（3）、求合力作用线方程
' ' M o M o FR x FRy y FRx x FRy y FRx

即 2355 x 670.1 y 232.9 有： 670.1x 232.9 y 2355 0 求 FR 与x轴的交点 y 0
x 3.514m
§3–4
力对点的矩和力对轴的矩
1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素：
(1）大小:力F与力臂的乘积 (2)方向:转动方向 (3)作用面：力矩作用面。
（3–4）
又 则
（3–5） 力对点O的矩 在 三个坐标轴上的投影为 （3–6)
2.力对轴的矩
（3–7） 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零。
M O M o ( Fi ) ( xi Fiy yi Fix )
Fy cos( FR, j ) FR
(3 1)
(3 2)
3、简化结果分析
=
其中
MO d FR
o R
M o FRd
O O i
FR FR FR
(3 3)
1、空间力偶矩以矢量表示
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
力偶矩矢
（3–11）
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。 （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改变而改变。
力偶矩
因
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶 臂的长短，对刚体的作用效果不变。
例3-7
已知：F , l , a,
M 求： x F , M y F , M z F
解：把力 F 分解如图
M x F F l a cos
M y F Fl cos
M z F F l sin
§3–5
空间力偶系
力偶矩矢
例4-13 已知：等厚均质偏心块的 R 100mm , r 17mm , b 13mm 求：其重心坐标。 解：用负面积法， 为三部分组成，设大半圆面积为 小半圆（半径为 ）面积为 , 小圆（半径为 ）面积为 ，为负值。 由对称性，有 而 ，
由
A1 y1 A2 y 2 A3 y 3 得 yC A A A 40.01mm 1 2 3
空间汇交力系的合力 称为力系的主矢
空间力偶系的合力偶矩
称为空间力偶系的主矩 由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
式中
分别表示各力
对
，
,
轴的矩。
力系简化的意义
—有效推进力 —有效升力 —侧向力 —滚转力矩 —偏航力矩 —俯仰力矩
飞机向前飞行 飞机上升 飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
2． 空间任意力系的简化结果分析（最后结果） 1） 合力 当 最后结果为一个合力。 合力作用点过简化中心。 当 时，
' Ry
' R
F Fix F1 F2 cos 232.9kN
' Rx
AB ACB arctan 16.7 AC
F 大小 FR'
F F 709.4kN 的方向余弦 cos F , i F 0.3283 F F 向下与x正 F 0.9446 向成70.84度角 cos F , j F
主矢大小 FR ( Fix ) 2 ( Fiy ) 2 方向
Fix cos( FR, i ) FR
作用点
主矩
作用于简化中心上
Fiy cos( FR, j ) FR
M O M O ( Fi ) FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
Fx cos( FR, i ) FR
2. 计算的简易方法
1）利用对称性 2）分割法 3）负面积法
例4-12 已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示。 求：其重心坐标
解:厚度方向重心坐标已确定， 只求重心的x,y坐标即可。 用虚线分割如图， 为三个小矩形， 其面积与坐标分别为 A1 300mm 2 x1 15mm y1 45mm x 2 5mm y 2 30mm A2 400mm 2 A3 300mm 2 x 3 15mm y 3 5mm 则 Ai x i A1 x1 A2 x 2 A3 x 3 xC 2mm A A1 A2 A3 Ai y i A1 y1 A2 y 2 A3 y 3 yC 27mm A A1 A2 A3
例3-9 已知： 两圆盘半径均为200mm， AB =800mm, 圆盘面O1垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴， 两盘面上作用有力偶，F1=3N，F2=5N，构件自重不计。 求:轴承A,B处的约束力。 解：取整体，受力图如图b所示。 由力偶系平衡方程 M x 0 F2 400mm FAz 800mm 0
(5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。
3．力偶系的合成与平衡条件
=
=
如同右图
有
为合力偶矩矢，等于各分 力偶矩矢的矢量和。
合力偶矩矢的大小和方向余弦
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等 于零，即
有 M ix 0 简写为
M iy M ix cos cos M M
最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点 之矩的矢量和。 合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。 （2）合力偶 当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。 当 ∥ 时 （3）力螺旋
力螺旋中心轴过简化中心
当
成角
且
既不平行也不垂直时
力螺旋中心轴距简化中心为
F
' R 2 2 ix iy
' R ix ' R
' R
' R
iy
主矩
M o M o F 3F1 1.5P 3.9P2 2355kN m 1

' R
（2）、求合力及其作用线位置。
Mo 2355 d 3.3197m ' FR 709.4
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
M iz cos M
M iy 0
M iz 0
（3–12）
称为空间力偶系的平衡方程。
例3-8 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受 切削力偶矩均为80N· m。 求：工件所受合力偶矩在 解：把力偶用 力偶矩矢表示， 平行移到点A 。 求力偶的投影 轴上的投影 。
M x M ix M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m M y M iy M 2 80N m M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m
4、平面固定端约束
=
=
≠
=
例3-6 P 已知： 1 450kN, F1 300kN,
F2 70kN;
P2 200kN,
求： 力系的合力FR , 合力与OA的交点到点O的距离x， 合力作用线方程。
FR'
解： （1）向O点简化， 求主矢和主矩。
F Fiy P1 P2 F sin 670.1kN
第三章 一般力系的简化
一般力系实例
§3-3 平面一般力系向作用面内一点简化
1、力的平移定理
M B M B ( F ) Fd
2、平面一般力系向作用面内一点简化 ·主矢和主矩
F1 F1
F2 F2 Fn Fn

M1 M 0 ( F1 )
M 2 M 0 ( F2 ) M n M 0 ( Fn )
（4）平衡
当
时，空间力系为平衡力系
§3–7 重 心
1． 计算重心坐标的公式 对y轴用合力矩定理
质 心
有 对x轴用合力矩定理
有
再对x轴用合力矩定理
则计算重心坐标的公式为 （3–13） 对均质物体，均质板状物体，有
xc
V x
i
i
V
yc
V y
i
i
V
zc
V z
V
i i
称为重心或形心公式
3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知：力 ,力 在三根轴上的分力 用点的坐标 x, y, z ， ， ，力 作
求：力
对 x, y, z轴的矩
=
（3-8）
=
+0 -
=
（3-9）
= -
+ 0
=
（3-10）
比较（3-6）、（3-8）、（3-9）、（3-10）式可得
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩。
合力矩定理 M ( F ) M M ( F )后结果
合力 合力 合力偶 平衡
说明
合力作用线过简化中心
合力作用线距简化中心M O
FR 0 FR 0
MO 0 MO 0 MO 0 MO 0
FR
与简化中心的位置无关
与简化中心的位置无关
3． 实测法确定重心 如： 悬挂法
图a中左右两部分的重量是否一定相等？
4.质心—质点系的质量中心
rc mi r i m (3 15)
C——即为质点系的质心
投影到坐标系
xc
m x
i
i
yc
mi yi