五、静磁场的总能量
3、电流与磁场间的相互作用能 Ae表示外磁场的矢势，Je表示产生外磁场的
电流分布。 总电流为J+Je，磁场的总矢势为A+Ae，
五、静磁场的总能量
W 1
2
(J J e ) (A Ae ) dV
1
2
J A dV 1 2
J
e
Ae
dV
1 2
(J Ae J e A ) dV
第三章 静磁场
第三章 静磁场
§1 矢势及其微分方程 §2 磁标势 §3 磁多极矩 §4 阿哈罗诺夫—玻姆
(Aharonov-Bohm)效应
§1 矢势及其微分方程
一、矢势 二、矢势的微分方程 三、矢势的边值关系 四、对矢势A的说明 五、静磁场的能量
一、矢势
在静电场中，由于 E 0
E
B 0
例2
并且 A与方位角φ无关（轴对称）。因此，为了 简化计算，我们可以把场点选在xOz平面上。
A Ay
dly dl cos a cosd
例2
r x x
R 2 a 2 2Ra cos
其中α为x与x′之间的夹角。
例2
x x | x || x | cos cos x x | x || x |
B A
H A
H 1 A
二、矢势的微分方程 1 ( A) J
( A) J
( A) 2A J
由于采用了库仑规律， A 0。则
2 A J
A 0
（1.8）
二、矢势的微分方程
又可以写成
2Ax J x 2Ay J y 2Az J z
(1.8a)
2Ai Ji i 1,2,3
例2
2 k2
(k
E)
K
2 k2
[1
1k 4
2
(1
1k 4
2 )]
2
2
[1
1 4
k2]
k2
228
k2
8
例2
A (R,0)
e
0Ik 2
(a
R sin
1
)2
k 2
8
e
0Ik 3
16
(
a
1
)2
因此我们可以对A加上一些限制，或者说对 A 加上辅助条件，这些条件叫做规范。
一、矢势 3、库仑规范
A 0
（1.5）
值得说明的是： （1）满足（1.5）式的规范叫做库仑规范 （2）既满足（1.3）式，又满足（1.5）式的A 总是 可以找到的
一、矢势
假定我们找到了一个A，它满足（1.3）式，但 不满足（1.5）式，即
n
(
1
2
A2
1
1
A1 )
α
（1.14）
A dl
L
(A2t
A1t )l
0
B dS
S
三、矢势的边值关系
A2t A1t
（1.16）
V A dV SA dS 0
B dS 0
S
n B2 B1 0
B2n=B1n
A2n=A1n
A2=A1
(1.17) (1.18)
三、矢势的边值关系
例1、书上P.104 解：选取柱坐标系，导线为z轴。 向上为z轴的正方向。任取一点 O为坐标原点。过原点做平面， 场点P可以看成是在该平面上。 设P到导线的垂直距离为R。由
例2
例2（书上P.105） 解：线圈在空间任一点P激发的矢势为
A
0 4
I dl r
（1.25）
选取球坐标系，则场点的坐标为（R,θ,φ），而 源点的坐标为 （R′,θ′,φ′）。由于
I dl I dle Ia de
例2
即电流元只有 e 分量，因 而由（1.25）式知，A也只
有 e 分量。
A Ae
可以验证
A1 yB0i
Az Ax 0, Ay B0x, A2 xB0 j
一、矢势
也是（1.3a）的解。这说明，对于同一个B0可以 有两个矢势和它对应。
（1.3a）式的解是很多的。例如，取 为任
意标量函数。我们知道，任意标量场的梯度场必 为无旋场，即
0
一、矢势
A A
即 A 与矢势A都对应同一个磁场B。也就是 说，一个磁场B与许许多多矢势A相对应。或者说， 许多矢势A可以对应同一个磁场B。
1 2
2
2
n
1
1
n
三、矢势的边值关系
在边值关系中，与磁场相关的有两个，即
n (B2 B1) 0 n (H 2 H1) α 其中n是界面的法线方向，由介质1指向介质2，
α是交界面上传导电流的线密度。
三、矢势的边值关系
由于
