S (ω ) =
∫
∞
−∞
U (0, T ) exp[iφNL ( L, T ) + i (ω − ω0 )T ]dT
2
实验结果： 实验结果： SPM感应频谱展宽在整个频率范围内伴 感应频谱展宽在整个频率范围内伴 随着振荡结构。通常， 随着振荡结构。通常，频谱由许多峰组 且最外面的峰强度最大， 成，且最外面的峰强度最大，峰的个数 取决于φmax且随之线性增加 且随之线性增加； 取决于φmax且随之线性增加； 展宽的频谱中， 在SPM展宽的频谱中，峰的个数 近似 展宽的频谱中 峰的个数M近似 由以下关系式给定
SPM感应啁啾为 SPM感应啁啾为
非线性相移在时域的形状与光强相同。 非线性相移在时域的形状与光强相同。 δω在前沿附近是负的（红移），而到后沿附近则变为正（兰移） δω在前沿附近是负的 红移），而到后沿附近则变为正（兰移） 在前沿附近是负的（ ），而到后沿附近则变为正 对于高斯脉冲，中心附近较大的范围内，有正的、线性啁啾。 对于高斯脉冲，中心附近较大的范围内，有正的、线性啁啾。 对于前后沿较陡的脉冲，啁啾量显著增大。 对于前后沿较陡的脉冲，啁啾量显著增大。 超高斯脉冲的啁啾仅发生在脉冲沿附近，且不是线性变化的， 超高斯脉冲的啁啾仅发生在脉冲沿附近，且不是线性变化的， 而中心频率附近为零。 而中心频率附近为零。
δω max = 0.86∆ω 0φ max
数值给定。 表明展宽因子近似由最大相移 φ max 数值给定。
频谱展宽因子 脉冲频谱的真实形状 S (ω ) 可通过对式 U ( L, T ) = U (0, T ) exp[iφNL ( L, T )] 做傅 2 ~ S (ω ) = U ( L, ω ) 得到。 里叶变换， 得到。 里叶变换，并利用
正常色散区，SPM加 正常色散区，SPM加 快了脉冲展宽速度
①在光纤的正常色散区内，SPM效应 在光纤的正常色散区内，SPM效应 的存在使脉冲展宽速度更快。 的存在使脉冲展宽速度更快。这可以 通过SPM产生的在脉冲前沿附近红移 通过SPM产生的在脉冲前沿附近红移 而在后沿附近蓝移的新的频率分量来 解释，由于在正常色散区内， 解释，由于在正常色散区内，红移分 量较蓝移分量传输得快， SPM引起 量较蓝移分量传输得快，由SPM引起 的脉冲展宽速度较仅由GVD引起的脉 的脉冲展宽速度较仅由GVD引起的脉 冲展宽速度快； 冲展宽速度快； ②SPM引起的非线性相移φNL较脉冲 SPM引起的非线性相移 引起的非线性相移φ 形状保持不变时的相移小时， 形状保持不变时的相移小时，因为随 脉冲展宽，脉冲的峰值功率降低， 脉冲展宽，脉冲的峰值功率降低， φNL减小。它反过来又影响频谱展宽。 减小。它反过来又影响频谱展宽。
第四章 自相位调制
1. SPM感应频谱变化 SPM感应频谱变化 2.群速度色散的影响 2.群速度色散的影响 3.高阶非线性效应 3.高阶非线性效应 4.SPM应用举例 4.SPM应用举例
1. SPM感应频谱变化 SPM感应频谱变化
非线性相移
利用归一化的振幅U 利用归一化的振幅U(z,t)，传输方程可以写为： 传输方程可以写为：
∂U sgn( β 2 ) ∂ 2U e −αz i = − | U |2 U ∂z 2 LD ∂τ 2 L NL
=0的极限条件下变为 在β2=0的极限条件下变为 光纤损耗系数
∂U ie −α z = | U |2 U ∂z LNL LNL = (γ P0 ) −1 非线性长度
用U
= V exp(iφNL ) 做代换，并令方程两边的实部和虚部分别相等，有 做代换，并令方程两边的实部和虚部分别相等，
φmax = Leff LNL = γ P0 Leff
SPM感应频率啁啾： SPM感应频率啁啾： 感应频率啁啾 φNL与时间有关，这种瞬时变化的相位意味着在光脉冲的中心频率两侧 与时间有关， 出现了不同的瞬时光频率，也就是出现了频率啁啾 频率啁啾。 出现了不同的瞬时光频率，也就是出现了频率啁啾。
Leff ∂φ NL = − δω (T ) = − L ∂T NL ∂ 2 ∂T | U (0, T ) |
φmax
1 ≈ ( M − )π 2
无啁啾高斯脉冲的频谱展宽因子： 无啁啾高斯脉冲的频谱展宽因子：
∆ωrms 4 2 12 = (1 + φmax ) ∆ω0 3 3
脉冲形状和初始啁啾的影响 初始脉冲形状的影响： 初始脉冲形状的影响：
尽管上图中的两频谱都呈现出了多峰结构，但对于超高斯脉冲来说， 尽管上图中的两频谱都呈现出了多峰结构，但对于超高斯脉冲来说，大部 分能量仍保留在中央峰内， 分能量仍保留在中央峰内，这是由于在 T < T0时超高斯脉冲有近乎均匀的 光强，结果中央区域的啁啾几乎为零。 频率啁啾主要出现在前后沿附近， 光强，结果中央区域的啁啾几乎为零。 频率啁啾主要出现在前后沿附近， 当前后沿变陡后，图中的尾部覆盖的频率范围扩大， 当前后沿变陡后，图中的尾部覆盖的频率范围扩大，但同时其所携带的能 量减少，这是因为啁啾发生在一个很小的时间间隔内。
