得T水= T地· k3 ，而T地=1年，故T水= k3 年，故选C。
【课堂回眸】
谢谢
A．3 k2 年 C． k 3 年
B．
1 k3
年
D．( k )3年 1 k2
【解析】选C。如图所示，连接太阳、水星和观察者，
构成虚线三角形，由正弦定理得 sin ＝sin ，当
r水
r地
sinα=1，即α=90°时θ最大，即此时观察者与水星的连
线=Tk=应，2与由水万GrM3星有，轨引故道力TT水地相提＝切供rr，水向地33 ＝由心三k力3 角（G函也Mr2m数可＝可以m得直4T，接22 r此由，时开解s普i得n勒θ：=第rr水地 三定律得到），
GM r
。第一宇宙速度指的是最
小发射速度，同时也是近地卫星的环绕速度。对于地
球的近地卫星来说，其轨道半径近似等于地球半径，
探月卫星绕月球飞行的轨道半径约等于月球半径，所以
v月 ＝ v地
M月gr地＝ M地 gr月
4 ＝2 81 9
，所以v月＝
2 9
v地＝92
×7.9 km/s≈1.8 km/s。
故正确答案为B。
【拓展例题】考查内容：万有引力定律的应用 【典例】位于贵州的“中国天眼”（FAST）是目前世 界上口径最大的单天线射电望远镜。通过FAST测得水 星与太阳的视角为θ（水星、太阳分别与观察者的连线 所夹的角），如图所示。若最大视角的正弦值为k，地 球和水星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，则水星的 公转周期为（ ）
大。
（2）绕行速度：卫星进入轨道后绕地球做匀速圆周运 动的线速度。根据v= GM 可知，半径越大，卫星的绕
R
行速度就越小。
2.第一宇宙速度的推导：
方法一：由
G
Mm R2

m
v2 R
得
方v 法二GRM：万有6.6引7力106.近411似150.6等98于10星24 球m表/ s =面7的.9×重1力03，m由/s mg
2.若取地球的第一宇宙速度为8km/s，某行星的质量是 地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，此行星的第 一宇宙速度约为（ ）
A.16km/s
B.32km/s
C.4km/s
D.2km/s
【解析】选A。第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，
对于近地卫星，其轨道半径近似等于地球半径，所受万
有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，根据万有引力
球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算
出的物理量有（ ）
A.月球的质量
B.地球的质量
C.地球的半径
D.地球的密度
【解析】选B。由天体运动的受力特点，
得
G
Mm R2

m
4 2
T2
R，可得地球的质量M=
4 2R3
GT2
，
由于不知道地球的半径，无法求解地球的密度
和环绕天体的质量、密度，故B正确。
定律和牛顿第二定律得
G
Mm r2
＝m
v2 r
，解得v＝
GM，因行
r
星的质量M′是地球质量的6倍，半径R′是地球半径的
GM
1.5倍，则 v R MR =2，故v′=2v=16 km/s，A正确。 v GM MR
R
【补偿训练】
一探月卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已
知月球的质量约为地球质量的 1 ，月球的半径约为地
2.登月舱在离月球表面112km的高空绕月球运行，运行 周期为120.5min，已知月球半径为1.7×103km，试估 算月球的质量。（答案保留两位有效数字）
【解析】设登月舱的质量为m舱，月球的质量为M月，
月球的半径为r月，登月舱离月球表面的距离为r，
F引=
G
M月m舱 (r月 r)2
舱ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ月球做圆周运动，所以向心力的大小为
【解析】当“嫦娥四号”距离月球表面的距离为h时，
忽略自转有 G
M月m (R h)2

m
4 2
T22
(R
h)，解得M月

4 2
GT22
(R
h)3
根据

M月 V

3 (R h)3
GT22 R 3
答案：3 (R h)3
GT22 R 3
【补偿训练】
1.已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月
【母题追问】 1.在【典例示范】情境中，某宇航员登陆月球后，在距 月球表面h0处将一小球以初速度v0水平抛出，求落地点 和抛出点的水平距离。
【解析】设月球表面的重力加速度为g′，在月球表面
放一质量为m0的物体，月球对其引力等于它所受“重 力小”球，竖即直方G向M做R月m2初0 速m度0g为，0g， 加GRM速2月度 4为T1g22R′的匀加速直线
对物体的引力，得mg=G MRm2
，解得天体质量为M= gR 2
G
，
因g、R是天体自身的参量，故称“自力更生法”。
（2）“借助外援法”：借助绕中心天体做圆周运动的
行星或卫星，计算中心天体的质量，常见的情况：
G
Mm r2
＝m
v2 r

