二次函数的考试常见题型题型一、二次函数图象的对称轴和顶点的求法-1.已知二次函数y=x2+4x．(1)用配方法把函数化为y=a(x-h)2+k(其中a，h，k都是常数且a≠0)的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标(2)求函数图象与x轴的交点坐标．2.二次函数y=12(x-4)2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是？3.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2，0)、B(1，0)，且经过点C(2，8)．(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标．题型二、抛物线的平移1.(甘肃兰州中考题)已知函数y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式是？2.(上海中考题)在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，-4)，且过点B(3，0)(1)求该二次函数的解析式．(2)将该二次函数图象向右平移几个单位长度，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．3.抛物线y=12x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线表达式是？4.函数y=-2(x-1)2-1的图象可以由函数y=-2(x+2)2+3的图象先向____平移_____个单位长度，再向____平移_____个单位长度而得到.5.已知二次函数y=x2-bx+1(-1≤b≤1)，当b从-1逐渐变化到1的过程中,它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线移动方向的描述中，正确的是( )A.先往左上方移动，再往左下方移动B.先往左下方移动，再往左上方移动C.先往右上方移动，再往右下方移动D.先往右下方移动，再往右上方移动题型三、二次函数图象的画法1.(广东梅州中考题)已知二次函数图象的顶点是(-1，2)，且过点（0，32）(1)求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；(2)求证：对任意实数m，点M(m，-m2)都不在这个二次函数的图象上．2. (安徽中考题)抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点，(1)求出m的值并画出这条抛物线．。
(2)求它与x轴的交点和顶点的坐标(3)x取什么值时，抛物线在x轴上方?(4)x取什么值时，y随x的增大而增大?3.(江苏南通中考题)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点，当x≥0时，(1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点坐标；(2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象；(3)利用抛物线y=ax2+bx+c的图象，写出x为何值时，y>0题型四、二次函数的图象和性质1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0)．下列结论正确的是（）A.当x>0时，函数值y随x的增大而增大、’B.当x>0时，函数值y随x的增大而减小C.存在一个负数x0，使得当x< x0时，函数值y随x的增大而减小；当x>x0时，函数值y随x的增大而增大D.存在一个正数x0，使得当x < x0时，函数值y随x的增大而减小；当x> x0时，函数值y随x的增大而增大2.已知二次函数y=-12x2-3x-52，设自变量的值分别x1，x2，x3，且-3<x1<x2<x3，则对应的函数值y1,y2,y3的大小关系是( )3.若A(-134,y1)，B(-l，y2)，C(35,y3)为二次函数y=-x2-4x+5的图象上的三点，则y1,y2,y3的大小关系是( )题型五、二次函数解析式的求法1.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=4时取得最小值-3，且它的图象与x轴一个交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．（用至少2种方法）2.已知抛物线过三点(1，0)，(0，-2)，(2，3)，求此抛物线的解析式．3.已知抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且过点(1，10)，求此抛物线的解析式．4.已知抛物线的对称轴为直线x=2，且过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线的解析式.5.已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1，且过点(2，8)，求此抛物线的解析式.题型六、由抛物线的位置确定解析式中系数的符号1.如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c如图所示，那么代数式b+c-a与0的关系是( )A.b+c-a=0B.b+c-a>oC. b+c-a<OD.不能确定2. (天津中考题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0;④2c<3b；⑤a+b>m(am+b)(m为不等于1的实数).其中正确的结论有（）A2个B3个C4个 D 5个2.(四川南充中考题)图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为x=-1给出四个结论：①b2>4ac；②2a+b=0；③a-b+c=0；④5a<b．其中正确的结论是（）A.②④B.①④C.②③D.①③3.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是( )A B C D4.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A .ab>0，c>0 B. ab>0,c<0C .ab<0，c>0 D. ab<0,c<05.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M(b,ca)在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6.(湖北武汉中考题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0．其中正确的有( )A 1个B 2个C 3个D 4个7.(广东广州中考题)抛物线y=x2-2x+1与x轴的交点个数是( )A 0B lC 2D 38.(云南双柏中考题)在同一坐标系中一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为( )A B C D题型七、二次函数与一元二次方程1.已知：二次函数y=x2+2ax-2b+l和y=-x2+(a-3)x+b2-1的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求a，b的值．2.(天津中考题)已知抛物线y=12x2+x-52(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴．(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．3.(江西中考题)已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为____题型八、二次函数的应用1.(辽宁大连中考题)(1)甲车在弯路上做刹车试验，数据如下表所示：请用上表中的各对数据(x，y)作为点的坐标，在坐标系中画出甲车刹车距离y(米)与速度x(千米／时)的函数图象，并求函数的解析式．(2)在一个限速为40千米／时的弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞了．事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为12米、l0.5米，又知乙车的刹车距离y(米)与速度x(千米／时)满足函数y=14x，请你就两车的速度方面分析相撞的原因2.