第21 章二次函数与反比例函数【知识点 1函数 y=ax 2+bx+c 的解析式】1. 形如 y ax 2 bx c （a ≠0）的函数叫做 x 的二次函数；2. 形如 yk(k0) 的函数叫做 x 的反比例函数；典例 1xy 是 x在下列函数表达式中，表示 的二次函数关系的有。

① y 13x 2 ；② yx(x5) ；③ y1 ；④ y 3( x 1)( x 2) ；⑤ y x 42x 2 1 ；3x 2⑥ y (x 1)2x 2 ；⑦ y ax 2bx c典例 2在下列函数表达式中，表示 y 是 x的反比例函数关系的有。

① y3；② yk；③ y3；④ y12 ；⑤ y1 ；⑥ y 2x 1 ；⑦ xy22xxx 1xx 2典例 3若函数 y(a2)xa 22是反比例函数，则a=,若是二次函数，则a=。

【知识点 2 二次函数的图象与性质】函数y ax 2bx c(a, b, c 是常数 , a 0)a 的值a ＞ 0a ＜01. 抛物线开口，并向 无限延伸； 1. 抛物线开口 ，并向 ； 2. 对称轴是 ，顶点坐标 2. 对称轴是 ，顶点坐标 （ ， ）； （ ， ）3. 当 x 时，y 随 x 的增大而减小， 3. 当 x 时，y 随 x 的增大而减小， 性质当 x 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x 时， y 随 x 的增大而增大；4. 抛物线有最 点，当 x= 时，y 4. 抛物线有最 点，当 x= 时，有最值， y ___4ac b 2 ；y 有最值， y ___4ac b 2 ；4a4a典例 4 已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表：则下列判断中正确 的是（）x-1 0 1 2 y-3 1 3 1 A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与 y 轴交于负半轴 C. 当 x=4 时， y ＞0 D. 方程 ax 2+bx+c=0 的正根在 2 与 3 之间 典例 5 已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象过点 A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点 M （-2 ，y 1 ）， N （﹣ 1，y 2）， K （8，y 3）也在二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象上，则下列结论正确的是（）A.y 1 ＜ y 2＜ y 3 B ．y 2＜ y 1 ＜y 3C ． y 3 ＜ y 1 ＜ y 2D ． y 1＜ y 3 ＜y 2【知识点 3 二次函数解析式的确定】1. 待定系数法：一般式： y=ax2+bx+c(a ≠0)2顶点式： y a( x h)k(a (条件：任意0) （条件：点坐标 )坐标 +任意点坐标）交点式：y a( x x1 )( x x2 )（条件：与轴两交点坐标及任意点坐标）2.平移规律：左加右减，上加下减典例 62抛物线 y＝ax +bx+c 与 x 轴交于点 A（－ 3，0），对称轴为 x＝－ 1，顶点 C 到 x 轴的距离为 2，则此抛物线表达式为。

典例 7抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（ 2，4），则这个函数的关系式为。

典例 8抛物线 y=x2+bx +c 向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所得图象的表达式为2，则 b=，c=。

y=x -2x-3典例 9若抛物线y=x2+2bx+4的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为。

【知识点 4二次函数系数与图象】考查角度 1：判断 a、 b、c 与 0 比较大小，决定了开口方向，和共同决定了对称轴的位置（左同右异），决定了抛物线与y 轴交点；（填 a、b、c）222考查角度 2：判断 b -4ac ，b -4ac>0 （图象与坐标轴有个交点），b -4ac=0(图象与坐2标轴有个交点 ), b -4ac<0( 图象与坐标轴交点)。

考查角度 3：判断 2a+b与 0 比较大小，用对称轴 x=与 1 比较大小即可（解不等式过程中注意a 的符号），判断 2a-b 与 0 比较大小，用对称轴 x=与 -1 比较大小即可。

考查角度 4：（1）判断 a+b+c 与 0 比较，可将 x=1 代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在 x 轴上方还是下方判断即可；判断 a-b+c 与 0 比较，可将 x=-1 代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在 x 轴上方还是下方判断即可；（ 2）判断 4a2b c 与 0 比较大小，可将 x=代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在 x 轴上方还是下方判断即可；（ 3）判断 9a3b c 与 0 比较大小，可将 x=代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在 x 轴上方还是下方判断即可；之后判断同理⋯⋯典例 10：如图，是抛物线 y＝ax2+bx+c (a ≠ 0)的部分图象，则下列结论：① abc>0 ；② 2a+b=0 ；③ b 2 -4ac>0；④ a+b+c>0；⑤ 9a-3b+c>0 ；⑥ 3a+c>0 ；⑦ 2c<3b 其中正确的结论有。

