圆锥曲线第 3 讲抛物线【知识要点】一、抛物线的定义平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线l（F l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

注 1：在抛物线的定义中，必须强调：定点 F 不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点 F 且垂直于直线l的一条直线。

注 2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线l（F l）的距离之比等于 1 的点的轨迹叫抛物线。

注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。

以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。

二、抛物线的标准方程1. 抛物线的标准方程抛物线的标准方程有以下四种：p,0) ，准线为 x p（1） y 2 2 px （ p0），其焦点为F (2 2 ；（2） y 2 2 px （ p0 ），其焦点为F (p,0)，准线为xp2 2 ；F (0,pyp（3）x22 py （ p0)2），其焦点为2，准线为；F (0,p p（4）x22 py （ p)y），其焦点为 2 ，准线为 2 .2. 抛物线的标准方程的特点抛物线的标准方程y 22 px （ p 0 ）或 x22 py （ p）的特点在于：等号的一端是某个变元的完全平方， 等号的另一端是另一个变元的一次项， 抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x轴时，抛物线方程中的一次项就是 x的一次项，且一次项 x 的符号指明了抛物线的开口方向； 当抛物线的对称轴为y轴时， 抛物线方程中的一次项就是 y 的一次项，且一次项y的符号指明了抛物线的开口方向.三、抛物线的性质以标准方程y 22 px（p 0）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。

（1）范围：x，y R ；（2）顶点：坐标原点O (0,0)；（3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为y；（ 4）开口方向：向右；（ 5）焦参数： p；F ( p,0) （6）焦点： 2 ；p x（7）准线：2 ；（ 8）焦准距： p；（ 9）离心率： e 1；（10）焦半径：若P(x 0 , y 0 )为抛物线y 22 px（p 0）上一点，则由抛物线的定义，有PFx 0p2 ；（11）通径长：2p.注 1 ：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。

以抛物线y 22 pxF (p ,0)pp p p（p0 2x() ）的焦点和准线 l：2 为例，可求得其焦准距为22；注 2：抛物线的焦点弦指的是由过抛物线的焦点与该抛物线交于不同两点的直线所构成的p ,0)弦。

设抛物线的方程为y2 2px （ p），过其焦点F (2且不垂直于 x 轴的直线交该抛物 线 于A( x1, y 1 ) 、 B( x 2 , y 2 ) 两 点 ， 则 由 抛 物 线 的 定 义 ， 可 知 其 焦 半 径AF x 1pp x 2 (p p() x 1BF) x 222 ，22 ，于是该抛物线的焦点弦长为AB AF BF ( x 1p) ( x 2p) x 1 x 2 p22.注 3：抛物线的通径指的是过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦。

