全国高中生创新知识与能力培育计划能力测试
高一数学
（时间：60分钟每小题5分，共100分）
数学符号说明：R 表示实数集，Z 表示整数集，Z +表示正整数集。
1. 已知{}A =博雅，优才，{}B =清华，北大，则一一映射:f A B →的个数为（）．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2. 如图，圆O 的内接正六边形
ABCDEF 的边心距OM =则弧
BC 的长为（）． A ．3π B ．23π C ．π D ．43
π
3.
函数()lg(91)()f x x x =
+-∈的定义域中所有元素之积为（）．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．6
4. 称两条相互垂直的直线为一组垂线．平面内5条直线构成n 组垂线，n 不可能为（）．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5. 如图所示，有两种边长为1cm 的菱形框（选项A
腰长为1cm 的等腰三角形框（选项C ，D ），上点O 1cm 2cm 、的速度，行。
记爬行时间为x 秒，两只蚂蚁的距离为cm y x A ． B ． C ． D ．
A
6. 函数2()(13)3x x f x -=+⋅是（）．
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇且偶函数
7. 平面直角坐标xOy 中，点集{}
(,)1,1x y x y x y -+≤≤所覆盖的平面图形的面积为（）
． A ．0.5 B ．1 C ．2
D ．4
8. 已知2333log (2015)log log 62
y
x +-=(
),x y +
∈
，则x 的最小值的各位数字之和为（）
． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
9. 已知二次函数()y f x =过原点，且(1)()1f x f x x -=+-，则2
()3
f 的值为（）．
A ．1
3
B ．19
C ．13
- D ．19-
10. 微积分思想的萌芽可以追溯到公元前200多年，古
希腊大数学家阿基米德在《抛物线求积》中研究了如下问题：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
y x =与直线1y =所围图形为弓形AOB 。
求弓形
AOB 面积S 。
我们可以这样解决该问题：如图，设矩形ABCD
平分2n 份，过等分点作x 轴的垂线，将面积S '分割求和，则
22222222222222221012(1)112322n n S n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫
-'⋅⋅++++<<⋅⋅++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
…………． 化简得，331(1)(21)1(1)(21)
2266
n n n n n n S n n --++'⋅
⋅<<⋅⋅
． 由于n 可以任意大，可以推出S '，进而可以算出弓形AOB 面积S 为（）． A ．1
3
B ．
23
C ．
43 D ．53
11. {
}2230A x x x =∈
+-=，{
}223,B y y x x x =∈
=+-∈
，则A
B 等于（）
． A ．∅ B ．{}1 C ．{}3- D ．{}1,3-
12. 如图，8块大小相同的正方体橡皮泥拼成了一个大正方体，用1根坚硬笔直
的细铁丝扎这个大正方体，可以穿透的小正方体的个数最多为（）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
13. 已知对任意实数x ，(2)(24)f x f x =+，()(3)x f x ϕ=，则以下选项中必为函数()
y x ϕ=的周期的是（）． A ．2
3
B ．
43
C ．
32
D ．
34
14. 已知1213141y x x x x =-+-+-+-的最小值为
b a
，其中,a b 是互质的正整数，则a b +等于（）． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
15. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点P Q 、的坐标分别是(1,1)、
(1,1)-，以PQ 为直径在PQ 右侧作半圆弧，点A 是这个半圆
弧上的一个动点，以A 为顶点作边长为2的菱形ABCD ，且使得3OB OD ==．设点A 的横坐标为x ，OA OC ⋅的值为y ，则下列图象中能够表示y 与x 之间的函数关系的是（）．
A ．
B ．
C ．
D ．
16. 对任意正整数n ，210
()=()10
n n F n f n n ⎧⎨⎩，＜，≥，其中()f n 表示n 的首位数字、尾位数字的平方
之和．已知()(())n F F n ϕ=，则集合{
}()29,50n n n ϕ+
∈=<的子集的个数为（）
． A ．2 B ．4
C ．8
D ．16
17. 已知定义域为R 的函数()f x 满足()22()()f f x x x f x x x -+=-+，若有且仅有一个实数
0x ，使得00()f x x =，则0x 为（）．
A ．1
B ．
1
2 C ．13
D ．
14
18. 如图，正四棱锥的每个顶点上各有一只蚂蚁，五只蚂蚁各自沿着
棱爬到相邻的某顶点处，若每只蚂蚁到达不同相邻顶点的概率相同，则每个顶点上仍各有一只蚂蚁的概率是（）． A ．281 B ．481 C ．227 D ．4
27
19. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，则20151201522015320151415151515⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
… 的值为（）．
A ．14098
B ．14100
C ．14102
D ．14104
20. 定义：点Z 为直线XY 外一点，如果存在线段XY 上一点W ，使
得△XWZ 与△WYZ 相似，则称Z 为线段XY 的相似点．例如，右图中点E 为正方形ABCD 对角线交点，则D 为直线AC 外一点，且存在线段AC 上一点E ，使得△AED 与△ECD 相似，故D 为线段AC 的一个相似点．
阅读以上材料，回答问题：平面直角坐标系xOy 中，已知(0,10)M ．函数y x b =+的图象上恰有两点为线段OM 的相似点，则b 的所有可能值的积为（）． A ．5 B ．5- C ．25- D ．125-
A。