A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在△ABC 中，已知A ＝75°，B ＝45°，b ＝4，则c ＝( )B ．2 6C ．4 3D ．23．在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．4 3B ．2 3在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×22 32＝2 3.4．在△ABC 中，若∠A＝30°，∠B ＝60°，则a∶b∶c＝( )A ．1∶3∶2B ．1∶2∶4C ．2∶3∶4D ．1∶2∶25．在△ABC 中，若sin A>sin B ，则A 与B 的大小关系为( )A ．A>B B ．A<BC ．A ≥BD ．A 、B 的大小关系不能确定6．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )7．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，c ＝2，则B 等于( ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．120°8．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°9．在△ABC 中，b 2＋c 2－a 2＝－bc ，则A 等于( )A ．60°B ．135°C ．120°D ．90°10．在△ABC 中，∠B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形11．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．412．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B＝( ) 或2π3 或5π6 13．在△ABC 中，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( ) A ．2 3 B ．2 214．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 或－63二．填空题15．已知△ABC 中，AB ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为________．16．在△ABC 中，A ＝45°，a ＝2，b ＝2，则角B 的大小为________．17．在△ABC 中，c ＋b ＝12，A ＝60°，B ＝30°，则b ＝________，c ＝________．18．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________． 19．(2013·上海卷)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C ＝__________________.20．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________． 21．在△ABC 中，化简b·cos C ＋c·cos B ＝________．22．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．23．已知△ABC 的三边a ，b ，c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________． 三、解答题24．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，解这个三角形．25．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14. (1)求△ABC 的周长；(2)求cos (A －C)的值．26．在△ABC 中，a co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，判断△ABC 的形状． 27．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＋C ＝2B.(1)求cos B的值；(2)若b2＝ac，求sin A sin C的值．28．在△ABC中，B＝120°，若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．参考答案：解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得a b ＝sin A sin B ， ∴sin A sin B ＝sin A cos B，即sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 解析：由正弦定理得4sin 45°＝c sin 60°，即c ＝2 6. 解析：利用正弦定理解三角形．解析：由正弦定理得a∶b∶c＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2.解析：sin A ＞sin B ⇔2R sin A ＞2R sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B(大角对大边)．解析：由余弦定理得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA·BC cos ∠ABC ＝5，∴AC ＝ 5.再由正弦定理BC sin ∠BAC＝AC sin ∠ABC， 可得sin ∠BAC ＝31010. 解析：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝4＋1－34＝12. ∴B ＝60°.解析：设边长为7的边所对的角为θ，则由余弦定理得：cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，∴θ＝60°. ∴最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.解析：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝120°. 解析：由b 2＝ac 及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴(a －c)2＝0.∴a＝c. 又B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．解析：设夹角为α，所对的边长为m ，则由5x 2－7x －6＝0，得(5x ＋3)(x －2)＝0，故得x ＝－35或x ＝2，因此cos α＝－35，于是m 2＝52＋32－2×5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝52，∴m ＝213. 解析：由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得a 2＋c 2－b 2＝3ac tan B ，再由余弦定理得： cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B ，即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3.解析：∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a.由正弦定理可得sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin B sin A ＝ 2. 解析：由正弦定理得15sin 60°＝10sin B， ∴sin B ＝10·sin 60°15＝33. ∵a ＞b ，∴A ＞B ，即B 为锐角．∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63. 15.解析：由正弦定理得AB sin C ＝BC sin A ，解得BC ＝6， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×6×6×32＝9 3. 答案：9 3 16.解析：由2sin 45°＝2sin B 得sin B ＝12，由a ＞b 知A ＞B ，∴B ＝30°. 答案：30°17.解析：由正弦定理知sin B b ＝sin C c ，即b ＝12c ，又b ＋c ＝12，解得b ＝4，c ＝8. 答案：4 818.解析：在△ABC 中，由正弦定理知a sin A ＝b sin B ， 即sin B ＝b sin A a ＝3×323＝12. 又∵a>b，∴∠B ＝π6. ∴∠C ＝π－∠A－∠B＝π2. 答案：π219.解析：由3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0得a 2＋b 2－c 2＝－23ab ，从而cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－13. 答案：－1320.解析：由余弦定理得：AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BC·cos C ，即：5＝25＋BC 2－9BC ，解得：BC ＝4或5.答案：4或521.解析：由余弦定理得：原式＝b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a＝a. 答案：a22.解析：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，又A ＋C ＝2B ，故B ＝π3，由正弦定理知sin A ＝a sin B b ＝12， 又a ＜b ，因此A ＝π6，从而C ＝π2，即sin C ＝1. 答案：123.解析：由12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24得a 2＋b 2－c 2＝2a b sin C ，再由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab得sin C ＝cos C ，∴C ＝π4. 答案：π424.解析：由正弦定理得3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32. ∵a ＞b ，∴A ＞B ＝45°，∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝6＋22. 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝6－22.综上可得A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22. 25.解析：(1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2.∴△ABC 的周长为1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝154， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22＋22－122×2×2＝78. ∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158. ∴cos (A －C)＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116. 26.解析：∵a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B.由正弦定理可得：a·a 2R ＝b·b 2R， ∴a 2＝b 2.∴a ＝b.∴△ABC 为等腰三角形．27.解析：(1)由2B ＝A ＋C 和A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，∴cos B ＝12. (2)由已知b 2＝ac 及正弦定理得sin A sin C ＝sin 2B ＝sin 260°＝34. 28.解析：由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac·cos B ， 即b 2＝(a ＋c)2－2ac －2ac·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， ∴ac ＝3.故S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×32＝334.。