2020年重庆第二外国语学校中考数学模拟试卷（三）一．选择题（共12小题）1．在，﹣3，0，这四个数中，无理数是（）A．B．﹣3C．0D．2．甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能保证a、b平行的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠4D．∠1+∠4＝180°4．若分式﹣有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣3B．x≠﹣3C．x≥﹣3D．x≠﹣65．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4B．4：3C．：2D．2：6．下列命题是真命题的是（）A．多边形的内角和为360°B．若2a﹣b＝1，则代数式6a﹣3b﹣3＝0C．二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴的交点的坐标为（0，2）D．矩形的对角线互相垂直平分7．估计（）÷的值应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间8．如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1B．π+2C．π﹣1D．π﹣29．下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，…，则图7中有（）个棋子．A．35B．40C．45D．5010．位于南岸区黄桷垭的文峰塔，有着“平安宝塔”之称．某校数学社团对其高度AB进行了测量．如图，他们从塔底A的点B出发，沿水平方向行走了13米，到达点C，然后沿斜坡CD继续前进到达点D处，已知DC＝BC．在点D处用测角仪测得塔顶A的仰角为42°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．其中测角仪及其支架DE高度约为0.5米，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么文峰塔的高度AB约为（）（sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）A．22.5 米B．24.0 米C．28.0 米D．33.3 米11．若数a既使关于x的不等式组无解，又使关于x的分式方程＝1的解小于4，则满足条件的所有整数a的个数为（）A．2B．3C．4D．512．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴的一个交点坐标为（0，3），其部分图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②4a+c＞0；③方程ax2+bx+c＝3的两个根是x1＝0，x2＝2；④方程ax2+bx+c＝0有一个实根大于2；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共6小题）13．计算：﹣（π﹣3）0+（﹣）﹣2＝．14．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上两点，连接AC、CD、BD，若CA＝CD，∠ACD＝80°，则∠CAB＝°．15．现有五个小球，每个小球上面分别标着1，2，3，4，5这五个数字中的一个，这些小球除标的数字不同以外，其余的全部相同，把分别标有数字4、5的两个小球放入不透明的口袋A中，把分别标有数字1、2、3的三个小球放入不透明的口袋B中，现随机从A和B两个口袋中各取出一个小球，把从A口袋中取出的小球上标的数字记作m，从B口袋中取出的小球上标的数字记作n，且m﹣n＝k，则y关于x的二次函数y＝2x2﹣4x+k与x 轴有交点的概率是．16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的一边OA在x轴上，OA＝3，反比例函数y＝（k≠0）过菱形的顶点C和AB边上的中点E，则k的值为．17．甲、乙两辆汽车从A地出发前往相距250千米的B地，乙车先出发匀速行驶，一段时间后，甲车出发匀速追赶，途中因油料不足，甲到服务区加油花了6分钟，为了尽快追上乙车，甲车提高速度仍保持匀速行驶，追上乙车后继续保持这一速度直到B地，如图是甲、乙两车之间的距离s（km2），乙车出发时间t（h）之间的函数关系图象，则甲车比乙车早到分钟．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD 为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为．三．解答题（共8小题）19．（1）解方程组：（2）化简：（1﹣）÷20．如图，D是△ABC边BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE＝DF （1）证明：△ABC的等腰三角形；（2）连接AD，若AB＝5，BC＝8，求DE的长．21．距离中考体考时间越来越近，年级想了解初三年级1000名学生周末在家体育锻炼的情况，在初三年级随机抽取了20名男生和20名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了以下数据（单位：min）：男生：20 30 40 45 60 120 80 50 100 45 85 90 90 70 90 50 90 50 70 40女生：75 30 120 70 60 100 90 40 75 60 75 75 80 90 70 80 50 80 100 90统计数据，并制作了如下统计表：时间x x≤3030＜x≤6060＜x≤9090＜x≤120男生2882女生1m n3分析数据：两组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示极差平均数中位数众数男生a65.75b90女生c75.575d（1）请将上面的表格补充完整：m＝，n＝，a＝，b＝，c＝，d＝，（2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计初三年级周末在家锻炼的时间在90min以上的同学约有多少人？