垂心、重心、内心、外心、旁心的定义和性质
1.定义
垂心：三角形三条高的交点
重心：三角形三条中线的交点
内心：三角形三条内角平分线的交点即内接圆的圆心
外心：三角形三条边的垂直平分线的交点即外接圆的圆心
旁心：三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点
注意：正三角形中重心、垂心、外心、内心重合，这个点叫中心。

2.性质
垂心：1、锐角三角形垂心在三角形内部，直角三角形垂心在三角形直角顶点，钝角三角形垂心在三角形外部。

2、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

3、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外
接圆半径之和的2倍。

4、从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是
该点落在三角形的外接圆上。

（西姆松线）
重心：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角
形面积平分。

4、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

5、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，
即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐
标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/
3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
内心：1、到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。

2、内心都在三角形的内部。

3、设三角形的三个顶点坐标分别为
A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)，其对边长分别为
a,b,c，则内心坐标
I((ax_1+bx_2+cx_3)/(a+b+c),(ay_1+by_2+cy_3)/(a+
b+c))
外心：1、到三角形三顶点的距离相等，都等于外接圆半径R。

2、直角三角形外心在斜边的中点，锐角三角形外心在内部，
钝角三角形外心在外部。

旁心：1、旁心到三边的距离相等。

2、三角形有三个旁切圆，三个旁心。

旁心一定在三角形外。

3、直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。