通径是抛物线的所有焦y22px （ p 0 ），过其焦点F (p,0)且垂直于 x 轴点弦中最短的弦。

设抛物线的方程为2p, p)pp)的直线交该抛物线于 A 、 B 两点（不妨令点A(B( ,A 在 x 轴的上方），则 2 、2，于是该抛物线的通径长为ABp ( p)2 p.四、与抛物线相关的几个重要结论p ,0)xpy 22 px （ p 0 ），点F (2 是其准线，设抛物线的方程为2是其焦点，直线 l：若过该抛物线焦点F 的直线交该抛物线于A( x 1, y 1) 、B( x 2, y 2 )两点（即线段AB 是该抛物线的焦点弦），并且点A 、点B 在其准线上的垂足分别为点C、点 D ，线段 CD的中点为点N ，则可以证明：（1）y 1y2p 2 ， x 1 x 2p 24 ；2 p（ 2）AB x 1 x 2 p sin 2 （这里， 为直线 AB 的倾斜角）；p 2（3）S AOB为直线 AB 的倾斜角）；2sin （这里，（4）以线段AB为直径的圆与该抛物线的准线相切；（5） ANB 90 ， CFD 90；（6）以线段CD为直径的圆切直线 AB 于点 F .证明： 由于当直线 AB 的斜率不存在或斜率存在且不为零时，均符合题意，因此为避免分情AB 过点 F (p,0)况进行讨论而使得证明过程比较繁琐，根据直线2，我们可巧设其方程为x cot yp2 ，这里，为直线 AB 的倾斜角 .y 22 pxpx cotyy 2p 2（1）联立2，得 2 p cot yy 1 y 22 p cot2 p coty 1 y 2 p 2 p 2由韦达定理，有1 ，1x 1 x 2y 12 y 22 y 12y 22 ( y 1 y 2 )2 2 y 1 y 2(2 p cot ) 2 2( p 2 )2 p 2 p2p2p2 p故4p 2 cot 22 p 22 pcot 2pp(2 cot 21)2 px 1x 2y 12 y 22 ( y 1 y 2 ) 2 ( p 2 ) 2p 4 p 22 p 2 p4 p24 p24 p24ABAFBF ACBD [ x 1 (p [ x 2(p （2）由抛物线的定义，有)] )]22( x 1 p ) (x 2p ) x 1 x 2p (cot y 1p ) (cot y 2p ) p2 2222 pcot ( y 1 y 2 ) 2 p cot2p cot2 p 2 p(cot 21) 2 p csc 2sin2SAOB1OF y 1 y 2 1 p ( y 1 y 2 ) 2p ( y 1 y 2 )24y 1 y 2p( 2p cot ) 2 4( p 2 )（3）2 2 244p 4p 2cot 24 p2p 4 p 2 (cot21)p 4 p 2 csc2p2 p cscp 2 p csc 44444p 21p 2 2 sin2 sin（4）设 AB 的中点为M (x 0, y 0 )x 0 (p) x 0p x 1 x 2p x 1 x 2 pp(2 cot 21) p 2 p(cot 21) p(cot 21)则22 2 2 22 2又 AB( x 1 x 2 )2 ( y 1 y 2 ) 2( x 1 x 2 ) 2 4x 1x 2 ( y 1 y 2 ) 2 4y 1 y 222p 2 222 44 cot222 22[ p(2 cot1)]4(2 p cot )4( p ) p ( 4 cot1) p4 p cot 4 p44 p 2 cot 48p 2 cot 2 4 p 2 4 p 2 (cot 4 2 cot 2 1) 4 p 2 (cot 2 1)2 2 p (cot 2 1)2 p(cot 21)x 0 ( p )1AB2 2xp2 的距离等于AB的一半， 即以线段 AB 为这表明， AB 的中点M (x 0, y 0)到准线 l ：M (x 0, y 0 )到准线 l：xp直径的圆的圆心2 的距离等于圆的半径 .故以线段 AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切N (p , y 1 y 2 )（5）A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ， 2 2y 1 y 2 y 1 y 2 y 2 y 1 y 2y 1 y 2kNAy 1 2 2 k NB2 2p ) pp ) px 1 (x 1x 2 (x 222 ，2 2y 1 y 2y 1 y 2( y 1 y 2 ) 2 ( y 1 y 2 )2 4y 1 y 2于是 k NA k NB2244 p 2ppp)( x 2p )p(x 1x 1x 2( x 1x 1x 2x 2 )222 224( 2 p cot ) 2 4( p 2 ) 4 p 2 cot 24 p 2p 2 cot 2 p 2441p 2 pp 2 p 2 p 2 p 2 cot 2p 22 1) 21)4 p(2 cot4 2(2cot22故 NANB ，即ANB90C (p, y1 ) D (pF (p2, y2 ),0)又，2，2 FC ( p, y1) ， FD ( p, y2 )于是FC FD p 2y y2p2( p2 ) 01故 FC FD ，即CFD90NF[ p(p )]2(0y1y2 ) 2p 2(y1y2 ) 2p 2(2 p cot)2p2p 2 cot 2（6）22222 p2 (1 cot2 )p(1cot2)CD y1y2( y1y2 ) 2( y1y2 ) 24y1 y2(2 p cot)24(p2 )4 p2 cot2 4 p 2 4 p2 (cot 21)2p(cot21)NF 1CD 2这表明，CD的中点N (p,y1y2 ) F (p,0)CD的一半，即以线段 CD 为22到点2的距离等于N (p,y1y2 ) F (p,0)直径的圆的圆心22到点2的距离等于圆的半径 .