第8章 采样信号的傅里叶分析
现实中存在的大多都是连续信号(如速度、温度、压 力等)，而计算机处理的则是离散信号。对连续信号进行 采样就可得到离散信号。
采样信号的频谱是怎么样的? 怎么才能够保留原连续信号中的信息量而不受损失?
1
信号的采样
意义
电影是连续画面的采样： 电影是由一组按时序的单个画面所组成，其中每一 幅画面代表着连续变化景象的一个瞬时画面（时间 样本），当以足够快的速度来看这些时序样本时， 就会感觉到是原来连续活动景象的重现。
f1(2t)
根据傅里叶变换的尺度变换性质，f1(t)的频谱扩展2倍（时域压缩）， 所以最高频率为4kHz。
该信号的奈奎斯特频率为
fN 2 fm 8kHz
f2(t-3)
根据傅里叶变换的时移性质， f2(t-3)的幅度频谱不变（时移只改变 相位），所以最高频率为3kHz。
该信号的奈奎斯特频率为
时域：周期连续信号采样周期离散信号 频域：非周期离散频谱——周期离散频谱 (周期为S) 满足采样定理：频谱无混叠。
信号的时域采样，意味着信号频谱的周期性 信号时域的周期性，意味着信号频谱的离散性 信号时域的非周期性，意味着信号频谱的连续性
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例 8.1
已最知高信频号率f分1(t量)是为最3k高H频z的率带分限量信为号2k。H求z的下带列限信信号号的，奈f奎2(t斯)是特 频率fN。
t N0T
(2)采样信号的频谱是离散的周期函数,周期s 。
F ( j)
0 0
最 ()
=
S
0
S
F~S ( j)
/T
S
0 0 S
当 S 20 时
1 T
F(
j) s
(t)
5
自然采样
否频0从f则率(t)频，f谱ss(t2)图s <可mtf，2(t以根)TPm看T据mF(为，t出()频jf采2：域T()tF样)要卷sT的S(信aj使0积(频1P号T)2各(定Tt谱) 的)2频理2TF1频s(移：(jF谱(不)t)=j的会重)最出叠P高现(，T频混)采0 率f叠sT样(t)。2。T 3T
fN 2 fm 6kHz
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例 8.1
已最知高信频号率f分1(t量)是为最3k高H频z的率带分限量信为号2k。H求z的下带列限信信号号的，奈f奎2(t斯)是特 频率fN。
f1(t)+ f2(t)
根据傅里叶变换的线性性质， f1(t)+ f2(t) 的的频谱应取大的（频谱 的和） ，所以最高频率为3kHz。
f0 (t) 恢复信号
F0 ( j)
m 0 m
FS ( j)
1T
H ( j) T
m 0 m
S m 0 m S
C 0 C
m C (S m)
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时域采样定理
为了能从采样信号 f S(t)中恢复原信号 f (t)，必须 满足两个条件：
被采样的信号f (t)必须是有限频带信号，其频谱在 ||>m时为零。
印刷照片是连续图象的采样： 印刷照片是由很多很细小的网点所组成，其中每一 点就是一连续图象的采样点（位置样本），当这些 采样点足够近的话，这幅印刷照片看起来就是连续 的。
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采样信号
信号的采样
f (t)
fS (t)
采样器
f (t)
fS (t)
0T
t
采样模型
f (t) 连续信号
s(t)
1
0T
fs (t) f (t) s(t) 采样信号
1
t
F( j)
ss ()
FS ( j)
*
S
=
1T
m 0 m
S
0
S
最高频率
S=2/T
FS ( j)
1T
S m 0 m S
当 S 2m时
当 S 2m时
0 mS
4
周期信号的采样
~
f (t)
T (t)
~ fS (t)
从频谱图可以看出：
=
T0
(01)要使T0 各频t 移不重2T 叠T 0，T 采2T 样t频率s>20; 0 T
采样频率s2m或采样间隔 T 1 。其最低
2 fm m
允许采样频率 f N =2 f m或N=2m称为奈奎斯特频率，
其最大允许采样间隔
TN
1 2 fm
m
称为奈奎斯特采
样间隔。
8
时域采样定理
结论
带限信号只有满足采样定理中的采样频率s2m条件， 采样后的频谱才不会产生频谱混叠。采样信号保留了原 信号的全部信息。
t
F( j) PT ()
FS ( j)
*
S
=
T
m 0m
S
0
S
S m 0 m S
f (t) F ( j),
PT
(t
)
Sa(
2
)
S
s
(
)
当 S 2m时
S
Sa(
2
)
s
(
),
S
2
T
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采样定理的解释
f (t) 连续信号
抽样信号 fs (t)
H ( j)
理想低通滤波器
F( j)
调制信号 s(t) T (t)
当不满足采样定理，即s<2m ，则频谱将产生混叠。 当s=2m时为临界采样。 当s>2m时为过采样。 当s<2m时为欠采样。
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采样信号的频谱
非周期信号采样的频谱
时域：非周期连续信号采样非周期离散信号 频域：非周期连续频谱 —— 周期连续频谱(周期为S) 满足采样定理：频谱无混叠。
周期信号采样的频谱
f (t)
H1(j)
fS (t) H2(j) y(t)
m
Sa(mt)
T (t)
- 2m
0
2m
F( jω)
(1)画出信号 f (t)的频谱图；
f1(t)
m
Sa(mt)
F1 (
j )
G2m
( )
F( j) H1( j)F1( j)
1
-m 0 m
(2)欲使信号 f s(t)中包含信号f (t)中的全部信息，则T(t)的最大
s(t) 调制信号 t
3
理想采样
否并频0从则且f率f(st频)(，采t )谱s样2图f 信s(t<可m)t号，2T以根(的tm)看据m 频为，出频谱Ff采s2：域T((是tj样)要卷T的连)信0使积频续号2TT各1T定1谱(的tF的2F)频理TF(周(频j(移：jj期)谱)不t)函的会=重Ss数最(出叠S,高)现(周T，频)混期0采f率s叠T(样t) 。s2。T。 3T
该信号的奈奎斯特频率为
fN 2 fm 6kHz
f1(t) f2(t)
根据傅里叶变换的频域卷积性质， f1(t) f2(t) 的频谱扩展到其频谱的 和 ，所以最高频率为5kHz。
该信号的奈奎斯特频率为
fN 2 fm 10kHz
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例 8.2
如图所示信号处理系统。
H1( jω)
1
f1(t)
采样间隔(即奈奎斯特间隔)TN应为多少？
N 2m ,
fN
m
, TN