高2018级春招模拟考试
数学试题
试卷满分150分 考试时间：120分钟
一、选择题（每题5分，共50分）
1.已知集合{|1M x x =<-或}2x >，{}|13N x x =<<，则M N 等于（ ）．
A ．{|1x x <-或}1x >
B ．{}|23x x <<
C ．{}|13x x -<<
D ．{|1x x <-或}3x >
2.i 表示虚数单位，则复数
=（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣ 3.双曲线的一个焦点坐标是（ ）
A ．（0，3）
B ．（3，0）
C ．（0，1）
D ．（1，0）
4.已知a ，b 为非零实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ）
A ．a 2＞b 2
B ．
C ．|a|＞|b|
D ．2a ＞2b
5.已知等比数列{a n }的公比q=2，其前4项和S 4=60，则a 3等于（ ）
A ．16
B ．8
C ．﹣16
D ．﹣8
6.已知平面向量a ，b 的夹角为3
π，且|a |=1，|b |=21，则|a ﹣2b |=（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．2
3 7.如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，以下结论不正确的是 （ ）
A ．异面直线1A D 与1AB
所成的角为60 B ．直线1A D 与1BC 垂直
C ．直线1A
D 与1BD
平行 D ．三棱锥1A A CD -的体积为
316
a
8.将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9.一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球中至少有1个是红球的概率是（ ）
A ．31
B ．52
C ．158
D ．5
3 10.函数y=log a （x+3）﹣1（a ＞0，且a≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m ，n 均大于0，则
的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
二、填空题：（每题5分，共25分）
11.函数f （x ）=1﹣2sin 2
x 的最小正周期为 ． 12.若实数x ，y 满足约束条件，则z=4x+8y 的最小值为 ．
13.圆心为C （1，﹣2），半径长是3的圆的标准方程是 ．
14.读如图的流程图，若输入的值为﹣5时，输出的结果是 ．
15.将边长为1的正方形ABCD 延对角形AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D-ABC 中，给出下列三个命题：
①面DBC 是等边三角形；
②AC BD ⊥ ③三棱锥D-ABC 的体积为26
其中正确命题的序号是_________（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：（共75分，每题15分）
16.已知数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，若a 1=9，S 3=21．
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若a 5，a 8，S k 成等比数列，求k 的值．
17.某校随机抽取100名学生调查寒假期间学生平均每天的学习时间，被调查的学生每天用于学习的时间介于1小时和11小时之间，按学生的学习时间分成5组：第一组[1，3），第二组[3，5），第三组[5，7），第四组[7，9），第五组[9，11]，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求学习时间在[7，9）的学生人数；
（Ⅱ）现要从第三组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人交流学习心得，求这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率．
18.在△ABC 中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣
4
1． （1）求b 的值；
（2）求△ABC 的面积．
19.已知椭圆C1： +x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．
（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．
20.已知函数f（x）=x﹣lnx﹣1．
（Ⅰ）求函数f（x）在x=2处的切线方程；
（Ⅱ）若x∈（0，+∞）时，f（x）≥ax﹣2恒成立，求实数a的取值范围．。