BA模型
增长和择优连接这两种要素激励了Barabási－Albert模 型的提出，该模型首次导出度分布按幂函数规律变化 的网络。
模型的算法如下：
（1）增长：开始于较少的节点数量（m0），在每个时间 间隔增添一个具有m（≤m0）条边的新节点，连接这个 新节点到m个不同的已经存在于系统中的节点上。 （2）择优连接：在选择新节点的连接点时，假设新节点 连接到节点i的概率π取决于节点i的度数即
N
153127 30156209 225226 52909 282 134 282
无标度（Scale-free）网络
无 标 度 模 型 由 Albert-László Barabási 和 Réka Albert在1999年首先提出，现实网 络的无标度特性源于众多网络所共有的 两种生成机制： （ⅰ）网络通过增添新节点而连续扩 张； （ⅱ）新节点择优连接到具有大量连 接的节点上。
C(p) : clustering coeff. average path length
L(p) :
P(k)=0.1
p(k)=0.3
小世界模型
当p等于0时，对应的网络规则图。两个节点间 的平均距离<L>线性地随N增长而增长，集群 系数大。 当p等于1时，系统变为随机图。 <L>对数地随 N增长而增长，且集群系数随N减少而减少。 在p等于（0，1）区间任意值时，模型显示出 小世界特性，<L>约等于随机图的值，网络具 有高度集群性。
复杂网络的无标度特性
上海理工大学 管理学院、系统工程研究所 张宁
目录
概率统计预备知识 网络(图)的基本概念 规则图和随机网 Scale-free网络 常用软件 参考文献
一、概率统计预备知识
目录
随机变量与分布函数（离散、连续） 随机变量的数字特征（数学期望、方差） 泊松分布 幂函数 指数函数
随机变量与分布函数
Albert, R., H. Jeong, and A.-L. Barabási, Diameter of the World-Wide-Web,1999, Nature (London)401, 130. Barabási, A.-L., and R. Albert, Emergence of scaling in random networks, 1999, Science 286, 509 . Barabási, A.-L., R. Albert, and H. Jeong, Mean-field theory for scale-free random networks, 1999, Physica A 272, 173. Albert, R., and A.-L. Barabási, statistical Mechanics of complex network, 2002, Rev. Mod. Phys. Vol. 74, No.1, 47-97.
复杂网络都具有分布于平均值两 边的度分布曲线吗？
无标度(Scale-free)网络
Scale-free网络的发现 Scale-free网络的特性
Scale-free)网络的发现
信息交换网（万维网、国际互联网、电话网、电 力网） 社会网络（电影演员合作网、科研合作图、引文网、 人类性接触网、语言学网） 生物网络（细胞网络、生态网络、蛋白质折叠）
式中
β =
1 2
可给出度小于k的节点的概率 P k t < k i
( () )
m t P(k i (t ) < k ) = P t i > 1 β k
1β
设在相同的时间间隔，添加节点到网络t i 中， 值具有常数概率密度 1 P (t i ) = m0 + t 代入前式
对某个随机试验 E ，如果每次试验的结果 可以用一个数X来表示，而且对任何实数 k，X<x有着确定的概率，则称X是随机 变量。 随机变量X的值小于实数k的概率P(X<x) 是x的函数，记作 F(k)=P(X<x) ,函数F(x) 叫做随机变量X的分布函数。
离散型分布
若随机变量X只取有限个或可数个孤立的 值 x1 , x2 ,L , xn ,L ，并且对应这些值有确定的 概率，即 P ( X = xi ) = pi i = 1, 2 , L ，则称X是离 p 散随机变量（或X是离散分布的）， i 称为的概 率分布，它满足下列条件：
−∞ ∞
3)P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a) = ∫ p(x)dx
a
b
随机变量的数字特征
随机变量的数学期望 定义1 设x是离散型随机变量，它的概率 函数是
随机变量的数学期望，反映了随机变量取值的平均水平， 即均值，是随机变量的算术平均。
方差
为随机变量的方差。方差是刻划随机变量取值 离差程度的一个数。 X的方差的算术平方根称 为标准差(或均方差）
随机图——节点19，边43
平均度为2.42，集群系数为0.13。
随机图——节点42，边118
平均度为5.62，集群系数为0.133。
四、Scale-free网络
目录
早期网络模型 无标度Scale-free网络 BA模型
早期网络模型
ER模型 小世界模型
ER模型
Erdös和Rényi （ER）最早提出随机网络 模型并对模型进行了深入研究，他们是 用概率统计方法研究随机图统计特性的 创始人。 在模型开始阶段给定N个节点，没有边， 以概率p用边连接任意一对节点，用这样 的方法产生一随机网络。
ER模型
Erdös和Rényi（1959）首先研究了在随 机网络中最大和最小度的分布， Bollobás(1981)随后得到了所有度分布 的形式，推导出度数为k的节点数遵从平 均值为 λ 的泊松分布，即
P(k) = e λ
−λ
k
k!
