第2讲整式1. (2019，河北)用一根长为a cm的铁丝，首尾相接围成一个正方形•要将它按如图所示的方式向外等距扩1 cm,得到新的正方形，则这根铁丝需增加(B)第1题图A. 4 cmB. 8 cmC. (a + 4)cmD. (a+ 8)cm【解析】由图形观察出正方形的边长增加 2 cm,则周长增加8 cm.2. (2019，河北)有三种不同质量的物体“戸”“…”“”，其中，同一种物体的质量都相等.现左右手中同样的盘子中都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是(A)A BC D【解析】设“的质量为a, “…”的质量为b, “ ”的质量为c.若各个选项中左右两边相等，则选项A可表示为2a= 3b.选项B可表示为a + 2c= 2b+ 2c,即a = 2b.选项C可表示为a + c= 2b+ c,即a = 2b选项D可表示为2a = 4b,即a= 2b.只有选项A与其他等式不同.3. (2019，河北)若2n+ 2n+ 2n+ 2n= 2，则n 的值是(A)1A. -1B. - 2C. 0D.-4【解析】12n+ 2n+ 2n+ 2n= 2n X 4= 2n X 22= 2n+ 2, A 2n+ 2= 2. A n + 2 = 1,即n =- 1.4. (2019，河北)将9.52变形正确的是(C)A. 9.52= 92+ 0.52B. 9.52= (10+ 0.5)(10 —0.5)C. 9.52= 102—2 X 10X 0.5+ 0.52D. 9.52= 92+ 9X 0.5+ 0.52【解析】利用乘法公式简便计算，正确运用完全平方公式.9.52= (10 —0.5)2= 102—22X 10 X 0.5+ 0.5 .5. (2019，河北)若a, b互为相反数，则a2 -b2= _0_.【解析】•/ a, b 互为相反数，A a+ b= 0. v a2—b2= (a + b)(a —b), A a2—b2= 0.6. (2019，河北)嘉淇准备完成题目化简(■ x2+ 6x+ 8) —(6x+ 5x2+ 2).发现系数“■”印刷不清楚.(1) 他把“■” 猜成3,请你化简(3x2+ 6x+ 8) —(6x+ 5x2+ 2);(2) 他的妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数.”通过计算说明原题中“■”是几？【思路分析】(1)去括号，合并同类项即可. ⑵整式加减的结果是常数，即二次项的系数等于0.解：(1)原式=3x2+ 6x+ 8 —6x —5x2— 2=—2x2+ 6.⑵设“■”内的数字为 a.原式=(ax?+ 6x+ 8) —(6x+ 5x? + 2) =ax2+ 6x+ 8 —6x—5x2— 2=(a—5)x2+ 6.因为妈妈看到该题的结果是常数，所以a— 5 = 0，即 a = 5.所以原题中“■”为 5.用工三•列代数式例1 (2019，桂林)用代数式表示：a的2倍与3的和.下列表示正确的是(B)A. 2 a —3B. 2a+ 3C. 2(a—3)D. 2(a + 3)【解析】a的2倍，即2a; 2a与3的和，即2a+ 3.针对训练1 (2019，衢州)有一张边长为a cm的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加b cm，木工师傅设计了如图所示的三种方案:的:万案一万案二万案三训练1题图小明发现这三种万案都能验证公式： a + 2ab+ b = (a + b).对于万案一，小明是这样验证2 2 2 2 2a + ab+ ab + b = a + 2ab+ b = (a + b).请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.【思路分析】方案二是将图形分割成一个正方形和两个矩形来计算；方案三是将图形分割成一个正方形和两个梯形来计算.解：方案二：a2+ ab+ (a+ b)b=a2+ ab+ ab + b2=a2+ 2ab+ b2=(a+ b)2.万案三：2 [a +( a + b) ] b [a+( a+ b) ]b a+2 +22 1 2 1 2=a + ab+ 尹 + ab + 丈=a2+ 2ab+ b2=(a + b)2.亡■'求代数式的值例 2 (2019，河北)若mn = m + 3,贝U 2mn + 3m—5nm+ 10= 1【解析】2mn+ 3m—5nm+ 10 = 2(m+ 3) + 3m—5(m+ 3)+ 10= 2m+ 6 + 3m—5m—15+ 10= 1.针对训练2 (2019，邢台一模)若m—x= 2, n+ y= 3,则(m—n)—(x+ y)的值为(A)A. —1B. 1C. 5D. —5【解析】(m—n) —(x+ y) = (m—x)—(n + y)=— 1.