垫江实验中学高2018级理科数学周考试题一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1．若复数z 满足(3)(2)5z i --=(为虚数单位),则z 的共轭复数z 为（D ）A ．2i +B ．2i -C ．5i +D ．5i -2．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是（ ）A ．]1,23(--B 。
]1,23[-- C 。
]1,(--∞ D 。
)1,(--∞[解析] 因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.综上，可得a 的取值范围是(－∞，－1]．3、（2017•新课标Ⅰ卷）如图程序框图是为了求出满足3n ﹣2n ＞1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（D ）A 、A ＞1000和n=n+1B 、A ＞1000和n=n+2C 、A≤1000和n=n+1D 、A≤1000和n=n+24．某几何体的三视图如图所示，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的表面积为（B ）A ．24πB ．16πC ．12πD ．8π 5. 【2016高考天津理数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ） （A ）85-（B ）81（C ）41（D ）811【答案】B6．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺。
蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”.意思是：“今有蒲草第一天，长为尺；莞生长第一天，长为尺.以后蒲的生长长度逐天减半，莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与莞的长度相等？”以下给出了问题的个解，其精确度最高的是（ ）（结果保留一位小数，参考数据：30.02lg ≈，48.03lg ≈）A. 日B. 1.8日C. 日D. 日7. 【2014年.浙江卷.理14】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__D___种（用数字作答）.A 、36B 24C 、48D 、60解析：不同的获奖分两种，一是有一人获两张将卷，一人获一张，共有223436C A =，二是有三人各获得一张，共有3424A =，因此不同的获奖情况有60种8．已知数列{}n a ，且它的前n 项和n S 有最大值，则使得0n S > 的n 的最大值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B【解析】它的前n 项和n S 有最大值,则数列的项是先正后负，890a a +<n 的最大值为15. 故答案为：B.9、【2014湖北卷9】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A.3 B.3C.3D.2 【答案】A 【解析】试题分析：设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a by a x （1a a >），半焦距为c ，由面积公式得333212⨯=⨯b b ，所以2212)13(3c a a +=⨯+，令θcos 2=ca，θsin 231=c a ，θ为参数， 所以334sin 32cos 21111≤+=+=+θθc a c a e e .所以椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为3A.10．已知函数())20162016log 20162x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（ D ）A. 1,2016⎛⎫-+∞⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．若PAD ∆所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2， 60=∠APD ，若点P ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则此球的表面积为（ B ） A.325π B.328π C.π272128 D. π272125 12.已知函数()2,0x x f x x e=≠，关于x0λ-=有四个相异的实根，则实数λ的取值范围是CA.20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()+∞ C. 2,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D.224,2e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭二、填空题（每小题5分，共20分）13. 【2016高考上海理数】在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，恰有第5项的二项式系数最大，则在它的二项展开式中系数最大的有理项是第____9___项14、已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≥--0101022y y x y x ，=z mx ＋y 的最大值为3，则实数m 的值是( 2 )A ．－2B ．3C ．8D ．2[解析]由实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0x ＋y －1≤0y ＋1≥0作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0x ＋y －2＝0，解得B (1,0)，同理C (2，－1)化目标函数z ＝mx ＋y 为y ＝－mx ＋z ， 当直线z ＝mx ＋y 经过C 点时，取得最大值3； ∴3＝2m －1，解得m ＝2.故选D. [答案] D15.已知).,4(ππα∈，)23,(ππβ∈，55.2sin =α，1010).sin(=-αβ，则=+βα___47π______ 22).sin(-=+αβ 16若对于任意两个不等实数12,x x ,都有,则实数a 的取值范围是________.【答案】[)2,4【解析】若对于任意两个不等实数12,x x ,都立，即令()()g x f x x =-在R 上为增函数.当0x ≤时， ()()0x x f x e ax f x e a '=+=+≥，在(],0∞-上恒成立，得0a ≥.当0x >时，，有40a ->，解得4a <.综上得： 故答案为： [)2,4.答案为： 三、解答题（共70分）17.已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且32=+∙S AC BA ，其中S 是ABC ∆的面积，4C π=． （1）求cos B 的值； （2）若24S =，求a 的值．