m′m′
（8m）2
G（2r′）2＝G4（2r）2＝16F.
答案：D
1．对于万有引力定律的数学表达式 F＝Gmr1m2 2，理 解正确的是( )
A．公式中 G 为引力常量，是人为规定的 B．r 趋近于零时，万有引力趋于无穷大 C．m1、m2 之间的万有引力总是大小相等，方向相 反，是一对平衡力
D．m1、m2 之间的万有引力总是大小相等，与 m1、 m2 的质量是否相等无关
第六章 万有引力与航天
第二节 太阳与行星间的引力 第三节 万有引力定律
学习目标
1.知道行星绕太阳运动的原 因，知道太阳与行星间存 在引力作用. 2.能根据开普勒行星运动定 律和牛顿第三定律推导出 太阳与行星之间的引力表 达式. 3.知道地球上的重物下落与 天体运动的统一性，知道 万有引力定律的适用范围. 4.理解万有引力定律的含义 ，会用万有引力定律解决 简单的引力计算问题.
其他位置的向心加速度均不指向地心，C 错．地面上 物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合 力，D 错．
答案：A
2．一物体在地球表面重 16 N，它在以 5 m/s2 的加速
解析：由公式 F＝Gmr1m2 2知，F 与 r2 成反比，距离增加 1 倍时，引力变为14F，A 错．地球和苹果间的相互作用力符 合牛顿第三定律，故大小相等，B 错．万有引力公式 F＝ Gmr1m2 2只适用于质点，当 r 趋近于 0 时，质量为 m1、m2 的 两个物体已不能看成质点，F 并不趋于无穷大，C 错．
重点难点
重点
1.知道万有引力定律的 适用范围，理解万有 引力的普遍性、相互 性、宏观性. 2.理解万有引力定律 的含义．
难点
1.领会由太阳对行星的 引力推导行星对太阳
的引力时所用到的物 理思想. 2.万有引力定律的理解 和应用.
知识点一 太阳与行星间的引力
提炼知识 1．猜想． 行星围绕太阳的运动可能是太阳的引力作用造成 的，太阳对行星的引力 F 应该与行星到太阳的距离 r 有 关．
2．万有引力的四个特性．
特性 普遍性
相互性
内容
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与 月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体 之间都存在着这种相互吸引的力
两个有质量的物体之间的万有引力是一对 作用力和反作用力，总是满足大小相等， 方向相反，作用在两个物体上
宏观性 特殊性
地面上的一般物体之间的万有引力比 较小，与其他力比较可忽略不计，但 在质量巨大的天体之间或天体与其附 近的物体之间，万有引力起着决定性 作用
(1)任意两个物体之间都存在万有引力吗？ (2)任何两个物体之间的万有引力都可以利用公式 F ＝Gmr1m2 2计算出来吗？
提示：(1)存在．(2)不可以．万有引力定律的表达式 F＝Gmr1m2 2只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之 间、质点和质量分布均匀的球体之间万有引力的计算，形 状不规则、质量分布不均匀的物体间 r 不易确定．
(3)结论：加速度关系也满足“平方反比”规律．证 明两种力为同种性质的力．
2．万有引力定律． (1)内容： 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在 它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的乘 积成正比，与它们之间距离 r 的二次方成反比．
(2)公式：
F＝__G_m__r1_m2 _2__． 3．符号意义． (1)G 为引力常量，其数值由英国物理学家卡文迪许 测量得出，常取 G＝6.67×10－11N·m2/kg2. (2)r 为两个质点间的距离或质量均匀的两个球体的 球心间的距离．
解析：公式 F＝Gmr1m2 2 中 G 为引力常量，是由卡文 迪许通过实验测得的，不是人为规定的，故 A 错误；当
两个物体间的距离趋近于 0 时，两个物体就不能视为质点
了，万有引力公式不再适用，故 B 错误；
m1、m2 之间的万有引力是属于相互作用力，所以总 是大小相等，方向相反，但不是一对平衡力，故 C 错误； m1、m2 之间的万有引力是一对作用力和反作用力，遵守 牛顿第三定律，总是大小相等，与 m1、m2 的质量是否相 等无关，故 D 正确．
答案：D
拓展二 万有引力和重力的关系
人站在地球的不同位置，比如赤道、两极或者其他位 置，探究下列问题：
(1)人站在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样 吗？
(2)人站在地球的不同位置，受到的重力大小一样吗？ 提示：(1)一样．(2)不一样
1．万有引力和重力的关系：如图所示，设地球的质 量为 M，半径为 R，A 处物体的质量为 m，则物体受到地 球的吸引力为 F，方向指向地心 O，由万有引力公式得 F ＝GMr2m.引力 F 可分解为两个分力，其中一个分力为物体 随地球自转做圆周运动的向心力 Fn，另一个分力就是物 体的重力 mg.
