抛物线
【考点梳理】
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
【教材改编】
1．(选修2-1 P 67练习T 2(4)改编)抛物线280x y +=的焦点坐标为( ) A ．()0,2-
B ．()0,2
C ．10,32⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
D ．10,32⎛⎫
⎪⎝⎭
[答案] C
[解析] 由280x y +=，得21
8
x y =-.
128p =，116
p =，
∴焦点为10,32⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，故选C.
2．(选修2-1 P 73A 组T 2（1）改编)以1x =为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．22y x = B ．22y x =- C ．24y x = D ．24y x =-
[答案] D
[解析] 由准线1x =知，抛物线方程为：22y px =-（0p >）且12
p
=，2p =，
∴方程为24y x =-，故选D.
3．(选修2-1P 73A 组T 3改编)M 是抛物线22y px =（0p >）位于第一象限的点，
F 是抛物线的焦点，若5
F 2
p M =
，则直线F M 的斜率为( ) A ．43 B ．53
C ．54
D ．52
[答案] A
[解析] 设()00,x y M ，由5
F 2
p M =
，得 05
22
p x p +
=，∴02x p =.
∴220024y px p ==，取正根得02y p =.
即M 的坐标为()2,2p p ，又F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
∴F 204
322
p k p p M -=
=-
，故选A. 4．(选修2－1 P 74A 组T 8改编)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽为( )
A ．2 3 m
B ．2 6 m
C ．4 2 m
D ．4 3 m
[答案] B
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则A (2，－2)，将其坐标代入x 2＝－2py ，得p ＝
1.
∴x 2＝－2y .
当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，将其坐标代入x 2＝－2y ，得x 20＝6，∴x 0＝ 6.∴水面宽|CD |＝2 6 m ．故选B.
5．(选修2－1 P 69例4改编)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )
A.22
B. 2
[答案] C
[解析] 由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3，
∴x 1＝2，y 1＝2 2.
设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x ，
x －1＝ty
消去x 得y 2－4ty －4＝0.
∴y 1y 2＝－4， ∴y 2＝－2，x 2＝1
2，
∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝32
2，故选C.
6．(选修2－1 P 73A 组T 1改编)双曲线x 2－y 2＝4与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线相交于A ，B 两点，若|AB |＝43，则抛物线C 的方程为( )
A ．y 2＝2x
B ．y 2＝4x
C ．y 2＝8x
D ．y 2＝16x
[答案] D
[解析] 抛物线的准线方程为x ＝－p
2，代入x 2－y 2＝4，得y ＝± p 2
4－4，所
以 p 24
－4＝23，解得p ＝8，则抛物线C 的方程为y 2
＝16x ，
故选D.
7．(选修2-1 P 66例1（2）改编)焦点在直线220x y ++=上的抛物线的标准方程
为 ．
[答案] 24y x =-或28x y =-
[解析] 抛物线的标准方程的焦点都在坐标轴上，直线220x y ++= 与坐标轴的交点分别为()1,0-与()0,2-， 故所求的抛物线的焦点为()1,0-或()0,2-，
当焦点为()1,0-时，易得抛物线标准方程为24y x =-. 当焦点为()0,2-时，易得抛物线标准方程为28x y =-.
8．(选修2-1 P 74B 组T 2改编)一个顶点在原点，另外两点在抛物线22y x =上的正三角形的面积为 ．
[答案] [解析] 如图，根据对称性：A 、B 关于x 轴对称，故30x ∠AO =.
直线OA 的方程3
y x =
，代入22y x =，得260x x -=，解得0x =或6x =.
即得A 的坐标为(.
∴AB =.
故正三角形OAB 的面积为1
62
⨯=9．(选修2－1 P 71例6改编)过点(－2,1)斜率为k 的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则由k 的值组成的集合为________．
[答案] {0，－1，1
2}
[解析] 设l 的方程为y －1＝k (x ＋2)， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋(2k ＋1)
y 2＝4x ，得
ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0，
①当k ＝0时，y ＝1，此时x ＝14，l 与抛物线仅有一个公共点(1
4，1)． ②当k ≠0时，由Δ＝－16(2k 2＋k －1)＝0，得k ＝－1或k ＝1
2，∴k 的值组成的集合为{0，－1，1
2}．
10．(选修2－1 P 74B 组T 1改编)从抛物线y 2＝2px (p >0)上各点向y 轴作垂线，则各垂线段的中点轨迹方程为________．
[答案] y 2＝4px (p >0)
[解析] 如图，设P (x 1，y 1)是抛物线y 2＝2px 上任一点． PQ ⊥y 轴，垂足为Q ，PQ 的中点M (x ，y )． 则x 1＝2x ，y 1＝y ，
又y 21＝2px 1，∴y 2＝2p ·2x ＝4px .
所以各线段的中点轨迹方程为y 2＝4px (p >0)．
11．(选修2－1 P 80A 组T 6改编)如图，四边形ABCD 是抛物线y 2＝2px (p >0)的内接梯形．且AD ，BC 与x 轴交于F ，E .AD ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，若AD ＝4，BC ＝8. |BE |是|OE |与|AD |的等比中项．
(1)求抛物线方程；
(2)过抛物线准线上一点P 作梯形ABCD 外接圆的切线，T 为外接圆圆心，切点为M 、N ，求四边形PMTN 面积的最小值．
[解析] (1)由题意可设A ，B 的坐标分别为A (m,2)，B (n ，4)． ∴4＝2pm ，① 16＝2pn ，② 又|BE |2＝|OE |·|AD |.
由抛物线的对称性知|BE |＝4. ∴16＝n ×4，③
联立①②③解得，p ＝2，m ＝1，n ＝4， ∴抛物线方程为y 2＝4x .
(2)由对称性知，梯形ABCD 为等腰梯形， ∴梯形ABCD 外接圆的圆心T 在x 轴上． 设其圆心坐标为T (a,0)，由(1)知A (1,2)，B (4,4)． 由|TA |＝|TB |得，(a －1)2＋4＝(a －4)2＋16. ∴a ＝92.|TA |2＝(92－1)2＋4＝654，
∴梯形ABCD 外接圆的方程为(x －92)2＋y 2＝65
4， 即x 2＋y 2－9x ＋4＝0，。