（3）李老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持李老师观点的理由．22．甲、乙两个工厂需加工生产550台某种机器，已知甲工厂每天加工生产的机器台数是乙工厂每天加工生产的机器台数的1.5倍，并且加工生产240台这种机器甲工厂需要的时间比乙工厂需要的时间少4天．（1）求甲、乙两个工厂每天分别可以加工生产多少台这种机器？（2）若甲工厂每天加工的生产成本是3万元，乙工厂每天加工生产的成本是2.4万元，要使得加工生产这批机器的总成本不得高于60万元，至少应该安排甲工厂生产多少天？23．小东同学根据函数的学习经验，对函数y＝|x﹣1|+|x+3|进行了探究，下面是他的探究过程：（1）已知x＝﹣3时|x+3|＝0；x＝1时|x﹣1|＝0，化简：①当x＜﹣3时，y＝；②当﹣3≤x≤1时，y＝；③当x＞1时，y＝；（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象，根据图象，写出该函数的一条性质：；（3）根据上面的探究，解决下面问题：已知A（a，0）是x轴上一动点，B（1，0），C（﹣3，0），则AB+AC的最小值是．24．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是抛物线上的一动点（不与B，C两点重合），△BEC面积记为S，当S 取何值时，对应的点E有且只有三个？25．请阅读以下材料，并解决相应的问题：材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在解某些特殊方程时，使用换元法常常可以达到转化与化归的目的，例如在求解一元四次方程x4﹣2x2+1＝0时，令x2＝t，则原方程可变为t2﹣2t+1＝0，解得t＝1，从而得到原方程的解为x＝±1．村料二：杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列．如图为杨辉三角形：（1）利用换元法解方程：（x2+3x﹣1）2+2（x2+3x﹣1）＝3（2）在杨辉三角形中，按照由上至下、从左到右的顺序观察，设a n是第n行的第2个数（其中n≥4），b n是第n行的第3个数，c n是第（n﹣1）行的第3个数．请利用换元法因式分解：4（b n﹣a n）•c n+126．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．在，﹣3，0，这四个数中，无理数是（）A．B．﹣3C．0D．【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．【解答】解：在，﹣3，0，这四个数中，无理数是，故选：A．2．甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．3．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能保证a、b平行的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠4D．∠1+∠4＝180°【分析】分别根据同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行进行判断即可．【解答】解：A、由∠1＝∠2，得到a∥b，所以A选项正确；B、由∠2＝∠3，得到a∥b，所以B选项正确；C、由∠3＝∠4，无法判断a与b的关系所以C选项错误；D、由∠1＝∠3，∠3+∠4＝180°，得到a∥b，所以D选项正确．故选：C．4．若分式﹣有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣3B．x≠﹣3C．x≥﹣3D．x≠﹣6【分析】根据分式有意义的条件可得2x+6≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x+6≠0，解得：x≠﹣3，故选：B．5．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4B．4：3C．：2D．2：【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．6．下列命题是真命题的是（）A．多边形的内角和为360°B．若2a﹣b＝1，则代数式6a﹣3b﹣3＝0C．二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴的交点的坐标为（0，2）D．矩形的对角线互相垂直平分【分析】利用多边形的内角和定理、函数与坐标轴的交点坐标及矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、多边形的外角和为360°，故错误，是假命题；B、若2a﹣b＝1，则代数式6a﹣3b﹣3＝0，正确，是真命题；C、二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴的交点的坐标为（0，3），错误，是假命题；D、矩形的对角线相等，故错误，是假命题；故选：B．7．估计（）÷的值应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【分析】先根据二次根式的混合运算法则进行计算，估计5＜＜6，可得结论．