解:∵203SBA AC ⋅+=，得13cos 2sin 2bc A bc A =⨯，得sin 3cos A A =，即222sin 9cos 9(1sin )A A A ==-，所以29sin 10A=，又3(0,4A π∈），∴sin 0A >，故sin A =，cos A =， coscos()cos cos sin sin B AC A C A C =-+=-+==6分（2）24S =，所以sin 48bc A =，得bc =由（1）得cos B =，所以sin B =，在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b cB C =，即=②联立①②，解得8b =，c =则2222cos 72a b c bc A =+-=，所以a = 12分18．在某城市气象部门的数据中，随机抽取100天的空气质量指数的监测数据（1）若该城市各医院每天收治上呼吸道病症总人数y 与当天的空气质量t （t 取整数）存在如下关系,100{2100,100300t t y t t ≤=-<≤ 且当t ＞300时，y ＞500，估计在某一医院收治此类病症人数超过200人的概率；（2）若在（1）中，当t ＞300时，y 与t 的关系拟合的曲线为l ˆn ya b t =+，现已取出了10对样本数据（t i ，y i ）（i =1，2，3，…，10），且知101011ln 70,6000,i i i i t y ====∑∑()()1010211ln 42500,ln 500,i i i i i y t t ====∑∑试用可线性化的回归方法，求拟合曲线的表达式．（附：线性回归方程ˆya bx =+中， 1221ni ii n ii x y nxy b x nx==-=-∑∑， a y bx =-．）【答案】（1）12；（2）25050y x =+ 【解析】试题分析：（1）要使某一医院收治此类病症人数超过200人，则150t >,则满足条件的天数共有50天，利用古典概型概率公式可得结果；（2）设x ln t =,根据平均值公式求出,x y 的平均值，可得样本中心点的坐标，根据题设中所给数据，利用公式1221ni i i n i i x y nxy b x nx==-=-∑∑，求得50b =，结合样本中心点的坐标可求得250a =，从而可得线性回归方程.试题解析：（1）要使某一医院收治此类病症人数超过200人，则t>150,则满足条件的天数共有50天，所以概率为.(2)设，则，，，， 所以，，所以拟合曲线的表达式为t y ln 50250+=19、．(2017·德州模拟)如图，在四棱锥P －ABCD中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD ＝22，BC ＝42，PA ＝2，点M 在线段PD 上． (1)求证：AB ⊥PC ；(2)若二面角M －AC －D 的余弦值为55，求BM 与平面PAC 所成角的正弦值．[解析] (1)证明：取BC 中点E ，连接AE ，则AD ＝EC ，AD ∥EC ，所以四边形AECD 为平行四边形，所以AE ∥CD .因为AD ⊥CD ，AD ∥BC ，所以AE ⊥BC ，又AE ＝BE ＝EC ＝22，所以∠ABC ＝∠ACB ＝45°，所以AB ⊥AC ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥PA ，又AC ∩PA ＝A ，所以AB ⊥平面PAC ，所以AB ⊥PC .(2)分别以AE ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (22，－22，0)，C (22，22，0)，P (0,0,2)，D (0,22，0)． 设PM→＝λPD →＝(0,22λ，－2λ)(0<λ<1)， 易得M (0,22λ，2－2λ)．设平面AMC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n 1·AC →＝0，n 1·AM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22x ＋22y ＝0，22λy ＋(2－2λ)x ＝0，令y ＝2，得x ＝－2，z ＝2λλ－1，即n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，2，2λλ－1. 又平面ACD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，则|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λλ－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2λλ－12＝55， 解得λ＝13或λ＝－1(舍去)，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，223，43，BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，823，43，而AB→＝(22，－22，0)是平面PAC 的一个法向量，设直线BM 与平面PAC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈BM →，AB →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8－3234×26＝7618，故直线BM 与平面PAC 所成的角的正弦值为7618.20.．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>y x =交椭圆C 于A 、B 两点，椭圆C 的右顶点为P ，且满足4PA PB +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y kx m =+（0k ≠， 0m ≠）与椭圆C 交于不同两点M 、N ，且定点10,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足MQ NQ =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）166m <<【解析】试题分析：（1）根据224PA PB PO a +===可求得2a =，再由离心率可得c ，于是可求得b ，进而得到椭圆的方程．（2）结合直线和椭圆的位置关系求解．将直线方程和椭圆方程联立消元后得到二次方程，由判别式大于零可得2241k m >-，结合MQ NQ =可得2614m k -=，从而得到关于m 的不等式组，解不等式组可得所求范围．试题解析：（1）∵224PA PB PO a +===， ∴2a =，又2c a =，∴c =， ∴2221b a c =-=，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由22{ 14y kx mx y =++=消去y 整理得： ()222418440k x kmx m +++-=，∵直线与椭圆交于不同的两点M 、N ， ∴()()222264441440k m k m ∆=-+->， 整理得2241k m >-． 设()11,M x y ， ()22,N x y ， 则122841kmx x k -+=+， 又设MN 中点D 的坐标为(),D D x y ，∴1224241D x x kmx k +-==+， 22244141D D k m m y kx m m k k -=+=+=++． ∵MQ NQ =，∴DQ MN ⊥，即112D D y x k+=-， ∴2614m k -=， ∴2610{611m m m ->->-，解得166m <<． ∴实数m 的取值范围1,66⎛⎫⎪⎝⎭．