脉冲频谱的变化 SPM感应频率啁啾可以使频谱展宽，也可以使频谱变窄， SPM感应频率啁啾可以使频谱展宽，也可以使频谱变窄，这取决于入 感应频率啁啾可以使频谱展宽 射脉冲的啁啾方式。 射脉冲的啁啾方式。 若入射脉冲是无啁啾的，SPM总是导致频谱展宽。 δω( 若入射脉冲是无啁啾的，SPM总是导致频谱展宽。令δω(T)的时间导 总是导致频谱展宽 数为零，可以得到δω的最大值为 数为零，可以得到δω的最大值为
负号是因为 exp ( −iω0t ) 的原因 这种啁啾是由 SPM引起的，它随传输距离的增大而增大，换句话说， 引起的，它随传输距离的增大而增大，换句话说， 引起的 当脉冲沿光纤传输时，新的频率分量在不断产生。这些由SPM产生的 当脉冲沿光纤传输时，新的频率分量在不断产生。这些由 产生的 频率分量展宽了频谱，使之超过了z=0处脉冲的初始宽度。 频率分量展宽了频谱，使之超过了 处脉冲的初始宽度。 处脉冲的初始宽度 对m阶的无啁啾超高斯输入脉冲 阶的无啁啾超高斯输入脉冲
1 + iC T 2 m U (0, T ) = exp − 2 T0 2 m −1 T 2m 2m Leff T δω (T ) = exp − T0 LNL T0 T0
2. 群速度色散的影响
当脉冲变窄，并且其色散长度可与光纤长相比拟时，脉冲在光纤中的 当脉冲变窄，并且其色散长度可与光纤长相比拟时， 演变就需要考虑GVD SPM效应的共同作用 GVD和 效应的共同作用。 演变就需要考虑GVD和SPM效应的共同作用。
脉冲演化
SPM和GVD共同作用下脉冲的演化可用如下归一化的方程描述： SPM和GVD共同作用下脉冲的演化可用如下归一化的方程描述： 共同作用下脉冲的演化可用如下归一化的方程描述
δω max
对无啁啾高斯脉冲， 对无啁啾高斯脉冲，有 ∆ω 0 令m=1，可以计算出 ，
mf (m) = φ max T0
= T0−1
1 f ( m) = 2 1 − 2m
1−1 2 m
1 exp − 1 − 2m
幅度下降到1/e处的半宽度 幅度下降到1/e处的半宽度 1/e
∂U 1 ∂ Байду номын сангаасU i = sgn( β 2 ) − N 2 e −αz | U | 2 U ∂ξ 2 ∂τ 2
LD γP0T02 N = = L NL | β2 |
2
ξ = z LD 归一化距离
τ = T T0
归一化时间
说明： 说明： (1)N决定着在脉冲演化过程中究竟是 决定着在脉冲演化过程中究竟是SPM还是 还是GVD效应起主要作用。当 效应起主要作用。 决定着在脉冲演化过程中究竟是 还是 效应起主要作用 N<<1时，色散起主要作用；而当 起主要作用； 时 色散起主要作用；而当N>>1时，则SPM起主要作用；当N≈1时， 时 起主要作用 时 GVD和SPM起同样重要的作用。 起同样重要的作用。 和 起同样重要的作用 是正值（ (2)sgn(β2)=±１取决于 ± 取决于GVD是正值（β2>0）还是负值（β2<0）。 是正值 ）还是负值（ ）。 (3)可以用分步傅里叶方法数值求解此方程。 可以用分步傅里叶方法数值求解此方程。 可以用分步傅里叶方法数值求解此方程
脉冲展宽因子
利用很多种数值方法能计算脉冲展宽因子，可根据需要选择不同方法。 利用很多种数值方法能计算脉冲展宽因子，可根据需要选择不同方法。 当无啁啾高斯脉冲在长度为L的光纤的输入端入射时， 当无啁啾高斯脉冲在长度为 的光纤的输入端入射时，其展宽因子为 的光纤的输入端入射时
反常色散区，SPM降 反常色散区，SPM降 低了脉冲展宽速度
①开始时的脉冲展宽速度远小于无SPM的情形，且 开始时的脉冲展宽速度远小于无SPM的情形， SPM的情形 时基本达到了稳定态，同时频谱窄化， 当Z>4LD时基本达到了稳定态，同时频谱窄化，而不 是预期的在无GVD SPM引起频谱展宽。 是预期的在无GVD时SPM引起频谱展宽。这是因为 GVD时 引起频谱展宽 SPM所致啁啾是正的 而色散所致啁啾是负的。 所致啁啾是正的， SPM所致啁啾是正的，而色散所致啁啾是负的。当 N=1时 N=1时，这两种啁啾的作用在高斯脉冲的中心附近基 本上相互抵消，在脉冲传输期间，通过调整自身形状， 本上相互抵消，在脉冲传输期间，通过调整自身形状， 使之尽可能抵消这两种相反的啁啾。这样，GVD和 使之尽可能抵消这两种相反的啁啾。这样，GVD和 SPM共同作用来保持无啁啾脉冲——对应孤子的演变 共同作用来保持无啁啾脉冲—— SPM共同作用来保持无啁啾脉冲——对应孤子的演变 过程。 过程。 若把脉冲形状选为双曲正割形且C ②若把脉冲形状选为双曲正割形且C＝0，则脉冲的 形状和频谱在传输过程中将保持不变。 形状和频谱在传输过程中将保持不变。 当输入脉冲形状偏离双曲正割形时，GVD和 当输入脉冲形状偏离双曲正割形时，GVD和SPM 的联合作用使脉冲整形，演化成图中所示的双曲正割 的联合作用使脉冲整形， 脉冲， 脉冲，