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面AB宽1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为1.2m，在图中建立直角坐标系，根据所建直角坐标系写出抛物线的函数关系式3.如图所示，桃河公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25 m．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m．如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外?4.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元／件)的一次函数．(1)试求y与x之间的关系式；(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问：销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?5.（山东日照中考题）容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即t=MS建筑面积用地面积，为了充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当地控制建筑物的高度，一般地，容积率t不小于1且不大于8．一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M（m2）与容积t的关系可近似地用如图(1)中的线段l来表示；1m2建筑面积上的资金投入Q(万元)与容积率t的关系可近似地用如图(2)中的一段抛物线c来表示(1)试求图(1)中线段l的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积；(2)求出图(2)中抛物线段c的函数关系式．6.(1)把二次函数解析式y=-34x2+32x+94化成y=a(x-h)2+k的形式．(2)写出抛物线y=-34x2+32x+94的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如y=ax2的抛物线经过怎样的变换得到的．(3)如果抛物线y=-34x2+32x+94中，x的取值范围是0≤x≤3，请画出图象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情景(如喷水、掷物、投篮等)7.(陕西课改卷中考题)王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子，另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子如图(1)，王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域如图(2)，由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。
(1)求FC的长。
(2)利用图(2)求出裁出的矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x(cm)为多少时，矩形的面积y(cm2)最大，最大面积是多少．(3)若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。
8.(河北课改卷中考题)某食品零售店为某食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个.在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个.考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角.设这种面包的单价为x(角)，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y(角)(1)用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与每天卖出的面包个数；(2)求y与x之间的函数关系式；(3)当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大，最大利润为多少?9.(山东中考题)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第一档次(即最低档次)的产品一天生产76件，每件利润为10元，每提高一个档次，利润每件增加2元．(1)每件利润为16元时，此产品质量在第几档次?(2)由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少4件.若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；若生产某档次产品一天的总利润为1080元，该工厂生产的是第几档次的产品?10.(江苏南京中考题)在一块长方形镜面玻璃的四周分别镶上与它的边长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米.(1)求y与x之间的关系式．(2)如果制作这面镜子共花了165元，求这面镜子的长和宽.11.一个涵洞呈抛物线形，它的截面如图所示.测得当水面宽AB=1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?12.如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．(1)设矩形的一边AB=x m(0<x<40)，那么AD边的长度如何表示?(2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y取最大值，最大值是多少?题型九、关于二次函数的阅读理解问题1.(辽宁大连中考题)阅读材料，解答问题阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：抛物线y=x2-2mx+m2+2m-1，①即y=(x-m)2+2m-1，②∴抛物线的顶点坐标为(m，2m-1)．设x=m③，y=2m-1 ④当m的值变化时，x，y的值也随之变化．因而y值也随x值的变化而变化将③代入④，得y=2x-1．⑤可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式：y=2x-1．(1)在上述过程中，由①到②所用的数学方法是_________，其中运用了___________公式；由③④得到⑤所用的数学方法是____________. (2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x2-2mx+2m2-3m+1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式．2.(山东临圻中考题)我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数表达式是：y=3(x+2)2-4，：类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换(1)将y=1x的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为________.再向上平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为_________.(2)函数y=1xx+的图象可由y=1x的图象向_____平移____个单位长度得到；y=12xx--的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到?(3)一般地，函数y=x bx a++(ab≠0,且a≠b)的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到?题型十、关于二次函数的开放型问题1. (广东中考题)如图，点A在抛物线y=14x2上，过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点B，延长AO、BO分别与抛物线y=-18x2相交于点C、D，连接AD、BC、CD，设点A的横坐标为m，且m>0．(1)当m=1时，求点A、B、D的坐标-(2)当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直?(3)猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论。