Connect with probability p p=1/6 N=10 〈k〉 ~ 1.5 Poisson distribution
网络(图)的基本概念
a c b
d
e
有向图、无向图、不连通图
网络(图)的基本概念
节点的度分布是指网络（图）中 度为 k 的节点的概率 p (k ) 随节点 度 k 的变化规律。
网络(图)的基本概念
最短路径就是从指定始点到指定终点的 所有路径中总权最小的一条路经。 平均路径长度是指所有点对之间的最短 路径的算术平均值。
若X是离散型随机变量，则方差为：
泊松定理
设随机变量Xn(n=0，1，2，…)服从二项分布， 其分布律为 n k P{ X n = k } = p n (1 − p n ) n − k k 其中 则k = 1,2, L, n
设
npn = λ > 0 为常数
limP{Xn = k} =
1
β
+
1
模型的度分布是与时间无关的渐进分布 且与系统规模无关。 幂律度分布的系数与 m2 成正比 。 无标度模型的动态特性可以用各种分析 方法给出 ： 连续域理论 主方程法 变化率方程法
Baralási-Albert模型的限制条件
保持了网络的增长特性，不考虑择优连 接，网络度分布呈指数衰减。 消除了增长过程，只考虑择优连接，络 度分布围绕其均值为一高斯分布。
m1 β t m1 β t P ti > 1 β = 1 − 1 β k k (t + m 0 )
∂P(ki (t ) < k ) 2m1 β t 1 P(k ) = = 1 β +1 ∂k m0 + t k
t趋于无穷时度分布
P(k ) ≈ 2m k
1β
− r 式中
r
=
小世界模型
为了描述从一个局部有序系统到一个随 机网络的转移过程，Watts和 Strogatz （WS）提出了一个新模型，通常称为小 世界网络模型。 WS模型始于一具有N个节点的一维网络， 网络的节点与其最近的邻接点和次邻接 点相连接，然后每条边以概率p重新连接。 约束条件为节点间无重边，无自环。
网络(图)的基本概念
集群系数(Clustering coefficient)反映网 络的群集程度，定义为网络的平均度与 网络规模之比。
<k > C= N
网络(图)的基本概念
7 2 5 3 3 1 5 2
5 1 7
5
网络(图)的基本概念
节点1到7之间的最短路13，平均路径长度5.47， 平均度为3.4，集群系数为0.48。
BA模型
（a)Barabási-Albert模拟的度分布。 = m0 + t = 300000 N （b）不同系统规模下的 p (k) 。 N
= 100000 N = 150000
BA模型
设节点 i 的度 k i 满足动态方程： ∂k i ki = m π (k i ) = m n −1
∂t
∑k
C
0 .1 0 7 8 0 .1 8 - 0 .3 0 .7 9 0 .4 3 0 .3 2 0 .2 2 0 .2 8
C ran d
0 .0 0 0 2 3 0 .0 0 1 0 .0 0 0 2 7 0 .0 0 0 1 8 0 .0 2 6 0 .0 6 0 .0 5
L
3 .1 3 .7 - 3 .7 6 3 .6 5 5 .9 2 .9 2 .4 3 2 .6 5
j −1
i
分母求和是对系统中除新进入系统的节点 外的所有节点进行的 ，则
∑
j
k
j
= 2 mt − m
BA模型
当t足够大时，有 ∂k i ki = ∂t 2t 解微分方程，有
dk i dt = ki 2t
1 ln k = ln t 2