三角形相似总复习第一部分相似三角形知识要点大全知识点1・・相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。

(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2) 全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3) 判斷两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.例1・放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变.解：是相似因形。

因为它们的形状相同，大小不一定相同.例2.下列各组图形：①两个平行四边形：②两个圆；③两个矩形：④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_______________________________ (填序号).解析：很据相似图形的定艾知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似.答案：②⑤⑥.知识点2.比例线段对于四条线段a,b, c,d ,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即-=-(或b d a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.解读：(1)四条线段a,b,c,d成比例，记作-=-(或a:b=c:d),不能写成其他形式，即比例线段b d有顺序性.(2) 在比例式—=—(或a:b=c:d)中，比例的项为a, b, c, d,其中a, d为比例外项,b,c为比例内项，db d是第四比例项.(3) 如果比例内项是相同的线段.即-=-或a:b二b:c,那么线段b叫做线段和的比例中项。

b c(4) 通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以.因为整体表示两个比相等.例3・已知线段a=2cm, b二6mm,求—・b分析：求巴即求与长皮的比，与的单位不同，先统一单位，再求比.b3例4.已知a, b, c, d成比例，且a=6cm, b=3dm, d= —dm,求c的长度.2分析：由a, b,c, d成比例，写出比例式a:b=c:d,再把所给各线段a, b,, d统一单位后代入求c.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定狡，明确“对应”关系.(2) 明确相似多边形的“对应”来自于书写.且要明确相似比具有顺序性.例5.若四边形ABCD的四边长分别是4, 6, 8, 10,与四边形ABCD相似的四边形AbCD的最大边长为30,则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？分析：四边形ABCD与四边形ARCD相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为丄，再根据相似3多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形・解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种；(2) 应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；(3) 相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；(4) 相似用“s”表示，读作“相似于”；(5) 相似三角形的对应边之比叫做相似比.注意：①相似比是有顺序的，比如△ ABC S AARG,相似比为k,若厶AiBiCi^A ABC,则相似比为丄。

②若两个三角形的相似比为1,则这两个三角形全等，全等三k角形是相似三角形的特殊情况。

若两个三角形全等，則这两个三角形相似：若两个三角形相似，則这两个三角形不一定全等.例6.如图，已知△ADEs^ABC, DE=2, BC=4,則和的相似比是多少？点D, E 分别是AB, AC的中点吗?注意：解决此类问题应注意两方面：(1)相似比的顺序性，(2)图形的识别., 「…DE AD AE 「DE 2 IBC AB AC BC 4 2AD AE i所以——=——=-,所以D, E分别是AB, AC的中点.AB AC 2知识点5・相似三角的判定方法(1) 定狡：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；(2) 平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3) 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4) 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(5) 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.例7.如图，点D在AABC的边AB上，满足怎样的条件时，AACD与AABC相似？试分别加以列举.分析：此题属于探索性问題，由相似三角形的判别方法可知，AACD与AABC已有公共角ZA,要使此两个三角形相似.可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可.解：当满足以下三个条件之一时，AACD^AABC条件：QAC= Z1 二ZB：条件二：Z2-ZACB;条件三：.即AC2-AD • AB. AB知识点6.相似三角形的性质(1) 对应角相等，对应边的比相等；(2) 对应鬲的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3) 相似三角形周长之比等于相似比：面积之比等于相似比的平方. 例8.如图.已知△ ADE^AABC, AD=8, BD=4,BC=15, EC=7(1) 求DE、AE的长；(2) 你还能发现哪些线段成比例.分析：此题重点考査由两个三角形相似，可得到对应边成例.即. rAB 例 9.已知△ABCs/iARG.,二二,-一 AABC 的周长为 20cm,面积为 40cm 2. 3 也求（1） △ABG 的周长；（2） △ABG 的面积・分析：根据相似三角形周长之比等于相似比：面积之比等于相似比的平方求解. 易求出△AiBiCi 的周长为30cm; AA1B1C1的面积90cm 2第二部分相似三角形模型分析大全一.相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型.反A 字型（斜A 字型）（蝴蝶型）（不平行）（三）母子型（平行） （二）8字型、反8字型4DE _ AD _ AE BC"AB "AC （平行）（四）一线三等角型:二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型後转得到。

共享性—+ —=—a h c 8字型拓展一线三等角的变形第三部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形对角线SG少交于点Q BE//CD交以延长线于F・求证：OC2=O4・OE・例2：已知：如图，HABC中，点F在中线初上，ZDEB=ZABC・求证：(1) DB? =DE・DA； (2) ZDCE = ZDAC.例3:已知：如图，等腰中，AB=AC. AD丄BC予D, CG//AB, 8G分别交SQ、AC予E、F.D/ 11 / g//A卜 /、// \/s/1、^/b E C一线三直角的变形例1:如图，梯形中，AD//BC,求证：BE? =EF・EG.A相关练习：1、如图，已知S0为的角平分线，矿为SQ的垂直平分线.求证：FD，=FB・FC.2、已知：AD是RtAABC中ZA的平分线，ZC=90° , EF是AD的垂直平分线交AD于M, EF、BC的延长线交于一点No3、已知：如图，在AABC中，ZACB=90° . CD丄AB于D, E是AC上一点，CF丄BE于F。

