引言：由距离最短想到什么？
2019中考复习之几何最值(一)
两点间线段最短，点到直线垂线段最短。

模型一、“将军饮马”问题：
1、已知，如图 1，点 A ，点 B 为直线 l 异侧两个定点， 问题：在直线 l 上确定一点 P ，使得 PA +PB 值最小。

B
B
A
l
l
A
图 1
图 2
变式：如图 2，A 、B 是直线 l 同侧的两个定点．
问题：在直线 l 上确定一点 P ，使 PA +PB 的值最小。

经验总结：
变式：在直线 l 上确定一点 P ，使 PA PB 的值最大 。

2、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一点，PO =10 M ，N 分别是 OA ，OB 上的动点，求△PMN 周长的最小值．
3.如图所示，A ，B 为两定点，试分别在直线l 1 ， l 2 上确定点 M ，N 使四边形 ABNM 周长最小。

4.在平面直角坐标系中，A (1，2) ，B (6，1) ， 若点 C ，D 的坐标分别为(a,0) ，(a +2,0) ， 则当 a=
时，四边形 ABDC 的周长最短
.
y
A
B
O C
D
x
模型应用：
5. 如图 3，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点．连结 PB ，PE 则 PB +PE 的最小值是
；
6. 挑战中考：
如图，在直角坐标系中，抛物线 y = ax 2 - 2x + c （ a ≠ 0 ）经过点 A （-3，0），C （0，
3） 两点．
（1） 填空： a = ， c = ；对称轴是直线 x = ；
（2） 若点 B 的坐标是（0，1），点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，请探究并解决以
下问题：①当点 P 运动到何处时，△BCP 的周长最小？求此最小值和点 P 的坐标；
③若点 Q 是 x 轴上的一个动点，是否存在点 P ，Q ，使得由点 B ，C ，P ，Q 围成的四边形的周长最小？若存在，求此最小值和点 P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
总结反思：
课后达标训练
1. 如图 2，⊙O 的半径为 2，点 A ，B ，C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC=60°
P 是 OB 上一点，求 PA +PC 最小值；
y
C
B A
O
x
y
C
B
A
O
x
2. 如图，一次函数 y ＝－x ＋4 的图象与反比例 y ＝3
(k 为常数，且 k≠0)的图象交于 A ，B 两
x
点．在 x 轴上找一点 P ，使 PA ＋PB 的值最小，求满足条件的点 P 的坐标．
3. 如图，∠AOB=45°，P 为∠AOB 内一点，PO =10，M ，N 分别是 OA ，OB 上的动点，求
△PMN 周长的最小值．
O
4. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD （不含 B 点）上任意
一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN ，连接 EN 、AM 、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当 M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；
②当 M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；
A
D
⑶ 当 AM ＋BM ＋CM 的最小值为
1时，求正方形的边长.
N
E
M
B
C
3。