【解答】解：（3﹣）÷，＝3﹣2，＝﹣2，∵5＜＜6，∴3＜﹣2＜4，故选：C．8．如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1B．π+2C．π﹣1D．π﹣2【分析】根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的，求出圆内接正方形的边长，即可求解．【解答】解：连接AO，DO，∵ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，AD＝＝2，圆内接正方形的边长为2，所以阴影部分的面积＝[4π﹣（2）2]＝（π﹣2）cm2．故选：D．9．下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，…，则图7中有（）个棋子．A．35B．40C．45D．50【分析】根据题意得出第n个图形中棋子数为1+2+3+…+n+1+2n，据此可得．【解答】解：∵图1中棋子有5＝1+2+1×2个，图2中棋子有10＝1+2+3+2×2个，图3中棋子有16＝1+2+3+4+3×2个，…∴图7中棋子有1+2+3+4+5+6+7+8+7×2＝50个，故选：D．10．位于南岸区黄桷垭的文峰塔，有着“平安宝塔”之称．某校数学社团对其高度AB进行了测量．如图，他们从塔底A的点B出发，沿水平方向行走了13米，到达点C，然后沿斜坡CD继续前进到达点D处，已知DC＝BC．在点D处用测角仪测得塔顶A的仰角为42°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．其中测角仪及其支架DE高度约为0.5米，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么文峰塔的高度AB约为（）（sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）A．22.5 米B．24.0 米C．28.0 米D．33.3 米【分析】过点E作EM⊥AB与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设CD ＝x，则CG＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM＝BG，BM＝EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．【解答】解：过点E作EM⊥AB与点M，∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝13米，∴设CD＝x，则CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝132，解得x＝5，∴DG＝5米，CG＝12米，∴EG＝5+0.5＝5.5米，BG＝13+12＝25米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝25米，BM＝EG＝5.5米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝42°，∴AM＝EM•tan42°≈25×0.90＝22.5米，∴AB＝AM+BM＝22.5+5.5＝28米．故选：C．11．若数a既使关于x的不等式组无解，又使关于x的分式方程＝1的解小于4，则满足条件的所有整数a的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】不等式组变形后，根据无解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程的解小于4，确定出满足条件a的值．【解答】解：解不等式+1≤，得：x≤5a﹣6，解不等式x﹣2a＞6，得：x＞2a+6，∵不等式组无解，∴2a+6≥5a﹣6，解得：a≤4，解方程＝1，得：x＝2﹣2a，∵方程的解小于4，∴2﹣2a＜4且2﹣2a≠±2，解得：a＞﹣1且a≠0、a≠2，则﹣1＜a≤4且a≠0、a≠2，所以满足条件的所有整数a有1、3、4这3个，故选：B．12．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴的一个交点坐标为（0，3），其部分图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②4a+c＞0；③方程ax2+bx+c＝3的两个根是x1＝0，x2＝2；④方程ax2+bx+c＝0有一个实根大于2；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x＝1＞0，a、b异号，因此b＞0，与y 轴交点为（0，3），因此c＝3＞0，于是abc＜0，故结论①是正确的；由对称轴为x＝﹣＝1得2a+b＝0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，所以a+2a+c＜0，即3a+c＜0，又a＜0，4a+c＜0，故结论②不正确；当y＝3时，x1＝0，即过（0，3），抛物线的对称轴为x＝1，由对称性可得，抛物线过（2，3），因此方程ax2+bx+c＝3的有两个根是x1＝0，x2＝2；故③正确；抛物线与x轴的一个交点（x1，0），且﹣1＜x1＜0，由对称轴x＝1，可得另一个交点（x2，0），2＜x2＜3，因此④是正确的；根据图象可得当x＜0时，y随x增大而增大，因此⑤是正确的；正确的结论有4个，故选：A．二．填空题（共6小题）13．计算：﹣（π﹣3）0+（﹣）﹣2＝1．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣2﹣1+4＝1．故答案为：1．14．