理论力学-8-质点动力学
n
ma Fi F i 1
质量是质点惯性的度量。
合外力
上式是推导其它动力学方程的出发点,称为动力学基本方程。
8.1.1 理论基础:牛顿定律与微积分
◆ 牛顿第三定律 (作用与反作用定律)
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相 等、方向相反,沿着同一作用线同时分别作用在这两个 物体上。 以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。
第三篇 动力学
爆破时烟囱怎样倒塌
第三篇 动力学
2011年11月3日神八和天宫首次交会
v1
A
v2
B
第三篇 动力学
航空航天器 的姿态控制
第三篇 动力学
高速列车的振动问题
第三篇 动力学
动力学的研究的研究对象是:质点和质点系(包括刚体)。
质点
质点系
刚体
第三篇 动力学
动力学的研究任务是:力和运动之间的关系。 v1
8.2 质点动力学的两类基本问题
n
ma Fi F i 1
微分
第一类基本问题:已知运动,求力。 如:万有引力定律的发现。
牛顿在总结前人的研究成果: 1)哥白尼(1473-1543) 日心说 2)第谷·布拉赫(1546-1601)积累的天文观察资料 3)开普勒(1571-1630)行星三定律 总结出万有引力定律,写出了《自然哲学之数学原理》一书 (1687年) 。
运动:圆周运动;方程:自然坐标形式的运动微分方程为
m v2
l sin
n
Fin
i 1
F sin
1
n
mab Fib = F cos - mg 0 2
i 1
解得 F mg 1.96N
cos
ms Fiτ
i
m s2
i
Fin
mab Fib
i
v
Fl sin 2
m
2.1m s
8.2 质点动力学的两类基本问题
s l , s l,s l
单摆的运动微分方程
ms mg sin
m
s2 l
FN
mgHale Waihona Puke cosg sin 0
l
FN
mgcos
m v2 l
杆对球约束力表达式
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题3
2. 分析摆的运动 g sin 0
l
(1)微幅摆动
g sin 0
FN
mgcos
例题4
一圆锥摆,如图所示。 质量m=0.1kg的小球系于长 l=0.3m 的绳上,绳的另一端 系在固定点O,并与铅直线成 θ=60°角。如小球在水平 面内作匀速圆周运动。
求:小球的速度v与绳 的张力F。
第几类问题?
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题4
解:对象:小球;受力:小球的受重力及绳子的拉力如图所示;
o
r
mg
例题5
已知:质点与圆柱面间 的动滑动摩擦因数为 f,圆柱 半径为 r 为1m。
求: (1)建立质点的运动微 分方程; (2)分析其运动。
8.2 质点动力学的两类基本问题
Fo
解:对象:质点 受力:如图
FN n r
运动:圆周运动 方程:质点运动微分方程为
当: 0
mg
ms mr mg cos F
wn2 sin 0
大
幅
摆
动
不
/ rad
具
有
等
时
性
t/s
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题3
3. 在运动已知的情形下求杆对球的约束力 :
g sin 0
l
FN
mgcos
m
v2 l
根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 s&2 l&2 l2&2
FN
mgcos
m
l 2&2
l
8.2 质点动力学的两类基本问题
◆ 牛顿第一定律 (惯性定律)
不受力作用的质点,将保持静止或作匀速直线运动。
合外力为零
保持运动状态 不改变的性质
惯性
8.1.1 理论基础:牛顿定律与微积分
◆ 牛顿第二定律
质点的质量与加速度的乘积,等于作用于质点的力的大 小,加速度的方向与力的方向相同。
d(mv)
dt
n i 1
Fi
在经典力学中质点的质量是守恒的
1、“质点运动微分方程”:初等数学知识;高等数学的 方法。 2、要画受力图,给力“命名”。 3、方程依据:静力学平衡方程;质点运动微分方程。
附录: 第8章习题解答
8-1
8-1 图示滑水运动员刚接触跳台斜面时,具有平行于斜面方向的速度40.2km/h,忽略
摩擦,并假设他一经接触跳台后,牵引绳就不再对运动员有作用力。试求滑水运动员从
8.2 质点动力学的两类基本问题
n
ma Fi F i 1
