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11
3.2 颗粒的运动阻力
3.2.1 球形颗粒在稳定流动时的阻力规律
一、低雷诺数（Re<1）――蠕流
d足够小，与流体的相对速度不大，略去N-S方程中的惯性项，可求出近 似解：
Fr 3d pu
其中，摩擦阻力占2/3，压差阻力占1/3

Cd

Fr
1 4
d
2 p
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14
三、阻力系数的实验数值和经验关联式
“标准阻力曲线”，用一组形如Cd

k1 Re

k2 Re 2
k3
的拟合公式表达不同雷诺数时阻力系数的变化
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15
3.2.2 球形颗粒在不稳定流动时的阻力规律
Re<1：
Cd

24 Re
1


对于Re<1的Stokes阻力系数
Cd

24 Re

g
24
ug up
dp
带入上式，可得
du p dt
ug up

p
d
2 p
gx
定义



p
d
2 p
18
其量纲为
18
，速度松弛时间（速度弛豫时间、速度松弛因子）


p dp
2

ML3 L2 ML1T 1
等，一类与相对运动的方向平行，一类与相对运动的方向 垂直
第五类：非机械力学的力，如热泳、声泳、光泳
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3
3.1.1 重力与浮力
Fg

1 6
d
3 p

p
g
Fa

1 6
d
3 p

g
g
dp－颗粒直径，
p－颗粒密度 g－流体密度
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4
3.1.2 粘性阻力

还有很多其它改进解，基本上都是 的形式。
Cd

24 1
Re
f (Re)
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二、高雷诺数（Re>1）
惯性力不能忽略，理论求解N-S方程非常困难
（1）Re<1，层流区（Stokes区）
（2）1<Re<1000，过渡区（Allen区）
形状阻力份额，摩擦阻力份额，3<Re<400，
体与颗粒的温度不同、颗粒形状等，难以统一表达。为研
究方便，引入阻力系数的概念 C D
则阻力表示为
Fr
rp2 西安12交C通大D 学r能p2源与v动力v工p 程v学院vp

1 2
Fr
v

v
p
2
5
3.1.3 附加质量力
颗粒相对流体作加速运动，颗粒周围的流体也 被加速，这个力大于加速颗粒本身所需的力，
气固两相流及其燃烧
西安交通大学能源与动力工程学院 主讲人：周屈兰
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1
3 气固两相流中相间作用力
3.1 气固两相流中颗粒的受力分析 3.2 颗粒的运动阻力
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2
3.1 气固两相流中颗粒的受力分析
颗粒受力分析（这是成功分析气体颗粒流的最重要的步骤）
1 2
d
p
1


为定性时间，从状态改变到重新稳定所经过的时间
Karanfilian和Kotas研究，在液体中：
Cd
Cds 1

ug
dp up
2
d dt
ug
up
1.20.03
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16
3.2.3 气体的稀薄效应对阻力系数的影响
数将有较大增加，且
管道中颗粒阻力 K F 无界流动中颗粒阻力

Re<1时，K F
1
cCd 6 u
l

1
，l是颗粒中心到壁面的距离，c是
取决于壁面情况的常数。

Re<50时，KF 1 100<Re<104时，K
RF24eC1d 1k1.611.6
3.1.5 压力梯度力
在有压力梯度的流场中收到的压力梯度引起的 非均匀分布压力
Fp


4 r 3p
3

V p p
对煤粉颗粒来说，该力很小，可以忽略不计
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8
3.1.6 Magnus力
颗粒旋转速度的数量级约为1000r/s左右
旋转的原因：速度梯度造成冲刷颗粒不均匀，形状 不规则造成各点受到阻力摩擦力不同，颗粒之间及 颗粒与固体壁面之间的碰撞，不均匀的蒸发、析出、 燃烧过程。
20
3.2.7 颗粒在燃烧时的阻力系数
周围气体的粘度上升，传热、传质、化 学反应不均匀颗粒形状变化
煤粉：挥发分析出对运动的影响。 以煤粒温度作为定性温度Re<50，Cd=52/Re 以气流温度作为定性温度，Tp/Tg ，Cd
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21
4 气固两相流的松弛过程
1710年牛顿对粘性流体中作定常运动的圆球所受阻力大小 进行了研究，当相对速度很大时，得到阻力计算公式
Fr 0.22rp2 v vp 2
颗粒与气流存在相对运动，气流作用在颗粒上的力取决于
滑移速度。但粘性阻力收到许多因素的影响，不但和颗粒
的雷诺数有关，还与流体的湍流运动、流体可压缩性、流

3
2
d
2 p
g
t
dug d
du p d
t
d

1 6
d
3 p
p g
gx
忽略Basset力，再根据g/p<<1，得
du p 3 Cd
dt 4 d p
g p
ug up
2 gx
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4.2 单颗粒的Lagrangian运动方程
4.3.1 具有初速度的颗粒在静止流场中的阻尼运动
颗粒初速度，u p t0 u p0 ，流体ug=0，无外力gx=0
t=v 时，
up
t
e
u p0
Hale Waihona Puke u p 1 36.8% up0 e
t=2v 时，
up u p0

1 e2
13.5%
0.58×10-12
热泳力FT
0.19×10-14
重力Fg
0.77×10-14
10m 0.15×10-9 0.15×10-12 0.82×10-11 0.28×10-12 0.64×10-13 0.62×10-10 0.20×10-13 0.77×10-11
100m 0.82×10-7 0.15×10-9 0.82×10-8 0.33×10-9 0.72×10-10 0.76×10-8 0.20×10-12 0.77×10-8
相当于颗粒的质量增加，所以成为附加质量力
（虚假质量力）


理论值：Fvm


1 2

gVp

dvg dt


dv p dt

为同体积流体惯性力的一半，实际值大于理论
值，需要经验系数修正。
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6
3.1.4 Basset力
颗粒在粘性流体中速度变化时，周围流场不能马
上稳定，形成一个瞬时的流动阻力，计及颗粒的
加速历程。（推导过程：对颗粒的非稳态加速过
程进行理论求解，其结果与稳态阻力有一项的差
异）
FB

3 2
d
2 p
dvg dv p
g
t
d d t
d
在急剧加速过程中，这个力的影响与粘性阻力相 当。
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7
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4.2 单颗粒的Lagrangian运动方程

mp
du p dt

F
mp

1 6
d
3 p

p
一维运动方程（忽略侧向力）
1
6
d
3 p

p
du p dt

1 4
d
p2Cd
1 2

g
ug
up
2

1 2

1 6
d
3 p

g

dug dt

du p dt
，k是λ的函数。 ，λ0.6，KF与Re无关

Re>105时，
KF

1
1.454.5
1 2 2
，λ0.92，KF与Re无关。
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3.2.5 颗粒浓度对球形颗粒阻力系数的影响
颗粒浓度增加时，颗粒间相互作用增强，颗粒 对流体的排挤也增强
颗粒群阻力系数修正，Ψ(Cv)与颗粒体积浓度相 关，体积份额＝0.2，修正系数2
0.065
二、引入动力系数
湍流区 Cd 5.31 ~ 4.884
相同Re时，球形阻力系数/非球形阻力系数
K


Cd Cd
Re
Robins：对煤粉，d<100m，K1.7；