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上两点，连接AC、CD、BD，若CA＝CD，∠ACD＝80°，则∠CAB＝40°．【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠CDA，根据∠CDA＝∠CBA，再根据直径的性质得∠ACB＝90°，由此即可解决问题．【解答】解：如图，连接BC，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠ACD＝80°，∴∠CAD+∠CDA+∠ACD＝180°∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣∠ACD）＝50°，∴∠ABC＝∠ADC＝50°（同弧所对的圆周角相等），∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°．故答案为：40．15．现有五个小球，每个小球上面分别标着1，2，3，4，5这五个数字中的一个，这些小球除标的数字不同以外，其余的全部相同，把分别标有数字4、5的两个小球放入不透明的口袋A中，把分别标有数字1、2、3的三个小球放入不透明的口袋B中，现随机从A和B两个口袋中各取出一个小球，把从A口袋中取出的小球上标的数字记作m，从B口袋中取出的小球上标的数字记作n，且m﹣n＝k，则y关于x的二次函数y＝2x2﹣4x+k与x 轴有交点的概率是．【分析】画树状图列出所有等可能结果，计算出k的值，由一元二次方程根的判别式求得k的范围，依据概率公式求解可得．【解答】解：画树状图如下：∵y关于x的二次函数y＝2x2﹣4x+k与x轴有交点，∴△＝16﹣8k≥0，即k≤2，则y关于x的二次函数y＝2x2﹣4x+k与x轴有交点的概率为＝，故答案为：．16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的一边OA在x轴上，OA＝3，反比例函数y ＝（k≠0）过菱形的顶点C和AB边上的中点E，则k的值为﹣2．【分析】由菱形OABC的边长OA＝3，可以表示出点A的坐标（﹣3，0），进而得出OA ＝AB＝BC＝CO＝3，设出点C的坐标，表示出点B的坐标，再根据E是AB的中点，可以表示出点E的坐标，把点C、E的坐标代入反比例函数关系式，可求出a的值，即ON 的长，再由勾股定理求出CN，确定b的值，进而求出k的值．【解答】解：设C坐标为（a，b），∵菱形ABCO的一边OA在x轴上，OA＝3，∴点B（a﹣3，b），∵E是AB的中点，A（﹣3，0），∴点E（，），把点C、E的坐标代入反比例函数关系式得，ab＝k＝×，解得，a＝﹣2，即ON＝2，∵OC＝OA＝3，∴CN＝＝，即，b＝，∴k＝ab＝﹣2×＝﹣2，故答案为：﹣2．17．甲、乙两辆汽车从A地出发前往相距250千米的B地，乙车先出发匀速行驶，一段时间后，甲车出发匀速追赶，途中因油料不足，甲到服务区加油花了6分钟，为了尽快追上乙车，甲车提高速度仍保持匀速行驶，追上乙车后继续保持这一速度直到B地，如图是甲、乙两车之间的距离s（km2），乙车出发时间t（h）之间的函数关系图象，则甲车比乙车早到11.5分钟．【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得甲开始的速度和后来的速度和乙的速度，从而可以求得甲车比乙车早到的时间，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，乙车的速度为：40÷0.5＝80km/h，甲车开始时的速度为：（2×80﹣10）÷（2﹣0.5）＝100km/h，甲车后来的速度为：＝120km/h，∴乙车从A地到B地用的时间为：250÷80＝h，甲车从A地到B地的时间为：＝2h，∴＝＝11.5分钟，故答案为：11.5．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD 为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为8．【分析】过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．由AB＝AC＝5，BC＝4，得到BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，求得GB＝8，设BD ＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG，EH＝DG＝8﹣x，所以S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．【解答】解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，∴，即∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．故答案为8．三．解答题（共8小题）19．（1）解方程组：（2）化简：（1﹣）÷【分析】（1）直接利用加减消元法解方程组得出答案；（2）直接利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1），②﹣①×2得：7y＝﹣14，解得：y＝﹣2，故x＝3，故方程组的解为：；（2）原式＝×＝＝＝1﹣x．20．如图，D是△ABC边BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE＝DF （1）证明：△ABC的等腰三角形；（2）连接AD，若AB＝5，BC＝8，求DE的长．【分析】（1）求出BD＝CD，∠DEB＝∠DFC＝90°，根据HL证出Rt△BDE≌Rt△CDF，得出∠B＝∠C，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，由勾股定理求出AD，根据面积法求出DE即可．