哈工大 2012年 秋季学期概率论与数理统计 试题一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设事件A 、B 相互独立，事件B 、C 互不相容，事件A 与C 不能同时发生，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A ，B 和C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为__________ ．2．设随机变量X 服从参数为2的指数分布， 则21e X Y-=-的概率密度为()Y f y =______ ____．3．设随机变量X 的概率密度为21e ,0()20, 0xx x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，利用契比雪夫不等式估计概率≥<<)51(X P ______．4．已知铝的概率密度2~(,)X N μσ，测量了9次，得 2.705x =，0.029s =，在置信度0.95下，μ的置信区间为______ ____．5．设二维随机变量(,)X Y 服从区域{(,)|01,02}G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，令),min(Y X Z =，),max(Y X W =, 则)1(≥+W Z P = ．（0.0250.050.050.025(8)23060,(8)18595,(9) 1.8331,(9) 2.2622t t t t =⋅=⋅==()1.960.975Φ=，()1.6450.95Φ=)二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内）1．设0()1, 0()1, ()()P A P B P B A P B <<<<=，则与上式不等价的是（A ）A 与B 不相容. （B ）()()P B A P B A =.（C ）)()(A P B A P =. （D ）)()(A P B A P =． 【 】 2．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，12,,,n X X X 是来自X 的样本，X 为样本均值，则 （A ）1EX λ=，21DX n λ=． （B ）,λ=X E n X D λ=． （C ）,nX E λ=2n X D λ=． （D ）,λ=X E λn X D 1=． 【 】3．设随机变量X 的概率密度为2, 01()0, x x f x <<⎧=⎨⎩其他，则)2(DX EX X P ≥-等于（A（B（C ）928-6. （D【 】4．如下四个函数，能作为随机变量X 概率密度函数的是（A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0,00,11)(2x x xx f . （B ）0,157(),1116160, 1x f x x x x <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩. （C ）1()e ,.2xf x x -=∈R . （D ）1e ,0()0,0x x f x x -⎧->=⎨≤⎩ . 【 】5．设12,,,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的一个样本，统计量2)(1μ-=X Sn Y 其中X 为样本均值，2S 为样本方差，则 【 】 （A ）2~(1)Y x n -（B ）~(1)Y t n -（C ）~(1,1)Y F n - （D ）~(1,1)Y F n -．三、（8分）假设某段时间内来到百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson 分布，而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率均为p ，且顾客之间是否购买电视机相互独立，试求=A “该段时间内百货公司售出k 台电视机”的概率（假设每顾客至多购买一台电视机）。

四、（8分）设随机变量[]~0,1X U ，求（1）241Y X X =-+的概率密度()Y f y ；（2）X 与Y 的相关系数XY ρ.五、（8分）设随机变量X 和Y 的分布列分别为X 0 1 Y —1 0 1P 1/3 2/3 P 1/3 1/3 1/3且1)(22==Y X P ，求（1）二维随机变量),(Y X 的概率分布；（2）XY Z =的概率分布；（3）X 与Y 的相关系数XY ρ.六、（12分）设随机变量X 与Y 相互独立,且分别服从正态分布)2,(σμN 和)22,(σμN ,其中σ为未知参数且0σ>. 记Y X Z -=.（1）求的概率密度Z 2(;)f z σ；（2）设12,,,n Z Z Z 为来自总体Z 的简单随机样本, 求2σ的最大似然估计2σ∧;（3）证明2σ∧是2σ的无偏估计量。

七、（4分）在x 轴上的一个质点可以在整个数轴的整数点上游动，记n S 为时刻n 时质点的位置。

若在时刻0t =时，处于初始位置为原点，即00S =，它移动的规则：每隔单位时间，它总是收到一个外力的随机作用，使位置发生变化，分别以概率p 及概率1q p =-向正的或负的方向移动一个单位（直线上无限制的随机游动）。