蛙#、整式的运算例3 (2019，张家口宣化区二模)两个多项式A, B,其中B =- x2+ 3x—5•在求A —B时，小明看错题目，误看成了A+ B,结果得到x2— 6.(1) 求多项式A和A—B;(2) 若|x—1| = 2 0180，求A— B 的值.【思路分析】⑴根据B与A+ B可求得A，进而求得A— B.(2)由|x—1|= 2 018°可得|x—1|=1,进而求得结果.解：⑴由题意，得A+ B= x2— 6.T B = —x?+ 3x—5,••• A = 2x2—3x— 1.2 2• A —B= (2x2—3x—1)—(—x2+ 3x —5)=3x2—6x+ 4.⑵•/ |x—1| = 2 0180= 1,.•.(x—1)2= 1.•- A — B = 3x? —6x + 4=3(x—1)2+ 1=3X1+ 1=4.针对训练3 (2019，张家口桥西区模拟)已知多项式 A = (x+ 2)2+ x(1 —x)—9.(1)如图，化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同•请你检查小明同学的解题过程，在标出①②③④的几项中出现错误的是①；写出正确的解题过程；小明的作业解：A = (x+ 2)2+ x(1 —x)—92 + 2x+ 4 + x— /=x，)①②③④-9,)=3x— 5.训练3题图(2)小亮说：“只要给出x2—2x+ 1的合理的值，即可求出多项式A的值•”小明给出x2—2x+ 1的值为4,请你求出此时A的值.【思路分析】正确使用完全平方公式.解: (1)①A= (x+ 2)2+ x(1 —x)—92 2=x + 4x+ 4 + x—x —9=5x— 5.(2) •/ x2—2x+ 1= 4,即(x—1)2= 4,•x—1=戈.• • A = 5x— 5 = 5(x—1) = ±10.：弍心；因式分解例 4 (2019，恩施州)因式分解：8a3—2ab2= 2a(2a+ b)(2a—b)【解析】8a3—2ab2= 2a(4a2—b2) = 2a(2a + b)(2 a—b).第3页针对训练4 (2019，安徽)下列分解因式正确的是(C)2 2A. — x + 4x = — x(x + 4)B. x + xy + x = x(x + y)22C. x(x — y) + y(y — x)= (x — y)D. x — 4x + 4= (x + 2)(x — 2)22【解析】 A. — x + 4x = — x(x — 4). B. x + xy + x =x(x + y + 1). C. x(x — y) + y(y — x) = x(x2 2 2—y) — y(x — y)= (x — y) .D. x — 4x + 4= (x — 2).一、 选择题1. (2019，石家庄新华区质检)计算—a 2+ 2a 2的结果是(A)2 2 2A. aB. — aC. 2aD. 0【解析】根据合并同类项法则进行计算. 2. (2019，南京)计算a 3 • (a 3)2的结果是(B)【解析】 根据幕的运算法则，得 a 3 (a 3)2= a 3 a 6= a 9.3. (2019，唐山路南区二模)下列算式中，结果等于 x 6的是(A) A. x 2 • x 2 • x 2B. x 2 + x 2+ x 2C. x 2 • x 3D. x 4+ x 2【解析】 选项A 结果为x 6.选项B 结果为3x 2.选项C 结果为x 5.选项D 已是最简结果. 4. (2019，邯郸一模)下列运算中，正确的是(A) A. (a 3)3= a 9B. a 2 • a 2 = 2a 2C. a — a 2= — a【解析】 选项A 结果正确.选项B 结果为a 4.选项C 已是最简结果.选项 D 结果为a 2b 2.5. 下列计算正确的是(D) A. (3xy 2)3= 9x 3y 6623C. x + x = x 选项A 结果为27x 3y 6.选项B 结果为x 2+ 2xy + y 2.选项C 结果为x 4.选项D 结果正确.6. (2019，张家口桥西区模拟)已知m — n = 100, x + y =— 1,则代数式(n + x)— (m — y)的值 是(D)A. 99B. 101C. — 99D. — 101【解析】 (n + x)— (m — y) = n + x — m + y =— (m — n)+ (x + y)=— 101.1 77. (2019，唐山丰南区一模)如果a , b 互为相反数，x , y 互为倒数，那么：(a + b)+ ?xy 的值是(C)A. 2B. 3C. 7D. 4A. aB. a 9C. a 11D. a18D. (ab)2= ab 2B. (x + y)2= x 2+ y 221 2 3 2D. 2x y — ?yx = y【解析】【解析】将a+ b = 0, xy= 1代入，原式=|.8. (2019，唐山路北区一模)下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(C)2 