19
五.两类简单的评价模型 线性加权
适用条件:各评价指标之间相互独立。 特点：
权重系数的对评价结果的影响明显。
非线性加权
特点： 对权重系数的变化不是特别明显； 对指标值的变化较敏感； 对指标之间信息重复引起的错误有一定的弥补
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**指标的独立性检验与 信息重复时的处理办法**
对独立性大小的刻画：相关系数
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八.动态加权方法
常用动态加权函数
（1） 分段变幂函数 1
wj(x) xk , x [ak( j) ,bk( j) ] ， (k 1,2, , K )
其中1 j m。
31
八.动态加权方法
常用动态加权函数
（2）偏大型正态分布函数
wj
(x)
0 1
,
e
x j
j
2
,
当
x
时,
j
当
x
时,
j
水质污染程度的最主要的四项指标是： 溶解氧（DO）,高锰酸盐指数（CODMn）,氨氮(NH3-
N),PH值，
测得17个城市28个月的水质检测指标数据， 要求综合这四种污染指标的28个月的检测数据对17个城市的 水质情况做出综合排序。
（只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质）
《地表水环境质量标准》（GB3838— 2002）
23
六.确定权重的方法
例5.
客观赋权：
英语 数学 政治 甲 60 100 80 乙 100 80 75 丙 100 60 85 丁 80 70 95
1）拉大整体差异： 选择一种使综合 得分序列的方差 最大的赋权方式.
2）参考局部差异： 按照每个指标得 分序列的方差大 小赋权
24
**其他综合排序方法**
Ⅰ类
Ⅱ类 Ⅲ类 Ⅳ类
DO
[7.5,∞) [6,7.5) [5,6) [3,5)
CODMn
(0,2]
(2,4] (4,6] (6,10]
NH3-N
(0,0.15] (0.15,0.5] (0.5,1] (1,1.5]
PH 值
[6 , 9]
单位：mg/L
Ⅴ类
劣Ⅴ类
[2,3)
[0,2]
(10,15] (1.5,2]
“极大型”、“极小型”、“中间型”和“区间型”指标。
极大型:期望取值越大越好； 极小型:期望取值越小越好；
中间型:期望取值为适当的中间值最好;可能会同 区间型:期望取值落在某一个确定的区间时出现
内为最好。
11
三.数据指标的一致化
逃
课
转换类型的方法（以都化为极大型为例）： 次
数
（1）极小型: x 1 (x 0) 或 x M x .
4）赋权w=(1/3,1/3,1/3)的前提是，指标之间是 无关联的，即信息没有重复
本例中如果使用非线性模型，即使“错误的赋权 w=(1/3,1/3,1/3)”，也能得出“正确的结果”, 这有一定偶然性
对w=(1/2,1/4,1/4)有，g(甲)=89.4427，g(乙)=78.1025； 对w=(1/3,1/3,1/3)有，g(甲)=86.1774，g(乙)=84.8093；
其中参数 j 可取 [a1( j) ,b1( j) ) 中的某
定值，如中间点。
指定 wj (aK( j) ) 的值后，可确定 （j 如wj (aK( j) ) 0.9）
八.动态加权方法
常用动态加权函数
（3）S 型分布函数
wj
(x)
2
1
x bK( j
2
a1( j ) ) a1( j )
以溶解氧为例
通过对比选择合适的动态加权 函数
八.动态加权方法
动态加权综合评价模型
m
yi wj ( xij ) xij (i 1,2,..., n)
j 1
这里 xi 表示标准化后的指标值， wj ( x)( j 1,2, ,m) 是动态权函数.
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例4.