典例 11 如图，是抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的图象，其顶点的纵坐标为m，则下列结论：①a－b＋c>0；② 4a＋c>2b；③ 2a-b<0；④ b2＝4a(c －m)；⑤一元二次方程ax2＋bx＋c＝m －1 有两个不相等的实数根．其中正确结论有。

典例 12 如图，抛物线 y=ax2 +bx+c（a≠0）的对称轴为 x=-1 ，与 x 轴的一个交点在（ -3 ，0）和（ -2 ，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①abc ＞0 ；② b 2-4ac ＞0；③ 2a=b ；④a+b+c ＞0；⑤3b+2c ＜0；⑥ t（at+b ）≤a-b （t 为任意实数）。

其中正确结论有。

【知识点 5 二次函数与一元二次方程】一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标，因此一元二次方程中的2（1）当△ >0 时，图像与 x 轴有个交点；（2）当△ =0 时，图像与 x 轴有个交点；22典例 13二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠ 0)的图象如图所示，求：(1)函数解析式 _________________ ；(2)当 x______ 时， y 随 x 增大而减小；(3)由图象回答：当y＞ 0 时， x 的取值范围 ______ ；当y＝ 0 时， x ＝ ______ ；当y＜ 0 时， x 的取值范围 ______ ；(4)方程ax2＋bx＋c=－3的解为：______．典例 14 已知二次函数y=ax +bx+c的图象如图所示，且关于 x 的一元二次2(a ≠ 0) ax 2+bx+c-m=0 没有实数根，则 m 的取值范围是。

【知识点 6 二次函数的应用】典例 15 某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/ 件．试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w （元）与销售单价 x （元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A 、B 两种营销方案： 方案 A ：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元；方案 B ：每天销售量不少于 10 件，且每件文具的利润至少为 25 元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．典例 16王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y1 x2 8x ，其中 y （m ）是球的飞行高度， x(m) 是球飞出的水平距离，结果球离 55球洞的水平距离还有 2m ．(1) 请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． (2) 请求出球飞行的最大水平距离．(3) 若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．【知识点 7 反比例函数图象与性质】 典例 17在函数 ya 21（a 为常数）的图象上有三点（ -3 ，y 1），（-1 ，y 2），x（2，y 3），则函数值 y 1 ，y 2， y 3 的大小关系是。

典例 18 如下图，直线l x轴于点P，且与反比例函数y1k1 ( x0)及y2k2 (x 0) x x图像分别交于点 A，B，连接 OA，OB，已知△ OAB的面积为 2，则k1k2=。

第 18题图第19题图【知识点8 函数与一次函数综合】典例 19如图，已知 A（-4 ，n）， B（2，-4 ）是一次函数 y=kx+b 和反比例函数 y m 的x 图像的两个交点。

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线 AB与 x 轴的交点 C 的坐标及△ AOB的面积；（3）由图像求：不等式 kx b m0 的解集；x典例 20 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线y 12 与 x轴交于点，与y轴交于x A2点 C。

抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 x 3，且经过 A、C两点，与 x 轴的另一交点为点 B。

2（1）①直接写出点 B 的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．【知识点 1第22 章相似三角形比例的基本性质】（知识点请查阅教材或笔记）典例 1（ 1）已知abc,且3a2b c 9, 求2a+4b-3c=；578（2）若 x 是 a、b 的比例中项，那么。

典例 2若ac e7, 且 2b3d f0, 那么2a3c e =。

b d f32b3d f典例 3已知 k a b c a b c b c a,则 k的值是。

【知识点 2c b a黄金分割比】（知识点请查阅教材或笔记）典例 4点C 是线段 AB的黄金分割点，且 AB=6cm，则 BC=。

典例 5已知点 C 在线段 AB 上，且点 C 是线段 AB 的黄金分割点 (AC＞ BC) ，则下列结论正确的是 ()A ． AB ＝AC?BC B．BC＝ AC?BC C ．AC＝51BC D． BC＝3 5AB2222【知识点 3平行线分线段成比例】（知识点请查阅教材或笔记）典例 6如图， AD 为△ ABC 的中线， AE＝1AD，BE 的延长线交 AC于点 F ，DH∥BF ，则3AF的值是多少？CH典例 7如图，在△ ABC中，DG∥EC，EG∥BC.求证：AE2＝AB·AD【知识点 4 相似三角形基本模型】典例 8 如图，在 △ ABC 中，正方形 EFGH 的两个顶点 E 、 F 在 BC 上，另外两个顶 点 G 、 H 分别在 AC 、 AB 上， BC = 15 ， BC 边上的高是 10，求正方形的面积。