M＝ rv 2 G
G
Mm r2
＝m
2r

M＝ r 3
G
2
G
Mm r2
提示：能求出地球的质量。利用 G
4 2r3
Mm r2
＝m(
2
T
)2 r
求出的
质量M= GT2 为中心天体的质量。做圆周运动的月球的
质量m在等式中已约掉，所以根据月球的周期T、公转
半径r，无法计算月球的质量。
【典例示范】 2018年12月8日，我国于西昌卫星发射中心成功将“嫦 娥四号”发射升空。假设卫星贴近月球表面做圆周运 动， 已知卫星绕月球运行的周期为T1，月球的半径为 R，引力常量为G。试求月球的密度是多少？
B.5.0 km/s
C.17.7 km/s
D.35.2 km/s
【解析】选A。根据题设条件可知：M地=10 M火， R地=2
R火， ＝由万MM有火地RR引地 火＝力提15，供因向为心地力球G的RM第2m一＝m宇vR宙2 ，速可度得为v＝v地G=RM7.，9 k即mvv/火地s， 所以航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速
( 2
)2
T
F向= m舱（ r月+r）
因为F引= F向，所以
得M月=
4 2 (r月 r)3
GT2
G
M月m舱 (r月 r)2

m舱
(r月

r)
4 2
T2
将已知的数据代入上式，可得月球的质量为 6.7×1022 kg。 答案：6.7×1022 kg
二 发射速度和宇宙速度
1.人造卫星的两个速度： （1）发射速度：指将人造卫星送入预定轨道运行所必 须具有的速度。卫星离地面越高，卫星的发射速度越
81
球半径的 1 ，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则
4
该探月卫星绕月球运行的速率约为 （ ）
A.0.4 km/s
B.1.8 km/s
C.11 km/s
D.36 km/s
【解析】选B。对于环绕地球或月球的人造卫星，其
所受万有引力即为它们做圆周运动所需的向心力，即
G
Mm r2
＝m
v2 r
，所以v＝
（3）第三宇宙速度 使物体脱离太阳的束缚而飞离太阳系，从地球表面发射 所需的最小速度，其大小为v3=__1_6_._7_k_m__/s__，也叫逃逸 速度。
一 天体质量和密度的计算
1.天体质量的两种计算方法：
（1）“自力更生法”：若已知天体（如地球）的半径R
和表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于天体

m
v2 R
得 v gR 9.8 6.4106 m / s =7.9×103 m/s
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造 卫星的最大环绕速度。
3.宇宙速度与运动轨迹的关系： （1）v发=7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 （2）7.9 km/s<v发<11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹 为椭圆。 （3）11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳系内其他 星体做椭圆运动。
（或卫星），测出行星（或卫星）的运行周期和轨道半
径，由万有引力提供向心力即可求中心天体的质量。由
G
Mm r2

m
4 2
T2
r
4 2r3
，得M=___G_T_2____。
二、人造卫星上天
1.卫星原理：一般情况下可认为人造地球卫星绕地球做
_匀__速__圆__周__运动，向心力由地球对它的_万__有__引__力__提供，
运动，设运动时间为t，即
1 2
g′t������=h0
解得 t
2h0 g
2h 0T12
4 2R
水平方向匀速直线运动，即
x v0t
v0T1
2
2h 0 R
答案：v0T1 2h0
2 R
2.在【典例示范】情境中，若“嫦娥四号”距离月球表 面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则 月球的密度如何表示？
1.地球质量的计算：在地面上，忽略地球的自转所造成
的影响，由mg=G
Mm R2
gR 2
，可以求得地球的质量：M=__G__；
同理：若已知某天体的表面加速度g′和其半径R′，与
地球质量的计算方法类似，即可计算出此天体的质量
gR2
M′=__G___。
2.一般天体质量的计算：分析围绕该天体运动的行星