2017-2018学年贵州省遵义四中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的．请把所选答案填涂在答题卡的相应位置．1．（5分）已知全集U={0，1，2}，且∁U A={0}，则集合A=（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．U D．∅2．（5分）过点A（4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为135°，则y等于（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣53．（5分）下列说法不正确的是（）A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．平行于圆台底面的平面截圆台截面是圆面D．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥4．（5分）若，则tanα=（）A．﹣B．C．D．5．（5分）已知点P（）和圆C：x2+y2=4，则过点P且与圆C相切的直线方程是（）A．B．C．x﹣D．x6．（5分）如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图（斜二测），若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，C1D1=2A1B1=4，A1D1=1，则梯形ABCD的面积是（）A．6 B．3 C．5 D．107．（5分）三个数60.7，（0.7）6，log0.76的大小顺序是（）A．（0.7）6＜log0.76＜60.7B．（0.7）6＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜（0.7）6D．log0.76＜（0.7）6＜60.78．（5分）若直线x+（1+m）y+m﹣2=0和直线mx+2y+8=0垂直，则m的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣9．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则公比q的值为（）A．B．C．D．或10．（5分）已知实数m，n满足不等式组，则关于x的方程x2﹣（3m+2n）x+6mn=0的两根之和的最大值和最小值分别是（）A．4，﹣7 B．8，﹣8 C．7，﹣4 D．6，﹣611．（5分）锐角△ABC中，B=2A，则的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（0，2） C．（，2）D．（，）12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2 C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置．13．（5分）某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为．14．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．其中，为真命题的是．15．（5分）已知直线ax﹣by=1（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣4x+4y+7=0的周长，则的最小值为．16．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF=时，CF⊥平面B1DF．三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，第18至22题每题12分，共70分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=2sinxcosx+（2cos2x﹣1），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f（）=，且a=7，b+c=13，求△ABC的面积．18．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，三角形PBC为等边三角形，M，N分别为BC，AB的中点．（1）求证：直线BC⊥平面PAM；（2）求：异面直线MN与PB所成角的余弦值．19．（12分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（1）求圆心P的轨迹方程；（2）若点P到直线y=x的距离为，求圆P的方程．22．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n+n2﹣3n﹣2．n=1，2，3…．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值，（Ⅱ）求证：数列{a n﹣2n}为等比数列（Ⅲ）设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，求证：．2017-2018学年贵州省遵义四中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的．请把所选答案填涂在答题卡的相应位置．1．（5分）已知全集U={0，1，2}，且∁U A={0}，则集合A=（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．U D．∅【解答】解：根据题意，全集U={0，1，2}，且∁U A={0}，则A=∁U（∁U A）={1，2}，故选：B．2．（5分）过点A（4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为135°，则y等于（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5【解答】解：∵过点A（4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为135°，∴tan135°==﹣1，解得y=﹣5．故选：D．3．（5分）下列说法不正确的是（）A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．平行于圆台底面的平面截圆台截面是圆面D．