【解答】（1）证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE与Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）得：AB＝AC，∵D是△ABC边BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝BC＝4，∴AD＝＝＝3，∵△ABD的面积＝AB×DE＝BD×AD，∴DE＝＝＝．21．距离中考体考时间越来越近，年级想了解初三年级1000名学生周末在家体育锻炼的情况，在初三年级随机抽取了20名男生和20名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了以下数据（单位：min）：男生：20 30 40 45 60 120 80 50 100 45 85 90 90 70 90 50 90 50 70 40女生：75 30 120 70 60 100 90 40 75 60 75 75 80 90 70 80 50 80 100 90统计数据，并制作了如下统计表：时间x x≤3030＜x≤6060＜x≤9090＜x≤120男生2882女生1m n3分析数据：两组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示极差平均数中位数众数男生a65.75b90女生c75.575d（1）请将上面的表格补充完整：m＝4，n＝12，a＝100，b＝75，c＝90，d＝75，（2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计初三年级周末在家锻炼的时间在90min以上的同学约有多少人？（3）李老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持李老师观点的理由．【分析】（1）根据频数统计的方法分别统计调查m、n的值，利用极差、中位数、众数的意义分别求出a、b、c、d，并补全表格；（2）根据男女生样本中锻炼时间超过90min的所占的百分比，进而求出相应的人数；（3）从极差，平均数得出结论．【解答】解：（1）根据频数统计方法可得m＝4，n＝12；a＝120﹣20＝100；c＝120﹣30＝90；男生的锻炼时间从小到大排列处在第10、11位的两个数的平均数为（70+80）÷2＝75，即，b＝75；女生锻炼时间出现次数最多74min，出现4次，因此众数为75分钟，d＝75；补全表格如下：故答案为：4，12，100，75，90，75；（2）500×+500×＝125（人），答：初三年级周末在家锻炼的时间在90min以上的同学约有125人；（3）①男生的极差为100，女生的极差为90，因此女生的锻炼时间比较整齐，离散程度不大，②从平均数上看，女生的比男生的高，因此女生成绩较好．22．甲、乙两个工厂需加工生产550台某种机器，已知甲工厂每天加工生产的机器台数是乙工厂每天加工生产的机器台数的1.5倍，并且加工生产240台这种机器甲工厂需要的时间比乙工厂需要的时间少4天．（1）求甲、乙两个工厂每天分别可以加工生产多少台这种机器？（2）若甲工厂每天加工的生产成本是3万元，乙工厂每天加工生产的成本是2.4万元，要使得加工生产这批机器的总成本不得高于60万元，至少应该安排甲工厂生产多少天？【分析】（1）设乙工厂每天加工生产的机器台数为x，根据题意列出方程即可求出答案．（2）设应该安排甲工厂生产x天，根据题意列出一元一次不等式即可求出答案．【解答】解：（1）设乙工厂每天加工生产的机器台数为x，则甲工厂每天加工生产的机器台数为1.5x，根据题意可知：＝﹣4，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，答：甲、乙两个工厂每天分别可以加工生产30和20台这种机器．（2）设应该安排甲工厂生产x天，根据题意可知：3x+2.4×≤60，解得：x≥10，答：至少应该安排甲工厂生产10天23．小东同学根据函数的学习经验，对函数y＝|x﹣1|+|x+3|进行了探究，下面是他的探究过程：（1）已知x＝﹣3时|x+3|＝0；x＝1时|x﹣1|＝0，化简：①当x＜﹣3时，y＝﹣2﹣2x；②当﹣3≤x≤1时，y＝4；③当x＞1时，y＝2x+2；（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象，根据图象，写出该函数的一条性质：函数图象不过原点；（3）根据上面的探究，解决下面问题：已知A（a，0）是x轴上一动点，B（1，0），C（﹣3，0），则AB+AC的最小值是4．【分析】（1）根据已知条件及绝对值的化简法则计算即可；（2）画出函数图象，则易得一条函数性质；（3）A（a，0）位于点B（1，0）和点C（﹣3，0）之间时，AB+AC等于线段BC的长，此时为其最小值．【解答】解：（1）∵x＝﹣3时|x+3|＝0；x＝1时|x﹣1|＝0∴当x＜﹣3时，y＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2﹣2x；②当﹣3≤x≤1时，y＝1﹣x+x+3＝4；③当x＞1时，y＝x﹣1+x+3＝2x+2；故答案为：﹣2﹣2x；4；2x+2．（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象，如图所示：根据图象，该函数图象不过原点．故答案为：函数图象不过原点；（3）根据上面的探究可知当A（a，0）位于点B（1，0）和点C（﹣3，0）之间时，AB+AC 有最小值4．故答案为：4．24．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是抛物线上的一动点（不与B，C两点重合），△BEC面积记为S，当S 取何值时，对应的点E有且只有三个？