故以线段CD为直径的圆切直线AB于点 F【例题选讲】题型 1：抛物线定义的应用1.已知 F 是抛物线y2x的焦点， A 、B 是该抛物线上的两点，AFBF 3，则线段 AB的中点到y轴的距离为 ___________.解：在抛物线y2x 中， 2 p 1 ，即p12F (11,0)x该抛物线的焦点为4，准线方程为4AF BF1 1由此可知， 直线 AB 不垂直于 x轴，否则 2 1AFBF 3矛盾2 ，与已知设 A(x 1, y 1 ) ， B( x 2 , y 2 )x 1 x 2则线段 AB 的中点到yd轴的距离2，并且由抛物线的定义，有AF x 1 (1 1 1) x 21) x 1BFx 2 (444 ，4x 11 3x 1x 25 于是由AFBF 3 x 22，有2x 1 x 25 52故线段 AB 的中点到yd24轴的距离22. 设抛物线 y28x的焦点为 F ，准线为 l ，点 P 为该抛物线上一点， PA l ，点 A 为垂足，如果直线 AF 的斜率为3，那么PF=___________.解： 在抛物线y 28x 中， 2 p 8 ，即 p4该抛物线的焦点为F (2,0) ，准线方程为 x2由kAF3 ， F (2,0)可知，直线 AF 的方程为y3( x 2) ，即 y3x 2 3y3x 2 3x 2联立x2，得y 43A( 2,43)于是由PAl 于点 A 知，yPy A4 38x 中，得x P(4 3) 2将其代入方程 y 28 6故由抛物线的定义，有PFPAx P( 2)6 283. 已知以 F 为焦点的抛物线y 24 x上的两点 A 、 B 满足 AF3FB，则弦 AB 的中点到准线的距离为 ___________.解：在抛物线y24x 中， 2 p 4 ，即 p2该抛物线的焦点为 F (1,0) ，准线方程为 x1设 A(x1, y1 ) ， B( x2 , y2 )d x1x2( 1)x1x21AF(1 x1 , y1 ) ，22则弦 AB 的中点到准线的距离，并且FB( x11, y2 )1 x13( x21)x13x24于是由 AF 3FB ，有y1 3 y2y13y2，又由AF3FB可知，直线 AB 的斜率存在，不妨设为k则直线 AB 的方程为y0k( x1) ，即 y kx ky24x联立y kx k，得 ky24y4k0 y1 y24k4由韦达定理，有k而y1y23y223 y224y224y129 y2294123 ，3y1212y2241 x13于是43 x2434，4x1x23158 d1312231故弦 AB 的中点到准线的距离3题型 2：求抛物线的方程4. 设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为x2，则该抛物线的方程是___________.解：由所求抛物线的准线方程为x2 ，可设其方程为y2 2 px （ p0）p2p4则有2故所求抛物线的方程为y28x5. 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且焦点到准线的距离为2，则该抛物线的方程是 ___________.解：由题设条件可设所求抛物线的方程为y2 2 px （ p 0 ）或 x2 2 py （ p 0）则由焦准距为 2，有p2故所求抛物线的方程为y 24x 或 x2 4 y6. 已知抛物线过点P( 3,2)，则该抛物线的标准方程为___________ ，其准线方程为___________.解：由所求抛物线过点P( 3,2) ，可设其方程为 y 2 2 px （ p 0 ）或 x22py （ p0 ）则有 4 6 p 或 9 4 p2 9p p于是 3 或4y 2 4 x x29 y故所求抛物线的方程为 3 或27. 已知抛物线的焦点F在直线x2y4 0上，则该抛物线的标准方程为___________，其准线方程为 ___________.解：在方程x 2 y 40 中，令 x0 ，得 y 2 ；令 y 0 ，得 x4于是所求抛物线的焦点为 F (0, 2) 或 F (4,0)（ⅰ）当所求抛物线的焦点为F (0,2)时，据此可设所求抛物线的方程为x2 2 py p0）（p2p4则有2x2y p2于是此时所求抛物线的方程为8y，其准线方程为2（ⅱ）当所求抛物线的焦点为F (4,0)时，据此可设所求抛物线的方程为y2 2 px（ p0 ）p4p 8则有 2y216x xp4于是此时所求抛物线的方程为，其准线方程为2故所求抛物线的方程为x28y 或 y216x，它们对应的准线方程分别为y 2 ， x4.8.已知动圆与圆 A ：( x 3)2y29外切，且与y轴相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为___________.解：设 M ( x, y)则由动圆 M 与圆 A 外切，且与y轴相切，有MA x 3（ x 0 ）(x 3)2( y0)2x 3（ x 0 ），即y26( xx)（ x 0 ）（）当x 0时，由（）式，有 y212 x；当 x 0 时，由（）式，有 y20y212x, x0故动圆圆心 M 的轨迹方程为y 20, x09. 