其中： m 和 M 分别为指标 f k 允许下界和上界．
(4)标准化
Ⅰ．向量归一化法:
x ( x1 , x2 , , xn )
xn x1 x2 0 x n , n , , n xi xi xi i 1 i 1 i 1

Ⅱ．极差变换法:
一致阵 性质 • A的任一列向量是对应于n 的特征向量 • A的归一化特征向量可作为权向量 对于不一致(但在允许范围内)的 成对比较阵A，对应于最大特征根 的特征向量作为权向量w ，即
• A的秩为1，A的唯一非零特征根为n
Aw maxw
成对比较阵和权向量 Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 比较尺度aij 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9 • 便于定性到定量的转化：
a12 1/ 2 (C1 : C2 )
a13 4 (C1 : C3 )
一致比较
不一致
a23 8 (C2 : C3 )
w1 w2 w2 w2 wn w2 w1 wn w2 wn wn wn
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
w1 考察完全一致的情况 w 1 W ( 1) w1 , w2 ,wn w2 A w1 令aij wi / w j T w (w1 , w2 ,wn ) ~ 权向量 wn w1
xik
* ak aik
(i 1, 2
n)
* 其中 ak min aik 1 i n
0 xij 1
(aij 0)
一、常用综合评价方法
1. 线性加权综合法
用线性加权函数 y
w x
j 1 j
m
j
作为综合评价模型，
对 n 个系统进行综合评价。
适用条件:各评价指标之间相互独立。 对不完全独立的情况，其结果将导致各指标间 信息的重复，使评价结果不能客观地反映实际。 主要特点： （1）各评价指标间作用得到线性补偿； （2）权重系数的对评价结果的影响明显。
数学建模中的
常用综合评价方法
综合评价就是运用多个指标对多个参评单位进 行评价的方法，称为多变量综合评价方法，又称综 合评价法，其基本思想是将多个指标转化为一个能 够反映综合情况的指标来进行评价。 特点 （1）评价过程不是逐个指标顺次完成的，而是通过 一些特殊方法将多个指标的评价同时完成的。 （2）在综合评价过程中，一般要根据指标的重要性 进行加权处理。 （3）评价结果不再是具有具体含义的统计指标，而 是以指数或分值表示参评单位“综合状况”的排序。
要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
O C1 C2
C1 1 2
C2 1/2 1
C3 4 7
C4 3 5
C5 3 5
C3
C4 C5
1/4
1/3 1/3
1/7
1/5 1/5
1
2 3
1/2
1 1
1/3
1 1
1 2 A 成对比较的不一致情况
成对比较阵和权向量
1/ 2 1
4 7
3. 逼近理想点（TOPSIS）方法
* * * 设定系统指标的一个理想点 ( x1 , x2 ,, xm ) ，将
每一个被评价对象与理想点进行比较。
如果某一个被评价对象指标 ( xi1 , xi 2 ,, xim ) 在某种意义 下与 ( x1 , x2 ,, xm ) 最接近，则被评价对象 ( xi1 , xi 2 ,, xim ) 为最好的。
0 k 1i n
a aik xik 0 a ak
* k * k
则有:
(i 1, 2
n)
0 xij 1
Ⅲ．线性比例变换法:
(a) 对于正向指标 其中
fj
:
xij
aij a
* j
(i 1, 2
n)
a j max aij 0
1 i n
(b) 对于逆向指标 f k :
* 1
* 2
* m
( xi1 , xi 2 ,, xim ) ，则定义二者之间的加权距离:
yi w j f ( xij x * j ), i 1,2, , n ，
j 1 m
其中 w j 为权系数，f ( xij , x ) 为 xij 与 x 下距离。
* j
* j 之间的某种意义
通常可取 f ( xij , x ) ( xij x )
引例: 某航空公司在国际市场上购买飞机,按6个决策指标 对不同型号的飞机进行综合评价，最后决定购买的机型.
指标 机型
最大速 度 (马赫)
2.0
最大范 围 (公里)
1500
最大负 载 (千克)
20000
费用 可靠性 (106美元 )
5.5 一般
灵敏度
1
很高
2
3
2.5
1.8 2.2
2700
2000 1800
选择旅游地
目标层
如何在3个目的地中选择旅游地点.
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
“选择旅游地”思维过程的归 纳 • 将问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案 层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系用相 连的直线表示。
层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教 授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初，为美国国防 部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而 进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标 综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。 这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影 响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用 较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多 目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便 的决策方法。 是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方 法。
* j
m * 2 j
* 2 则综合评价函数为 j ，
yi w j ( xij x ) , i 1,2,, n 。
j 1
按照 yi (i 1,2,, n) 值的大小对各被评价方案进行排 序选优，其值越小方案就越好。
特别地，当某个 yi 0 时，则对应的方案就是最优的。
二. 层次分析法（AHP）
18000
21000 15000
6.5
4.5 5.0
高
低 一般
一般
高 一般
4
综合评价的一般步骤
对某事件进行多因素综合评价的过程，实质上就是科学研究与 决策的过程，原则上应包括设计、收集资料和分析资料几个基 本阶段，实施中应着重注意以下几个基本环节。
①选择恰当的评价指标(evaluation indicator)
* * *
基于这种思想的综合评价方法称为逼近理想点的排序方法 （ The technique for order preference by similarity to ideal solution，简称为 TOPSIS） 。
3. 逼近理想点（TOPSIS）方法
假设 理想点 为 ( x , x ,, x ) ， 对于被评价 对象
• 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
层次分析法的基本步骤 构造成对比 较阵和计算 权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性
专 家 评 分 法 成 对 比 较 法 模 糊 定 权 法 Saaty 权 重 法
客观定权法
秩 和 比 法
熵 权 法 相 关 系 数 法
其 它 方 法
定权带有一定的主观性，用不同方法确定的权重分配，可能不尽一 致，这将导致权重分配的不确定性，最终可能导致评价结果的不确定 性。因而在实际工作中，不论用哪种方法确定权重分配，都应当依赖 于较为合理的专业解释。
(a) 对于正向指标 f j
:记
a max{aij }
1 i n
j
a min{aij }
0 j 1 i n
,
x ij
a ij a a
* j
a
n)
0 j 0 j
(i 1, 2
(b) 对于逆向指标
fk
:记
a max{aik }
1 i n
k
a min{aik }

成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况 满足 aij a jk aik , i, j, k 1,2,, n 的正互反阵A称一致阵，如
w1 w 1 w2 w A 1 wn w1
w1 w2 w2 w2 wn w2


w1 wn w2 wn wn wn
2. 非线性加权综合法
用非线性函数 y
x
j 1
m
wj j
作为综合评价模型，对 n
个系统进行综合评价。 其中 w j 为权系数， 且要求 x j 1 。 适用条件：各指标间有较强关联性。
主要特点： （1）突出了各指标值的一致性，即平衡评价指标值 较小的指标影响的作用； （2）权重系数大小的影响不是特别明显，而对指标 值的大小差异相对较敏感。
数据的处理
(1) 指标的类型:
定性:
定量:
优,
良,
中,
一般 ，差;
很高,