英语 微积分 线性代数
甲 100 80
80
乙 61 100 100
2）对同一类模型而言，不同的赋权可能导 致不同的排序:
对w=(1/2,1/4,1/4)有，f(甲)=90，f(乙)=80.5； 对w=(1/3,1/3,1/3)有，f(甲)=86.6667，f(乙)=87 ；
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五.两类简单的评价模型
综合评价模型初步
参考书：
【1】韩中庚，数学建模方法与应用(第二 版)，第九章。 【2】司守奎, 电子版，第二十二章、第 十章。
1
综合评价问题案例
综合评价案例： （1）CUMCM1993-B:足球队排名问题； （ 2 ） CUMCM2008-D:NBA 赛 程 的 分 析 与 评 价 问 题； （3）CUMCM2009-D:会议筹备问题； （4）CUMCM2012-A:葡萄和葡萄酒的评价。 动态加权的综合排序案例： （1）CUMCM2002-B:彩票中的数学问题； （2）CUMCM2005-A:长江水质的评价和预测问题
CODMn
(0,2]
(2,4] (4,6] (6,10]
NH3-N
(0,0.15] (0.15,0.5] (0.5,1] (1,1.5]
PH 值
[6 , 9]
单位：mg/L
Ⅴ类
劣Ⅴ类
[2,3)
[0,2]
(10,15] (1.5,2]
(15, ∞) (2, ∞)
29
八.动态加权方法
设有 n 个被评价对象 S1, S2, , Sn (n 1) ，有 m 评价指标
70
直接计算会怎样？
将英语成绩5分 制化为100分制 再计算，又会怎 样？
8
二.数据指标的无量纲化
无量纲化常用方法：
(1)标准差法： xij xij s j 是样本标准差
sj
x
j
(2)极值差法：xij
xij m j M j mj
英数 语学
甲 3 100 乙 5 80 丙 5 60 丁 4 70
理想点法， 见[韩中庚，第二版] 模糊综合评价， 见[司守奎，电子版]
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**分类问题、判别问题的处理方 法** 分类问题的处理方法： 聚类分析
判别问题的处理方法： 判别分析
见[司守奎，纸质版与电子版]
26
七.综合评价过程的流程
明任 确务
确定指对 进标行s1综, s2合,评,价sn
初始值
明目 确的
（4）综合评价模型 将评价指标与权重系数综合成一个整体指标的
模型。 （5）评价者
直接参与评价的人。
5
一.综合评价问题的五个要素
（1）被评价对象: 记为s1,s2,…,sn (建模时可用自然数i表示，i=1,2,…,n)
（2）评价指标(体系)：要尽可能全面、合理. 记为 T1,T2,…,Tm. (建模时可用自然数j表示，j=1,2,…,m) 对被评价者si的全部评价记为xi=(xi1,xi2,…,xim), i=1,2,…,n （3）权重系数：反映各指标的重要性 记指标Tj的权重为wj， 称w=(w1,w2,…,wm)为权向量
6
一.综合评价问题的五个要素
（4）综合评价模型： yi =f (w,xi), i=1,2,…,n.
（5）评价者： 对于评价目的选择、评价指标体系确定、权 重系数的确定、评价模型的建立都与评价者 有关。
二.数据指标的无量纲化
例1. 英语 数学
比较甲、乙两门 课程平均分
甲3
100
乙5
80
丙5
60
丁4
主、客观结合
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六.确定权重的方法
例5.
英语 数学 政治
主观赋权：
甲 60 100 80 乙 100 80 75 丙 100 60 85 丁 80 70 95
若三位专家分别 给出权重
w1=(1/3,1/3,1/3)， w2=(1/4,1/2,1/4)， w3=(2/5,2/5,1/5)， 应如何定权?
(3)功效系数法：xij
c
xij mj M j mj
d
M j m1iaxn {xij } mj m1iinn{xij }
9
三.数据指标的一致化
例2.
逃课次 数学 数
甲5
100
乙1
80
丙4
60
丁 10 70
怎样计算 最终成绩？
10
三.数据指标的一致化
一般问题的数据指标 x1, x2, , xm (m 1) 可能有
T1,T2,…,,Tm。
对每一个 Tj 都可分为 K 个等级 p1, p2 , , pK (K 1) 。
每个 pk 都对应一个[ak,bk)，且当 xij 在(ak,bk)中时，则 Si 属 于第 k 类 pk (1 k K) 。
对于既有“质差”，又有“量差”的问题，合理 有效的方法是动态加权综合评价方法。
2
引例. 综合评价四人成绩，进行排序。
被评价对 象S1, S2,
S3,S4
评价指标T1,T2
英语 数学 甲 60 100
乙 100 80
丙 100 60
S3
丁 80
70
X3= (x31,x32)
3
引例. 综合评价四人成绩，进行排序。
权向量w=(w1,w2) =(0.5,0.5)
w1=0.5
w2=0.5
2
x bK( j )
b( j) K
a1(
j
,
)
a1(
2
j) x c, , c x bK( j) ,
c
1 2
(a1(
j)
bK( j) ),且w j (c)
0.5
(1 j m)