若抛物线y22px）的焦点恰好是双曲线x2y22的右焦点，则p=___________.（ p 02 px 的焦点为F (p p解：抛物线 y2 2 ,0)，准线方程为x2在双曲线 x2y2x 2y212，即 22中， a2b2 2 ， c2 a 2b22 2 4a b 2 ， c2于是双曲线 x2y22的左、右焦点分别为F1(2,0) 、 F2 ( 2,0)抛物线 y2 2 px 的焦点F (p,0)恰好是点 (2,0)又2 p22故p 410. 若抛物线y2 2 px （p 0）的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p=___________.解：抛物线y2 2 px 的焦点为F (p,0)，准线方程为xp22在双曲线 x2y2 1 中，a2b21， c 2a2b21 1 2 a b 1， c2于是双曲线 x2y21的左、右焦点分别为F1 (2,0) 、 F2 ( 2,0)22 px x p(2,0)2又抛物线y的准线经过点p22故p 2 211. 已知抛物线的焦点是双曲线16x29y 2144的左顶点，则该抛物线的标准方程为___________.解：在双曲线 16x2 9y2x2y21中， a29, b216, c2a2 b2144，即 91691625a 3,b 4,c 5于是该双曲线的左顶点为(3,0)因而所求抛物线的焦点为F ( 3,0)，据此可设所求抛物线的方程为y2 2 px （p 0）p则有23p611故所求抛物线的方程为y212 x12. 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线y 3与该抛物线交于点 A ，并且AF5，则该抛物线的标准方程为 ___________.解：由所求抛物线的焦点在x轴上，可设其方程为y2 2 px0）或y2 2 px0 ）（p（p（ⅰ）对于抛物线y2 2 px （ p0 ），设 A(m,3)， m0则由AF5m(p )5m p5，有2，即2①又点 A(m,3) 在抛物线 y 2 2 px 上9 2 pm ②联立①、②，得p1或 p9于是此时所求抛物线的方程为y22x 或 y218 x（ⅱ）对于抛物线y2 2 px （ p0 ），设 A(n, 3) ， n0pn5则由AF5，有 2③又点 A(n,3) 在抛物线 y 2 2 px 上9 2 pn④联立③、④，得p1或 p9于是此时所求抛物线的方程为y22x 或 y218x 故所求抛物线的方程为y 22x 或 y218x题型 3：抛物线的性质13. 已知抛物线C：y2 2 px （ p）过点A(1, 2)，与抛物线 C 有公共点的直线l平行5于OA（O为坐标原点），并且直线OA与l之间的距离等于 5 ，则直线l的方程为12___________.解：由抛物线 C ：y2 2 px 过点 A(1, 2) ，有 4 2 p p 2抛物线 C 的方程为y24x，其焦点为 F (1,0) ，准线方程为 x1由直线l OA且 OA 的方程为 y2x ，即 2x y0 ，可设直线 l 的方程为 2x y t 05又平行直线 OA ： 2x y0 与 l ： 2x y t 0之间的距离等于5dt0t5t1 221255y24x联立y 2x t，得 y 22y 2t 0224 1 2t 4 8t 0t1则由直线l与抛物线C有公共点，有2于是t1（舍去t1）故直线 l 的方程为 2x y 1014. 过抛物线x2 2 py（ p）的焦点作斜率为 1 的直线l与该抛物线交于A、B两点，A、B在x轴上的正射影分别为 D 、C.若梯形ABCD的面积为 12 2 ，则p=___________.2 py 的焦点为F (0,p p解：抛物线x22)，准线方程为y2由直线l的斜率为F ( 0,p)可知，直线l的方程为y p 1 (x 0)y x p 1，且过点22，即2设A(x1, y1 ) ， B( x2 , y2 )x2 2 pyy x p，得 x2p2联立22px0解得：x1p 2 p，x2p2 pBC AD y2y1y1 y2(x1p) (x2p )S梯形ABCD( x1 x2 )(x1x2 )22( x1x2 )CD222又213x1x2p(x1 x2 )2 p p2 2 p3 2 p212 2 22p24又p 0故p 215. 过点M (0,6)且与抛物线y212x有一个公共点的直线方程为 _________.解：显然，点M(0,6) 在抛物线 y212 x 外（1）当所求直线的斜率不存在时，显然，过点 M (0,6) 且与抛物线 y212 x有一个公共点的直线方程为x0（2）当所求直线的斜率存在时，不妨设其斜率为k则由其过点M (0,6)可知，所求直线的方程为y6k (x0) ，即 y kx6联立y212x ，得k2x2(12k12) x360 （）y kx6（ⅰ）若 k0，则由（）式，有12 x360x3而此时所求直线的方程为y6即此时所求直线与抛物线y 212 x的唯一公共点为( 3,6)，满足题意于是当 k0 时，所求直线的方程为y6（ⅱ）若 k0 ，则对（）式，由所求直线与抛物线仅有一个公共点，有(12k12) 2 4 k 236144k 2288k144144k 2288k1440k 1，满足题意21 x于是当 k0 时，所求直线的方程为y62故所求直线的方程为 x0 或y 6或y 1 x6216. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于 A、B两点，交C的准线于 D 、 E两点。