求证：EB • DF=AE • DB5. 已知：如图，在XHABC中，ZG90。

, 8029 AC=49 P是斜边AB上的一个动点，PDJAB、交边朋于点。

(点Q与点久C都不重合)，F是射线〃上一点，且乙EPX乙A.设久P两点的距离为乙△卯的面积为％(1) 求证：A&2PE;(2) 求卩关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3) 当△8FP与△力0C相似吋，求△3FP的面积.双垂型1. 如图，在ZkABC中，ZA二60° , BD、CE分别是AC、AB上的高求证：(1)AABD^AACE; (2) AADE^AABC： (3)BC二2ED(第25题图〉2、如图，已知锐角Z\ABC, AD、CE分别是BC、AB边上的爲，AABC和ZkBDE的面积分别是27和3. DE=641 , 求：点B到直线AC的距离。

A共享型相似三角形1、AABC是等边三角形，D. B、C. E在一条直线上，ZDAE=120°,已知BD=1, CE=3,,求等边三角形的边长.2、已知：如图，在RtAABC中，A^AC, Z04&45。

・求证：(1) HABE S^ACD;(2) BC2=2BE CD •一线三等角型相似三角形1:如图，等边中，边长为6,。

是％上动点，Z曰存60°(1) 求证：\BDEs'CFD(2) 当BM, FO3时，求BED例2：（1）在AABC中，AB = AC = 59 BC = 8,点P、0分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合力且保持ZAPQ=ZABC・①若点P在线段CB上（如图），且BP = 6,求线段CQ的长：②若BP=X9 CQ = y9求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定狡域:（2）正方形ABCD的边长为5 （如下图），点P. 0分别在直线C3. DC上（点P不与点点B重• ■合），且保持ZAPQ = 90°•当C0 = 1时，求出线段3P的长.例3：已知在梯形ABCD中，AD//BC. AD<BC,且AD=5, AB=DC=2.（1）如图8, P为SQ上的一点，满足乙BPC=乙A.①求证：'ABMHDPC②求力P的长.(2) 如果点P在力。

边上移动(点P与点4 Q不重合)，且满足PF交直线％于点£ 同时交直线DC予邑Q,那么①当点0在线段QC的延长线上时，设AP=x, CQ=y,求y关于"的函数解析式，并写出函数的定狡域；②当CE=1时.写出MP的长.例4：如图，在梯形ABCD中，AD// BC9 AB = CD = BC = 6, AD = 3•点M为边BC的中点，以M为顶点作ZEMF = Z3,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,联结EF .(1) 求证：HMEF s、BEM :(2) 若△BEM是以3M为腰的等腰三角形，求EF的长:(3) 若EF丄CD,求3E的长.M相关练习：1＞如图，在ZU%中，AB = AC = S9 BC = 10, D是BC边上的一个动点，点£在人(？边上，且ZADE = ZC ・(1) 求证：\AB2'DCE;(2) 如果BD = x, AE=y t求y与兀的函数解析式，并写出自变量x的定义域;(3) 当点D是BC的中点时，试说明是什么三角形，并说明理由.2、如因，已知在中，ABAg B", D 是AB ±一点，BA2、F 是％ 上一动点，联结QF,并作ADEF = ZB,射线矿交线段加于F.(1)求证：HDBEsHECF; (2)当F 是线段/1Q 中点时，求线段处的长；(3)联结DF 、如果△妙与△加F 相似，求刖的长.B E C3、已知在梯形ABCD 中，AD 〃BC 、AXBC,且BC 二6, ABDX 、点F 是S3的中点.(1) 如图，P 为％上的一点，且匪2.求证：\BE2\ CPD;(2) 如果点P 在％边上移动(点P 与点0、C 不重合)，且满足乙EP 匸乙C 、PF 交直线〃于点F,同 时交直线九?于点尿那么① 当点F 在线段CQ 的延长线上吋，设Bix , DF^y ,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义 域；9② 当S 如F =—S T 时，求％的长・(第25题图)(备用图)BC B4、如图，已知边长为3的等边AABC ■点F在边BC上,CF = 1,点E是射线上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边AEFG,直线必,FG交直线AC于点M、N ,(1) 写出图中与相似的三角形：(2) 证明其中一对三角形相似：(3) 设BE = x,MN = y求〉'与x之间的函数关系式，并写出自变董尤的取值范囤;(4) 若AE = i9试求5GMN的面枳.备用图一线三直角型相似三角形例仁已知矩形ABCD中，CD二2, AD=3,点P是AD上的一个动点，且和点A, D不莹合，过点P作PE丄CP , 交边AB于点E,设PD = x,AE= y 9求y关于x的函数关系式.并写出x的取值范国。