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥【解答】解：A．圆柱的侧面展开图是一个矩形，正确；B．∵同一个圆锥的母线长相等，∴圆锥过轴的截面是一个等腰三角形，正确；C．根据平行于圆台底面的平面截圆台截面的性质可知：截面是圆面正确；D．直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，而直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个对底面的两个圆锥，故不正确．因此D不正确．故选：D．4．（5分）若，则tanα=（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵，∴cosα=﹣=﹣，tanα===﹣．故选：C．5．（5分）已知点P（）和圆C：x2+y2=4，则过点P且与圆C相切的直线方程是（）A．B．C．x﹣D．x【解答】解：显然点P在圆上，k PC=，∴所求直线的斜率为﹣，∴所求直线方程为y﹣1=﹣（x﹣），即x+y=4．故选：B．6．（5分）如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图（斜二测），若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，C1D1=2A1B1=4，A1D1=1，则梯形ABCD的面积是（）A．6 B．3 C．5 D．10【解答】解：如图，根据直观图画法的规则，直观图中A1D1∥O′y′，A1D1=1，⇒原图中AD∥Oy，从而得出AD⊥DC，且AD=2A1D1=2，直观图中A1B1∥C1D1，C1D1=2A1B1=4，⇒原图中AB∥CD，CD=2AB=4，即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，4，高为2，如图．故其面积S=（2+4）×2=6故选：A．7．（5分）三个数60.7，（0.7）6，log0.76的大小顺序是（）A．（0.7）6＜log0.76＜60.7B．（0.7）6＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜（0.7）6D．log0.76＜（0.7）6＜60.7【解答】解：60.7＞1，0＜（0.7）6＜1，log0.76＜0，可得60.7＞（0.7）6＞log0.76．故选：D．8．（5分）若直线x+（1+m）y+m﹣2=0和直线mx+2y+8=0垂直，则m的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣【解答】解：∵直线x+（1+m）y+m﹣2=0和直线mx+2y+8=0垂直，∴m+2（1+m）=0，解得m=﹣，故选：D．9．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则公比q的值为（）A．B．C．D．或【解答】解：∵a2，a3，a1成等差数列，∴a2+a1=2×a3=a3，即a1q2﹣a1﹣a1q=0，即q2﹣q﹣1=0，解得q=或，∵各项均为正数，∴q＞0，则q=不成立，则q=，故选：B．10．（5分）已知实数m，n满足不等式组，则关于x的方程x2﹣（3m+2n）x+6mn=0的两根之和的最大值和最小值分别是（）A．4，﹣7 B．8，﹣8 C．7，﹣4 D．6，﹣6【解答】解：作出不等式组，表示的平面区域如图所示；则关于x的方程x2﹣（3m+2n）x+6mn=0的两根之和z=x1+x2=3m+2n；由z=3m+2n可得n=﹣m+z，则z表示直线z=3m+2n在n轴上的截距，截距越大，z越大作直线3m+2n=0，向可行域方向平移直线，结合图形可知，当直线经过B时，z最大，当直线经过点D时，z最小；由可得B（1，2），此时z max=3×1+2×2=7；由可得D（0，﹣2），此时z min=3×0+2×（﹣2）=﹣4．故选：C．11．（5分）锐角△ABC中，B=2A，则的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（0，2） C．（，2）D．（，）【解答】解：由正弦定理知：，∵A+B+C=180°，∴3A+C=180°，即C=180°﹣3A，∵C为锐角，∴30°＜A＜60°，又0＜B=2A＜90°，∴30°＜A＜45°，∴＜cosA＜，即＜2cosB＜，则的取值范围是（，）．故选：D．12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2 C．D．2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC•C D=BD•r，∴r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置．13．（5分）某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为10．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高二年级抽取的人数是200×=10人，故答案为：10．14．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．其中，为真命题的是②④．【解答】解：①若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面才相互平行，故错误；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故正确；③垂直于同一直线的两条直线平行，相交，或异面，故错误；④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，故正确．故答案为：②④15．（5分）已知直线ax﹣by=1（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣4x+4y+7=0的周长，则的最小值为9．【解答】解：直线ax﹣by=1（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x+4y+7=0的周长，且圆心坐标是（2，﹣2），故2a+2b=1，所以，=（）（2a+2b）=5++≥5+2=9，当且仅当b=2a=时等号成立，则的最小值为：9．故答案为：9．16．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF=a 或2a时，CF⊥平面B1DF．