n
例 设矩阵
1 −1 1 x 4 y A= −3 3 5
已知其有3个线性无关的特征向量， 已知其有3个线性无关的特征向量，λ = 2 是 －1 重特征值， 的2重特征值，求可逆矩阵 P 使得 P AP 为对角矩阵。 为对角矩阵。
例 已知线性方程组
x1 + 2 x2 + x3 = 3 2 x1 + (a + 4) x2 − 5 x3 = 6 − x − 2 x + ax = −3 1 2 3
−1 *
例 设矩阵
3 2 2 0 1 0 2 3 2 , P = 1 0 1 , B = P −1 A* P A= 2 2 3 0 0 1
特征值和特征向量。 求 B + 2 I 特征值和特征向量。
例 设
xn = xn −1 + 2 yn −1 , yn = 4 xn −1 + 3 yn −1
满足什么条件时， 可对角化？ 问 a, b, c 满足什么条件时， A 可对角化？ 解：
| λ I − A |= (λ − a ) 2 (λ − c)
是否可以对角化？如果可以， 问， A是否可以对角化？如果可以，试求可逆矩阵 P－1 AP 为对角矩阵。 为对角矩阵。 P 使得 例 若 n 阶矩阵 也可以对角化。 也可以对角化。 可以对角化， A 可以对角化，试说明 A 和A
例 已知矩阵 A的特征值为1，2，3。求 A 的特征值为1 的特征值。 的特征值。 解 设 λ 是矩阵 的特征向量， 的特征向量，则 的特征值， A 的特征值， α
2
− 2I
是与之相对应
Aα = λα
⇒
A( Aα ) = A(λα )
2 2
⇒ Aα =λ α ⇒ A2α − 2α = λ 2α − 2α ⇒ ( A − 2 I )α = (λ − 2)α
取何值时， 可对角化？ （1）问 a 取何值时， A 可对角化？ （2）当 A 可对角化时，求可逆矩阵 P使得 PAP −1 可对角化时， 为对角矩阵。 为对角矩阵。
已知1,1,-1是3阶实对称矩阵 A 例 已知 是 阶实对称矩阵 的特征 值，向量
η1 = [1,1,1] ,η2 = [2, 2,1]
f (λ ), α f ( A) →
例 试说明幂等矩阵 ( A = 它的特征值为0或者1 它的特征值为0或者1。 必有特征值， A ) 必有特征值，而且
2
例
求下面矩阵的特征值与特征向量
0 0 3 2 − i 2i 0 1 0 −1 , B = 1 A= 0 0 0 1 3 0 1 0
T
T
分别为对应于特征值 λ1 = λ2 = 的特征向 1 量，求矩阵 A
已知3,0,-6是3阶实对称矩阵 A 例 已知 是 阶实对称矩阵 的特征 值，向量
η1 = [1, a,1] ,η2 = [a, a + 1,1]
T
T
分别为对应于特征值 λ1 = 3, λ2 = −6 的特征 向量， 向量，求矩阵 A
例
设
As×n , Bn×s ，证明： 证明：
有相同的非零特征值， （1） AB与BA 有相同的非零特征值，并且重数 ） 相同； 相同； （2）如果 α 是 AB 的属于非零特征值 λ 的一个特 ） 征向量， 征向量，那么 Bα 是 BA 的属于特征值 λ 的一个 特征向量。 特征向量。
例
已知
a 0 0 A = 0 a b 0 0 c
例
已知 ξ = [1,1, −1] 是矩阵
T
2 −1 2 5 a 3 A= −1 b −2 的一个特征向量
（1）确定参数 a, b以及特征值λ ） 是否可以对角化， （2）矩阵 A 是否可以对角化，说明理由 ）
2 2
注意到 α ≠ 0，因此 应的特征向量也是 这样， 这样，
2
λ −是 2
2
α
Hale Waihona Puke 的特征值， 的特征值，对 A2 − 2 I
A − 2 I 的特征值为－1，2，7。 的特征值为－
问题：如何将此结论扩展到矩阵多项式上面？ 问题：如何将此结论扩展到矩阵多项式上面？ 矩阵多项式上面
λ , α A →
例 求下列矩阵的广义逆矩阵
1 1 2 −1 A= 1 −2 4 1
解 构造分块矩阵
1 2 4 0 0 3 −1 6 2 6 2 1
A B= I5
I4 0
的前4行作初等行变换 行作初等行变换、 列作初等列变换， 对 B 的前 行作初等行变换、前5列作初等列变换， 列作初等列变换 A B 被化为相抵标准形， 直到 被化为相抵标准形，则 被化为
求 x100
x0 = 2, y0 = 1
2
xn 1 2 xn −1 1 2 xn − 2 y = 4 3 y = 4 3 y n −1 n−2 n 1 2 x0 LL = y 4 3 0
有无穷多解，矩阵 A 的特征值为1,-1,0，与 的特征值为1, 1,0， 1,有无穷多解， 其相应的特征向量依次是
α1 = [1, 2a, −1] , α 2 = [a − 2, −1, a + 1] ,
T T
α 3 = [a, a + 3, a + 2]
求 A, A
100
T
例
已知矩阵
1 2 0 A = 2 1 0 −2 a 3