B A H B 1 A
n ( A2 A1) 0
例2
A
(R, )
0Ia
2 0
(2 sin 2 1) d R 2 a 2 2Ra sin 1 k 2 sin 2
0Ia
1
2
2 sin 2 1 d
R 2 a 2 2Ra sin 0 1 k 2 sin 2
0Ia
k
2
2 sin 2 1 d
4Ra sin 0 1 k 2 sin 2
d
2
1 k 2 sin 2 k 2
2 0
1 k 2 sin 2 d ]
例2
E (,k) 1k 2 sin 2 d 0
E ( ,k ) [1 ( 1 )2k 2 ( 1 3 )2 k 4 ( 1 3 5 )2 k 6 ]
2
22
24 3 246 5
F ,k d
4
V
(
r r3
)J
(x) dV
4
V
J
(x) r r3
dV
（1.10）
J (x) dV I dl
二、矢势的微分方程
B
4
l
I
dl r r3
（1.11）
求解静电场的方法，是求解泊松方程和Laplace 方程，得到通解，然后根据边值关系和边界条件来 确定通解中的各项待定系数。静电场的边值关系是
)
0I 4
dly r
0Ia 2
cos d
4 0 R 2 a 2 2Ra sin cos
（1.26）
例2
2
In 0
cos d R 2 a 2 2Ra sin cos
它是一个椭圆积分，即它可以化为椭圆积分。令
1 ( )
2
2
当φˊ=0时，β=-π/2；φˊ=2π时，β=π/2， dφˊ=2dβ
一、矢势
一、矢势
1、矢势的定义
H J B 0
这说明静磁场是有旋无源场。
（1.1） （1.2）
一、矢势
( A ) 0
B A
（1.3）
我们把A叫做磁场的矢势。
2、矢势的物理意义
B dS A dS A dl （1.4）
S
S
L
一、矢势
2、矢势的物理意义
B dS 0
B d S B d S 0
例2
cosd cos ( 2 ) 2d
cos 2 2d
2 (2sin 2 1) d
In
2
2
2(2sin 2 1) d R 2 a 2 2Ra sin (2sin 2 1)
2
2
2(2sin 2 1) d
R 2 a 2 2Ra sin
1
2Ra R2
sin a2
(2sin 2 ) 2Ra sin
例2
k2
R2
4Ra sin
a 2 2Ra
sin
In
4
2 0
In
4
2 0
(2sin 2 1) d
R 2 a 2 2Ra sin
1
2Ra R2
sin a2
(2sin 2 ) 2Ra sin
2(2sin 2 1) d
R 2 a 2 2Ra sin 1k 2 sin 2
（1.23a）
这是因为J只有z分量。因而 A 也只有z分量。若取 A(R0)=0，则
三、矢势的边值关系
A(R )
I 2
ln
R R0
ez
（1.23）
B
A(R )
[( I 2
ln
R R0
)ez
]
( I 2
ln
R R0
)
ez
I 2R
er
ez
I 2R
e
(1.24)
四、对矢势A的说明
1、B A 在一般的电磁场中也成立 2、对A 增加规范条件并不影响磁场B 3、 A 应该有物理意义
(A H ) A ( H ) (A H) A J
(1.19)
五、静磁场的总能量
W
1 2
[
(A
H
)
dV
A J
dV
]
1 2
[S
(A
H
)
dS
VA
J
dV
]
W
1 2
A
J
dV
与静电场的能量 W
1 2
相dV对应。
(1.20)
五、静磁场的总能量
ห้องสมุดไป่ตู้2、说明
（1） 1 A J 不是磁场的能量密度
2
(1.20)是计算磁场的总能量的公式，不能用来 计算部分磁场的能量，如果要计算部分磁场的能量， 只能用公式
W
1 2
VB
H
dV
五、静磁场的总能量
（2）(1.20)式只能用来计算磁场的总能量 积分区域中的V 既可以理解为整个磁场分布