y x 1J m (x) x J m (x)
y 1x 2 Jm (x) x 1Jm (x) x 1Jm (x) x 2 Jm(x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1 x 2 Jm (x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1x 2 Jm (x)
xnYn1(x)
d
dx
xnYn (x)
x
Y n n1
(
x)
Yn1 ( x)
Yn1 ( x)
2n x
Yn
(x)
Yn1(x) Yn1(x) 2Yn(x)
例1 求下列微积分
(1)
d dx
J0
(
x)
J 0
(x)
J1(x)
(2)
J0(x)
1 x
J0(x)
J1(x)
1 x
J1(x)
1 2
J
0
(x)
1 2 x
x 1Jm (x) x Jm (x)
2
2
m2 x2
x
J
m
(x)
x 2 Jm(x) x 1Jm (x) x2 2 m2 x 2 Jm (x)
x 2 x2 2 Jm(x) xJm (x) x2 2 m2 Jm (x)
x2 t 2Jm(t) tJm (t) t 2 m2 Jm (t)
J
(x)
y AJn (x) BYn (x)
数学物理方程与特殊函数
x2 y xy x2 n2 y 0
J
n
(
x)
m0
(1)m m!(n m
1)
x 2
n2m
Yn
(
x)
lim
n
J
(x)
cos sin
J
(
x)
y AJn (x) BYn (x)
A、B为任意常数，
n为任意实数
令： V (, ) ()( )
VT a22V T
2V T
V a2T
T ' a2T 0 T (t) Aea2t
2V V 0
( 0)
1 1 0
2
2 2
0
2 2 0
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
0
2 2 0
3
(1)m 2m1
52m 1
(
1
)
x 2
1 2
2m
2
(1)m 22m1
x
1 2
2m
m0 2m 1 ! 2
(1)m 2 x2m1
m0 2m 1! x
2
x
(1)m x2m1
m0 2m 1 !
2 sin x
x
J 1 (x) 2
2 cosx
x
J n1 (x) (1)n 2
2
x
n
Yn (x) (1)n Yn (x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
J
n
(x)
m0
(1) m m!(n m
1)
x 2
n2m
Yn
(x)
lim
n
J
(x)
cos sin
J
(x)
性质3 递推性
d
dx
x
n
J
n
(
x)
d
(1)m x2n2m
dx m0 2n2m m!(n m 1)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
第五章 贝塞尔函数(bessel)
一 贝塞尔函数的引出
u(ut,a,02) 2u(a,2 ),2u2
1
u
1
2
2u
2
,
R,0 2 ,t 0 R,0 2
u(R, ,t) 0,
0 2 ,t 0
令：u(, ,t) V (, )T (t)
J n1 (x) J n1 (x) 2J n (x)
J n1 (x)
J n1 (x)
2n x
Jn
(x)
(6)
R 0
J0 (x) cos
xdx
xJ0 (x) cos
x
|0R
R 0
xdJ0 (x) cos
x
RJ0 (R) cos R
R 0
xJ
0
(
x)
cos
x
J
0
(
x)
s
in
xdx
RJ0(R) cosR
ak
ak 2 k(2n k)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
ak
ak 2 k(2n k)
令：
a0
1 2n (n
1)
( p) ex x p1dx 0
( p 1) p( p)
(1) 1 (1/ 2)
当p为正整数时 ( p 1) p! 当p为负整数或零时 ( p)
a2m
(1)m 2n2m m!(n
R 0
xJ1
(
x)
c
os
x
xJ1
(
x)
sin
xdx
RJ0 (R) cos R
R 0
xJ1
(
x)
s
in
x
dx
RJ0 (R) cos R RJ1(R) sin R
(7)
xn1Jn ( x)dx
t α
n1
J
n
(t
)d
t α
1
n2
t n1Jn (t)dt
1
n2
dt n1J n1(t)
)
0, R2
2
J
2 n1
(m(n)
),
mk mk
xJn (x) nJn (x) xJn1(x)
xJn (x) nJn (x) xJn1(x)
J 'n (m(n) ) Jn1(m(n) ) Jn1(m(n) )
Jn (m(n) ) 0
R 0
rJ n 2
(n) m R
r dr
贝塞尔函数
J1(0)
1 2
J0 (0)
J2
(0)
1 2
n 1
J n
(0)
1 2
J n1 (0)
J n1 (0)
0
性质5 零点 有无穷多个对称分布的零点 Jn (m(n) ) 0
J n (x)和 J n1 (x) 的零点相间分布
J n (x)
的零点趋于周期分布，lim m
(n) m1
(n) m
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
J
n
(
x)
m0
(1)m m!(n m
1)
x 2
n2m
性质6 半奇数阶的贝塞尔函数
J
1 2
(
x)
m0
(1)m m!(3
m)
x 2
12m 2
2
(1)m
x
1 2m
2
m0 m! 1 1 1 2 1 m 1 (1 ) 2
2 2 2 2 2
m0
m!1
(c 2 n2 )a0 xc (c 1)2 n2 a1xc1 (c k )2 n 2 ) ak ak2 xck 0
k 0
(c2 n2 )a0 0
(c 1)2 n2 a1 0 (c k)2 n2 ) ak ak2 0
c n c n
a1 0
a1 a3 a5.... 0
n 1, 2,
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
J
n
(
x)
m0
(1)m m!(n m
1)
x 2
n2m
1 n不为整数时，贝塞尔方程的通解
n阶第一类贝塞尔函数
Jn (x) 和 Jn (x) 线性无关
y AJn (x) BJn (x)
A cot n B csc n
Yn (x)
m
1)
n0
J
n
(
x)
m0
(1)m m!(n m
1)
x 2
n2m
n0
n阶第一类贝塞尔函数
当n为正整数时 (n m 1) (n m)!
J
n
(
x)
m0
(1)m m!(n m)!
x 2
n2m
n 0,1, 2,
c n 时
J
n
(
x)
m0
(1)m m!(n m
1)
x 2
n2m
Jn (x) cos n sin n
Jn (x)
n阶第二类贝塞尔函数（牛曼函数）
y AJ n (x) BYn (x)
2 n为整数时，贝塞尔方程的通解
n为整数时
1 (n m 1)
0
m 0,1, 2 (N 1)
J n (x) (1)n J n (x)
Yn
(x)
lim
n
J
(x)
cos sin
(1)m 2n 2m x2n2m1
m0 2n2m m!(n m 1)
x
n
m0
(1) 2 n 2 m 1
x m 2n2m1 m!(n m)
xn J n1(x)
d dx
xn
Jn
( x)
xn
J n1 ( x)
d dx
xn
Jn
(x)
xn
J
n1
(
x)
d dx
xJ1 ( x)
xJ0 (x)
0
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
例3：将1在 0 x 1区间内展成