两个物体之间的万有引力只与它们本 身的质量和它们间的距离有关，而与 它们所在空间的性质无关，也与周围 是否存在其他物体无关
特别说明 引力常量极小，一般物体间的万有引力是极小的，受 力分析时可忽略．
【典例 1】 两个大小相同的实心小铁球紧靠在— 起，它们之间的万有引力为 F.若将两个用同种材料制成 的半径是小铁球 2 倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大 铁球之间的万有引力为( )
3．重力与高度的关系：由于地球的自转角速度很小， 故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附 近：mg＝GMRm2 ，若距离地面的高度为 h，
则 mg＝G（RM＋mh）2(R 为地球半径，g 为离地面 h 高 度处的重力加速度)．所以距地面越高，物体的重力加速 度越小，则物体所受的重力也越小．
特别说明 1．一般计算中，往往不考虑地球的自转，认为物体 受到的万有引力等于重力，即 mg＝GMRm2 . 2．相对地面静止的物体受到的地面给它的支持力与 重力是一对平衡力，而不是与万有引力平衡．
【典例 2】 某物体在地面上受到的重力为 160 N， 将它放置在卫星中，在卫星以 a＝12g 的加速度随火箭向上 加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤 压的力为 90 N 时，卫星距地球表面有多远(地球半径 R 地 ＝6.4×103 km，g 表示地面处重力加速度，g 取 10 m/s2)?
1．F＝Gmr1m2 2的适用条件． (1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作 用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此 公式近似计算两物体间的万有引力． (2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式 计算，式中 r 是两个球体球心间的距离． (3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用 此公式计算，式中的 r 是球体球心到质点的距离．
2．离地面 h 高度处的物体：离地面 h 高度处的物体 也受地球自转的影响，同地面附近的物体一样，一般情况 下，认为重力约等于万有引力，mg＝G（RM＋mh）2.
3．地球的卫星：对于地球的卫星，不受地球自转影 响，所受重力等于万有引力，即 mg＝GMr2m(r 是卫星的轨 道半径)．
1．地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随 地球自转，所以有( )
解析：卫星在升空过程中可以认为是竖直向上做匀加
速直线运动，设卫星离地面的距离为 h，
这时受到地球的万有引力为 F＝G（R地M＋mh）2.
在地球表面 GMR地2m＝mg，①
在上升至离地面 h 时，FN－G（R地M＋mh）2＝ma，②
由①②式得（R地＋h）2＝ mg ，
Rห้องสมุดไป่ตู้地
FN－ma
则 h＝
FNm－gma－1R 地．③
将 m＝16 kg，FN＝90 N，a＝12g＝5 m/s2，R 地＝6.4
×103 km，g＝10 m/s2 代入③式得 h＝1.92×104 km.
答案：1.92×104 km
题后反思 万有引力和重力关系的处理方法
1．地面附近的物体：由于地球自转角速度很小，物 体转动需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于 万有引力，mg＝GMRm2 .
Mm 等式 F＝__G__r_2__，式中 G 为比例系数．
判断正误
1．行星绕太阳的运动不需要力的作用．(×) 2．匀速圆周运动的规律同样适用于行星运动．(√) 3．太阳与行星间作用力的公式 F＝GMr2m也适用于行 星与它的卫星之间．(√)
小试身手
1．太阳对行星的引力 F 与行星对太阳的引力 F′，大 小相等，其依据是( )
答案：D
2．下列说法中正确的是( ) A．两质点间万有引力为 F，当它们之间的距离增加 1 倍时，它们之间的万有引力是F2 B．树上的苹果掉到地上，说明地球吸引苹果的力大 于苹 果吸引地球的力 C．由万有引力公式 F＝Gmr1m2 2可知，当其他条件不 变而 r 趋近于 0 时，F 趋于无穷大 D．以上说法均不正确
A．2F B．4F C．8F D．16F 解析：两个小铁球之间的万有力引为 F＝G（m2rm）2＝G4mr22.
实心球的质量为 m＝ρV＝ρ·43πr3，大铁球的半径是小
铁球的 2 倍，则大铁球的质量 m′与小铁球的质量 m 之比
为
m′ m
＝
r′3 r3
＝
8 1
.
故
两
个
大
铁
球
间
的
万
有
引
力
为
F′ ＝
2．模型简化． 行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引 力提供了行星做匀速圆周运动的向心力． 3．太阳对行星的引力． F＝mrv2＝m2Tπr2·1r＝4πT2m2 r． 结合开普勒第三定律得：F∝mr2．
4．行星对太阳的引力． 根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力 F′的大小也 存在与上述关系类似的结果，即 F′∝Mr2． 5．太阳与行星间的引力． 由于 F∝mr2、F′∝Mr2，且 F＝F′，则有 F∝Mr2m，写成
2．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的 升高而变大．