积分
F F (v, r, t)
第二类基本问题:已知力求运动。
如:跳楼时救援气垫的摆放位置。
8.2 质点动力学的两类基本问题 两类问题综合
已知部分力和部分运动,求另一部分的力和运动
已知:发动机的输出扭矩、车的重力、车沿直线行驶。 待求:地面约束力,车身的运动(前行速度,上下振动)。
m v2 l
l
sin
g 0
初始条件:
t0 0,
t 0
u l
l
wn
g l
wn2 0
确定积分常数 A u , j 0 lw
运动特点:等时性 T 2 wn
微分方程的通解 Asin( wnt j) (周期与初始条件无关)
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题3
(2)大幅摆动
h1
vy2 2g
0.541m
t1
vy g
0.332s
(h1
h0 )
1 2
gt
2 2
t2
2(h1 h0 ) g
2(0.541 2.44) 0.780s 9.8
t t1 t2 1.112 s x vxt 8.141 1.112 9.05m#
(1)
m
s2 r
mr2
mg
sin
FN
(2)
由(2)式解得:FN mr2 mg sin F f FN
代入(1)式得: mr mg cos f (mr2 mg sin )
同理,当: 0 mr mg cos f (mr2 mg sin )
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题5
数值方法给出质点位置、
Nanjing University of Technology
理论力学 第三篇 动力学
第三篇 动力学
动力学
质点动力学 动量定理及其应用 动量矩定理及其应用 动能定理及其应用
达朗贝尔原理
第三篇 动力学
已知:F,l。
求:v0,vt。 已知:v0,vt。 求:F或者l。
舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞
处理具体问题时的注意点
求解质点动力学问题的过程与步骤:
1.对象 2.受力 3.运动 4.方程
静力学 运动学 动力学
解微分方程中常见问题的数学处理方法
ma m dv F dt
1. 力是常数【F=constant】或是时间的简单函数【F=F(t)】
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数【F=F(x)】,利用循环求导变换
E: 未给出正确答案
思考题2
思考题2:质点M用两根等长的绳
A
B 索吊起,绳索与铅垂线的夹角为
。若剪断绳索BM后的瞬时,绳索
AM的拉力与未剪断绳索BM时相
比,是增大了还是减小了? =?
F n
M
时绳索AM的拉力不变。
剪断前: F mg
2 cos
v ? 剪断瞬时:
an 0
mg
man F mg cos
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
mvdv
x Fxdx
v0
x0
3. 力是速度的简单函数【F=F(v)】,分离变量积分
v
m
dv
t
dt
v0 F (v)
0
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题1
曲柄连杆机构如图所示。曲柄OA以匀角速度w转动,
OA=r,AB=l,当l=r/l 比较小时,以O 为坐标原点,滑块B
mg
运动:水平直线运动
方程:滑块运动微分方程为:max F cos
ax x rw2 cosw t l cos 2w t
当j =0 时,ax rw 2 1 l 此时=0,
得
F mrw21 l
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题2
,。 、
质量为m的质点带有电 荷e,以速度v0进入强度按 E=Acoskt变化的均匀电场 中,初速度方向与电场强度 垂直,如图所示。质点在电 场中受力F=-eE作用。已
F mg cos
处理具体问题时的注意点
求解质点动力学问题的过程与步骤:
1.对象 2.受力 3.运动 4.方程
静力学 运动学 动力学
本章作业
P167-169:8-1(高等数学解 法),8-5
Nanjing University of Technology
附录: 第8章习题解答
作业中存在的问题
适用条件? 第一、二定律: 惯性参考系
第 三 定律: 任意参考系
8.1.2 质点运动微分方程
已知:质点M(质量m),作用其上的力有F1,F2,…, Fn。
n
ma Fi F i 1