2 2 2A. a(m + n)= am+ anB. a —b —c = (a—b)(a+ b)—c2 2C. 10x2—5x= 5x(2x—1)D. x2—16+ 6x= (x+ 4)(x—4)+ 6x【解析】选项A是整式乘法，选项 B , D的结果是和的形式，只有选项C结果是乘积的形式.9. (2019，河北)计算852—152的结果是(D)A. 70B. 700C. 4 900D. 7 000【解析】原式=(85+ 15) X (85 —15)= 100 X 70= 7 000.210. (2019，石家庄长安区质检)下列各式中，不是多项式2x —4x+ 2的因式的是(D)2A. 2B. 2(x—1)C. (x—1)D. 2(x—2)【解析】2x2—4x+ 2= 2(x2—2x+ 1) = 2(x—1)2.二、填空题11. (2019，株洲)单项式5mn2的次数是3 .【解析】m, n的指数的和.12. (2019，石家庄质检)若x a y与3x2y b是同类项，贝V ab的值为_ .【解析】根据同类项的定义可知a= 2, b = 1，所以ab = 2.13. (2019，岳阳)已知a2+ 2a = 1，则3(a2+ 2a) + 2 的值为 5 .【解析】将a2+ 2a = 1代入，原式= 3 X 1 + 2= 5.14. (2019，荷泽)若a+ b = 2, ab=—3,则代数式a3b+ 2a2b2+ ab3的值为 -12 .【解析】a3b + 2a2b2+ ab3= ab(a2+ 2ab + b2)= ab(a+ b)2=—3X 22=—12.215. (2019，株洲)因式分解：a (a—b)—4(a —b) = (a —b)(a+ 2)(a—2).【解析】a (a—b)—4(a —b)= (a—b)(a —4) = (a—b)(a + 2)(a —2).三、解答题16. (2019，扬州)化简：(2x+ 3)2—(2x+ 3)(2x—3).【思路分析】计算中正确运用乘法公式.解：原式=4x2+ 12x+ 9 —4x2+ 9=12x+ 18.17. (2019，邵阳)先化简，再求值：(a—2b)(a + 2b) —(a —2b)2+ 8b2，其中 a =—2, b= |.【思路分析】计算中正确运用乘法公式，化简后，再代入求值.解：原式=a2- (2b)2—(a2—4ab+ 4b2)+ 8b22 2 2 2 2=a2—4b2—a2+ 4ab—4b2+ 8 b2=4ab.1将a =—2, b = 代入，1得原式=4X ( —2) X -=—4.2 218. (2019，石家庄桥西区质检)(1)计算：97 —3;(2)已知a=—13.6, b = 3.6，求代数式a2+ 2ab+ b2的值.【思路分析】(1)运用平方差公式因式分解. (2)先运用完全平方和公式因式分解再求值.解：(1)原式=(97 + 3) X (97—3)=100X 94=9 400.2(2)原式=(a+ b).当a=—13.6, b= 3.6 时，原式=(—13.6 + 3.6)2=(—10)2=100.1. (2019，石家庄新华区质检，导学号5892921)已知(x —1)3= ax3+ bx2+ cx+ d,贝V a+ b + c+ d的值为(B)A. —1B. 0C. 1D.无法确定【解析】当x= 1时，已知等式可化为0= a+ b + c+ d.2. (2019，张家口桥东区模拟)若M = (x—3)(x—5), N= (x—2)(x—6)，贝U M与N的关系为(B)A. M = NB. M>NC. M<ND. M与N的大小由x的取值而定【解析】I M = x2—8x+ 15, N = x2—8x+ 12,「.M —N>0.「M'N.a b ab3. (2019，张家口桥东区模拟，导学号5892921)若a^ 0, b丰0,则代数式面+向+鬲'|的取值共有(A)A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【解析】分情况讨论.若a>0, b>0,原式=3;若a>0, b<0或a<0, b>0或a<0 , b<0,原式=—1.4. (导学号5892921)已知x + y= 0.2, x+ 3y = 1，则代数式x2+ 4xy+ 4y2的值为0.36 .【解析】将已知的两个等式相加，得2x+ 4y= 1.2, A x+ 2y= 0.6. /• x2+ 4xy+ 4y2= (x+ 2y)2=0.36.5. (2019，达州)已知a m= 3, a n= 2，则a2m_n的值为4.5 .【解析】a2m- n= (a m)2P n= 32吃=4.5.6. (导学号5892921)若a2n= 9, b2n= 25,则(ab)n= ±15 .【解析】根据幕的运算，得a2n b2n= [ (ab) n]2= 9x 25, •••(ab)n=±15.。