【分析】（1）先利用一次函数解析式确定B（0，3），C（4，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）由于E点在直线BC的下方的抛物线上时，存在两个对应的E点满足△BEC面积为S，则当E点在直线BC的上方的抛物线上时，只能有一个对应的E点满足△BEC面积为S，所以过E点的直线与抛物线只有一个公共点，设此时直线解析式为y＝﹣x+b，利用方程组只有一组解求出b得到E点坐标，然后计算此时S△BEC．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B（0，3），当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝4，则C（4，0），把B（0，3），C（4，0）代入y＝ax2+x+c得，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）当E点在直线BC的下方的抛物线上时，一定有两个对应的E点满足△BEC面积为S，所以当E点在直线BC的上方的抛物线上时，只能有一个对应的E点满足△BEC面积为S，即此时过E点的直线与抛物线只有一个公共点，设此时直线解析式为y＝﹣x+b，方程组只有一组解，方程﹣x2+x+3＝﹣x+b有两个相等的实数解，则△＝122﹣4×3×（﹣24+8b）＝0，解得b＝，解方程得x1＝x2＝2，E点坐标为（2，2），此时S△BEC＝×4×（2﹣）＝1，所以当S＝1时，对应的点E有且只有三个．25．请阅读以下材料，并解决相应的问题：材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在解某些特殊方程时，使用换元法常常可以达到转化与化归的目的，例如在求解一元四次方程x4﹣2x2+1＝0时，令x2＝t，则原方程可变为t2﹣2t+1＝0，解得t＝1，从而得到原方程的解为x＝±1．村料二：杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列．如图为杨辉三角形：（1）利用换元法解方程：（x2+3x﹣1）2+2（x2+3x﹣1）＝3（2）在杨辉三角形中，按照由上至下、从左到右的顺序观察，设a n是第n行的第2个数（其中n≥4），b n是第n行的第3个数，c n是第（n﹣1）行的第3个数．请利用换元法因式分解：4（b n﹣a n）•c n+1【分析】（1）设t＝x2+3x﹣1，则原方程可化为：t2+2t＝3，求得t的值再代回可求得方程的解；（2）根据杨辉三角形的特点得出a n，b n，c n，然后代入4（b n﹣a n）•c n+1再因式分解即可．【解答】（1）解：令t＝x2+3x﹣1则原方程为：t2+2t＝3解得：t＝1 或者t＝﹣3当t＝1时x2+3x﹣1＝1解得：或当t＝﹣3时x2+3x﹣1＝﹣3解得：x＝﹣1或x＝﹣2∴方程的解为：或或x＝﹣1或x＝﹣2（2）解：根据杨辉三角形的特点得出：a n＝n﹣1∴4（b n﹣a n）•c n+1＝（n﹣1）（n﹣4）（n﹣2）（n﹣3）+1＝（n2﹣5n+4）（n2﹣5n+6）+1＝（n2﹣5n+4）2+2（n2﹣5n+4）+1＝（n2﹣5n+5）226．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．【分析】（1）结论：DE＝DG．如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF＝CM，GM＝GE，再证明△DCM≌△DAE（SAS）即可解决问题．（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．证明方法类似．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当E，F，C共线时．②如图3﹣2中，当E，F，C共线时，分别求解即可．【解答】解：（1）结论：DE＝DG．理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，∵∠AEF＝∠B＝90°，∴EF∥CM，∴∠CMG＝∠FEG，∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，∴△CMG≌△FEG（AAS），∴EF＝CM，GM＝GE，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DCM≌△DAE（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，∴△EGD是等腰直角三角形，∴DE＝DG．（2）如图2中，结论成立．理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，∴△CGM≌△FGE（SAS），∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，∴CM∥ER，∴∠DCM＝∠ERC，∵∠AER+∠ADR＝180°，∴∠EAD+∠ERD＝180°，∵∠ERD+∠ERC＝180°，∴∠DCM＝∠EAD，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DAE≌△DCM（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∵EG＝GM，∴DG＝EG＝GM，∴△EDG是等腰直角三角形，∴DE＝DG．（3）①如图3﹣1中，当E，F，C共线时，在Rt△ADC中，AC＝＝＝5，在Rt△AEC中，EC＝＝＝7，∴CF＝CE﹣EF＝6，∴CG＝CF＝3，∵∠DGC＝90°，∴DG＝＝＝4．∴DE＝DG＝4．②如图3﹣2中，当E，F，C共线时，同法可得DE＝3．综上所述，DE的长为4或3．。