求质点在时刻n 时处于位置k 的概率，即求()n P S k =.2012年概率期末答案一、 填空题：（15分）1.0.452.()⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1y y f Y 3.41. 4.）（8.2,6.2.5．3/4 二、选择题：（15分）1A 2B 3D 4C 5C三、解：设iA 表示这段时间内到达百货公司的顾客数() ,2,1,0=i利用全概率公式： ++++=A A A A A A A k 10()()()()()0i i i i i i kP A P A P A A P A P A A ∞∞====∑∑ (()0,0)i P A A i k =≤< 4分 ()ki k k i ki ip p C e i --∞=-⋅=∑1!λλ()()()()()()∑∑∞=---∞=---⋅=--⋅⋅=ki k i kk i kki ik i p k p e p p k i k i ei !1!1!!!!λλλλλ()()()()()()∑∞=----=⋅⋅=-⋅==-om p k p kmk ek p ee k p m p p k e p mk i λλλλλλλλ!!!1!1 ),2,1,0( =k 4分四、解：（1）分布函数方法：含f d Y ⋅与()y F YR y ∈∀，()()()y X X P y Y P y F Y ≤+-=≤=142()()322+≤-=y X P又]1.0[∈x ∴()4212≤-≤x 同样431≤+≤y∴12≤≤-y 于是当2-<y 时，()0=y F Y 当1>y 时，()1=y F Y 当12≤≤-y 时，()()()322+≤-=y X P y F Y()3232++≤≤+-=y X y P ()()321132++≤≤+≤≤+-=y X P X y P()130321-+=++--=y y∴()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--+-<=1,112,132,0y y y y y F Y ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+=其它,012,321y y y f Y或公式法：142+-=x x y ↙严格()()()121.0,022≤≤-∈<-='y x x y其反函数()y y h x +-==32 ()12≤≤-y ()yy h x +-='='3214分从而有：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+='=其它,12,321y yy h y h f y f X Y 分（2）223441, 345EY EX EX DY =-+=-= 2分 （3）114XY ρ==-=- 2分五、解：（I ）由题设有：0)(1)(2222==-=≠Y X P Y XP而)()0,1(),1,0(22Y XY X Y X ≠⊂==±==所以利用概率的非负性和保序性：0)Y 1,P(X 01)Y 0,P(X ====±== 再利用联合分布和边缘分布之间的关系可得联合分布列4分）（∏.Z=XY 的分布列为：31)1,1()1(31)1,1()1(310)Y 0,P(X 0)Y 1,P(X 1)Y 0,P(X 0)P(Z =-===-========++==+±====Y X P Z P Y X P Z P2分 （)I∏)031131)1(31).(132031()1(31131031),(=⨯+⨯+-⨯⨯+⨯--⨯+⨯+⨯=-=EXEY EXY Y X COV 0320031)1(31131)(,92)32(32)(222222222>=-⨯+-⨯+⨯=-==-=-=EY EY DY EX EX DX 所以 0=ρ2分六、解：（I ）由题设：Y -X Z =服从正态分布且)3,0()2,(~222σσσμμN N Z =+-Z ∴的概率密度为：2262321)f(z,σσπσz e-=4分（II ）似然函数222262226121)()6(321);,,L(z σσσπσπσi i z n n z ni n eez ----===∏取对数：2226262σσπi z Ln n Ln n LnL ---=令42226120σσσi z n LnL +⨯-==∂∂，解得：=2σ∑=n i i z n 1231∴2σ的极大似然估计为=∧2σ∑=n i i z n 1231 4分（III ）由题设知：n z z z ,,,21 独立且与总体Z 同分布E ∴=∧2σE 2212123313131σσ=⨯⨯=⨯=∑∑==n nEz n z n ni in i i 于是=∧2σ∑=n i i z n 1231为2σ的无偏估计。

4分七、解： 为使质点在时刻t=n 时位于k 位置（k 也可以是负值）⇔在前n 次游动中向右移动的次数比向左移动的次数多k 次，若以x 表示它在前n 次游动中向右移动的次数，y 表示向左移动的次数，则有：⎩⎨⎧==+k y -x ny x 2分 即,2kn x +=因为x 是整数，所以k 与n 必须具有相同的奇偶性。

事件{}k =n S 发生相当于要求在前n 次游动中有2k n +次向右，2kn -次向左，利用二项分布即得{}222n S P k n k n k n nqpCk -++==当k 与n 奇偶性相反时，其概率为0 2分。