于已知的是
Jˆ12,
Jˆ1z
,
Jˆ
2 2
,
Jˆ2
z
的本征值和本征矢，为了用它们来表示总角动量
Jˆ 2 ,
Jˆz
的本征
值，必须联系两个表象，即进行表象变换。
由无耦合表象的完备性条件
∑ j1m1 j2m2
m1 ,m2
有表象变换：
j1m1 j2m2 = 1 ，
∑ j1 j2 jm =
j1m1 j2m2 j1m1 j2m2 j1 j2 jm
j1m1 j2m2 = j1m1 j2m2 ，
( ) Jˆ
2 1
j1m1 j2m2
= j1
j1 +1
2 j1m1 j2m2 ，
Jˆ1z j1m1 j2m2 = m1 j1m1 j2m2
( ) Jˆ
2 2
j1m1 j2m2
= j2
j2 +1
2 j1m1 j2m2 ，
Jˆ2z j1m1 j2m2 = m2
ml
=
mj
− ms