【解答】解：由已知得B1D⊥平面AC1，又CF⊂平面AC1，∴B1D⊥CF，故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF．设AF=x（0＜x＜3a），则CF2=x2+4a2，DF2=a2+（3a﹣x）2，又CD2=a2+9a2=10a2，∴10a2=x2+4a2+a2+（3a﹣x）2，解得x=a或2a．故答案为：a或2a．三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，第18至22题每题12分，共70分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=2sinxcosx+（2cos2x﹣1），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f（）=，且a=7，b+c=13，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵=，∴函数的最小正周期为．（Ⅱ）∵，∴，∴∵，∴．又b+c=13由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，即49=169﹣3bc，∴bc=40，∴．18．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，三角形PBC为等边三角形，M，N分别为BC，AB的中点．（1）求证：直线BC⊥平面PAM；（2）求：异面直线MN与PB所成角的余弦值．【解答】（1）证明：∵因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB=AC=2，M为BC的中点，∴AM⊥BC．∵AM∩PA=A，∴BC⊥平面PAM．（2）取PA的中点D，连接DN，DM，∴DN∥PB，∵异面直线MN与PB所成角即为∠DNM，∵AB=AC=2，BC=2，三角形PBC为等边三角形，M，N分别为BC，AB的中点．∴MN=AC=1，DN=PB=，PM=×2=3，AM==1，∴PA==2，∴AD=，∴DM==，在△DMN中，由余弦定理可得cos∠DNM===，故异面直线MN与PB所成角的余弦值为19．（12分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【解答】解：（Ⅰ）由图看出，1日至13日13天的时间内，空气质量优良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天．由古典概型概率计算公式得，此人到达当日空气质量优良的概率P=；（Ⅱ）此人在该市停留期间两天的空气质量指数（86，25）、（25，57）、（57，143）、（143，220）、（220，160）（160，40）、（40，217）、（217，160）、（160，121）、（121，158）、（158，86）、（86，79）、（79，37）共13种情况．其中只有1天空气重度污染的是（143，220）、（220，160）、（40，217）、（217，160）共4种情况，所以，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率P=；（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图看出从5日开始连续5、6、7三天的空气质量指数方差最大．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD=，AD=2，PA=PD=，∴BE=1，PE=2．又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=．∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，∵BA=BD=，AD=2，∴BD⊥BA，∴BD，BA，BP两两垂直，以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP，则有A（0，，0），B（0，0，0），C（，﹣，0），D（，0，0），P（0，0，），∴=（，﹣，0），=（0，0，），设平面PBC的法向量为，∵，∴，令x=1，则y=1，z=0，故=（1，1，0），∵E，F分别是棱AD，PC的中点，∴E（，，0），F（，﹣，），∴=（0，，），∴s inθ====﹣，即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（1）求圆心P的轨迹方程；（2）若点P到直线y=x的距离为，求圆P的方程．【解答】解：（1）设圆心为P（a，b），半径为R，∵圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2，∴由题意知R2﹣b2=2，R2﹣a2=3，∴b2﹣a2=1，∴圆心P的轨迹方程为为y2﹣x2=1．（2）由题意知R2﹣b2=2，R2﹣a2=3，b﹣a=±1，解得a=0，b=1，R=或a=0，b=﹣1，R=，∴满足条件的圆P有两个：x2+（y﹣1）2=3或x2+（y+1）2=3．22．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n+n2﹣3n﹣2．n=1，2，3…．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值，（Ⅱ）求证：数列{a n﹣2n}为等比数列（Ⅲ）设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，求证：．【解答】（本小题共12分）（I）解：S n=2a n+n2﹣3n﹣2．n=1，可得a1=4，n=2时，1+a2=2a2+22﹣3×2﹣2，解得a2=8，n=3时，1+8+a3=2a3+32+3×3﹣2，解得a3=14．（II）证明：∵S n=2a n+n2﹣3n﹣2，=2a n+1+（n+1）2﹣3（n+1）﹣2．∴S n+1∴a n=2a n﹣2n+2，+1﹣2（n+1）=2（a n﹣2n）．∴a n+1∴{a n﹣2n}是以2为公比的等比数列．（III）证明：由已知和（1）知a1=S1=2 a1﹣4，∴a1=4，∴a1﹣2×1=4﹣2=2．∴a n﹣2n=2n，∴a n=2n+2n.．当n=1时，T1=当n≥2时，综上所述，说明：其它正确解法按相应步骤给分．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。