21.已知函数()()()2ln ,.2a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （Ⅰ）若存在直线()()(0),,x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点且曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围； （Ⅱ）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.0,x x λ已知若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围. 【答案】（Ⅰ）10.a e<≤（Ⅱ）1λ≥.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()()'ln 1,' 1.f x x g x ax =+=+可得()()''f t g t =在0,)+∞有解，转化为函数ln y x =与y ax =的图象在()0,+∞上有交点，求出相切时1a e=，利用数形结合思想可得结果；（Ⅱ）根据极值点的定义可得1122ln ,ln ,x ax x ax ==，作差可得1212ln ln x x x x --， 112e x x λλ+<⋅等价于()12112211ln.x x x x x x λλ⎛⎫+-⎪⎝⎭<+ 令12x t x =，则()0,1t ∈，不等式()()11ln t t t λλ+-<+在()0,1t ∈上恒成立，讨论两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得函数最值，从而筛选符合题意的λ的取值范围.试题解析：（Ⅰ）依题意，函数()f x 的定义域为（0， +∞），()()'ln 1,' 1.f x x g x ax =+=+因为曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，所以()()()''0,f t g t =+∞在有解，即方程()ln 00,t at -=+∞在有解.方程()ln 00,t at -=+∞在有解转化为函数ln y x y ax ==与函数的图像在()0,+∞上有交点，如图，令过原点且与函数ln y x =的图像相切的直线的斜率为k ，只须0.a k <≤令切点为()000000ln 1,ln ,'|,x x x A x x k y k x x ====则又，所以000ln 1,xx x =解得 01,x e k e ==于是，所以10.a e<≤ （Ⅱ）()()()()2ln (0),'ln .2a h x f x g x x x x x a x h x x ax =-=--->=-所以 因为()12,x x h x 为在其定义域内有两个不同的极值点，所以12,ln 0x x x ax -=是方程的两个根，即12112212ln ln ln ,ln ,.x x x ax x ax a x x -===-作差得因为120,0,,x x λ><<所以112121ln ln 1e x x x x λλλλλ+<⋅⇔+<+⇔+<()1212121ax ax a x x a x x λλλλ++=+⇔>+⇔()()1212112122121ln ln 1ln x x x x x x x x x x x x λλλλ+--+>⇔<-++ ⇔ ()12112211ln .x x xx x x λλ⎛⎫+-⎪⎝⎭<+令12x t x =，则()0,1t ∈，由题意知，不等式()()()11ln 0,1t t t t λλ+-<∈+在上恒成立.令()()()()()()()()()222211111ln ,'.t t t t t t t t t t t λλλϕϕλλλ--+-+=-=-=+++则 如果()()21,0,1,'0,t t λϕ≥∈>对一切所以()()0,1t ϕ在上单调递增，又()10,ϕ=所以()0t ϕ< ()0,1在上恒成立，符合题意.如果()221,0,t λλ<∈当时， ()()2'0;,1,t t ϕλ>∈当时 ()()()2'0,0,t t ϕϕλ<所以在上单调递增，在()2,1λ上单调递减，又()()()10,0,1t ϕϕ=所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，只须2 1.0,1λλλ≥>≥又所以22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222:{2x cos C y sin ϕϕ=+=（ϕ为参数， [)0,2ϕπ∈）．以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A 是射线():0l θαρ=≥与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求OB OA 的最大值．【答案】（1）sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 4cos ρθ=（2）2+【解析】【试题分析】（1）对于曲线1C 直接代入公式即可得到极坐标方程，对于2C 先消去参数转化为直角坐标方程，再代入公式得到极坐标方程.（2）利用极坐标表示,OA OB ，然后利用辅助角公式化简求得最大值. 【试题解析】（1）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （2） 由（1）知1,4cos cos sin A B OA OB ρρθθθ====+，()()4cos cos sin 21cos2sin2224OBOA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭… 由02πα≤≤知52+444πππα≤≤，当242ππα+=，即8πα=时，OB OA有最大值2+…23．选修4-5：不等式选讲 设()2(01)f x x a x a a =-+-<≤.（1）若1a =，解关于x 的不等式()2f x >；（2）求证： ()16f t f t ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭.【答案】(1) 0x <或43x >；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用零点讨论法解211 2.x x -+->（2）第（2）问，利用三角绝对值不等式证明. 试题解析：（1）当1a =时， ()211f x x x =-+-, ①当12x <时， 1212x x -+->，∴0x <； ②当112x ≤≤时， 2112x x -+->，∴无解； ③当1x >时， 2112x x -+->，∴43x >，综上所述， 0x <或43x >.（2）证明： ()12121f t f t a t a a t t t ⎛⎫+-=-+-+--+-- ⎪⎝⎭()()21211223326t a a t a a t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫≥----+----=+++=+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1t =±时取等号.。