所以波函数 （2）
∞
∞
左
中
右
0
x
显然
时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为
其解是 由波函数连续性条件得
当
， 为任意整数，
则
当
， 为任意整数，
则
综合得
∴
当
时，
，
波函数
归一化后
当
时，
，
波函数 归一化后
2.4
如图所示 ∞
左中
右
0
a
显然
在中间和右边粒子的波函数 所满足的定态薛定谔方程为
其中
其解为 由在右边波函数的有界性得 为零 ∴ 再由连续性条件，即由 得 则 得
0
2
即 2 2 cos2 2 (cos2 cos2 ) 0
4
4
2 2 0 (利用cos2 cos2 cos2 1) 4
2
所以 Sˆ n 的本征值为
2
。
a
设对应于 Sn
2
的本征函数的矩阵表示为 1 (Sn ) 2
b ，
则
2
cos cos i cos
cos
当
时，代入得
由波函数归一化条件得
有
表象下是 值
阶连带拉盖尔多项式
，记作 算符的本征
表象下的方程显示的对 的作用关系即是 算符
是球谐函数
，是 与 的共同本征函数
表象下是
同理 由 在 的表象下的矩阵得
其本征函数为 主量子数 角量子数
轨道量子数
方程有非零解的条件为 det
=0，
即
， 的本征值、本征函数有两个
2.2
如图所示
E
0
x
在 系数为
有隧穿效应，粒子穿过垒厚为 的方势垒的透射
总透射系数
2.3
以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1）
∞
∞
左
中
0
a
显然
右 x
时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为
其解是 由波函数连续性条件得
∴
∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成 由波函数归一化条件得
得 除以 得
6
n=6
5
n=5
n=4
n=3
n=2
n=1
0
n=0
只能取限定的离散的几个值，则 E 也取限定的离散的几个值，
对每个 E，
确定
归一化条件得
再由公式
,注意到
2.5
令
其中
,
则该一维谐振子的波函数的定态薛定谔方程为
，
不同 n 对应不同曲线,
图中只画出了在 的取值范围之内的部分
令
则上式可化成 令 则
代入 得
令 得
同理 方差算符
则 由测不准关系
则 归一化后的
4.5
本征方程的矩阵形式
上式
存在非零解的条件是
即 解得
b cos i cos 1 cos
当
由归一化条件，得1
1
1
22
(a*
,
b*
)
a b
a
2
b2
再由
a 2 cos i cos 2 a 2 1
1 cos
得
2 a2 1 1 cos
态叠加原理：若波函数
，是描述粒子的一
些可能态，则这些波函数线性叠加得到的 粒子的可能态
也是描述
测不准原理：对于任意两个不可对易的力学量算符 ，设
其满足
，则有
对于时间与能量
全同性原理：全同系的状态不因交换两个粒子而改变，其运
动状态只能用对称或反对称的波函数来描述
时
4.
量子力学的三大概率
分布概率
跃迁概率
只有当
有解
2.6
由 第三章
3.1
能量本征值方程为 即
和已知条件可得
分离变量法，令 则有
令
则
同理
令
则
式中
能级简并度为
3.2
角动量算符 在极坐标系下 则
由能量本征值方程
令 其解为
由周期性
得
归一化条件 则
3.4
由能量本征值方程
令
当
令
此时 满足的方程为
时
时
只考虑
时令
其解分别为
由波函数有界性 得 由波函数连续性 得
矩 算符
，
是属于不同自由度的 ，
量 类似于在轨道角动量矩的性质
， 具有共同本征函数
下面先求 的本征函数
○1
分别为其分
求其本征值时转化为球坐标系下的方程
的本征函数为球谐函数
则方程左边可分解为
三维表象下的三个方程，
三个表象下各自的波函数相乘即是 的本征函数。
的本征函数为
则 的本征函数为
，
显然 的简并度为
得
得 解得
反射系数 透射系数
（二）
的情形
令
, 不变
此时，粒子的波函数 所满足的定态薛定谔方程为
由概率流密度公式 入射
其解分别为
由在右边波函数的有界性得 为零 （1）粒子从左向右运动
得
得 解得
入射
反射系数 透射系数 (2) 粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以 为零 同理可得方程
由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数
量子力学习题答案
2.1
如图所示
左
右
0
x
设粒子的能量为 ，下面就
和
两种情况来讨论
（一）
的情形
此时，粒子的波函数 所满足的定态薛定谔方程为
反射系数
透射系数
（2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以 为零 同理可得两个方程
解 其中
其解分别为
（1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以 为零 由波函数的连续性
属于本征值 的本征函数可表示为
至此该情况下的本征函数为
通过
，确定 可得
○2
表象下的本征函数
主量子数
角量子数
磁量子数 内量子数
在 表象下
由Leabharlann 求得（以下只要记住就行）时
量子力学全书重点
1.
量子力学三大作用：奠基作用、渗透作
用、设计作用
2.
量子力学中粒子的特点
单一粒子具有波粒二象性
多粒子体系具有全同性
3.
量子力学的三大原理：
再由公式
,注意到
令
, 其中
，
不同 n 对应不同曲线,
图中只画出了在 的取值范围之内的部分
6 5
0
n=6 n=5
n=4 n=3 n=2 n=1 n=0
只能取限定的离散的几个值，则 E 也取限定的离散的几个值，
代入，验证该式是成立的 第四章
对每个 E，
确定
4.1
在动量表象中
，
则
归一化条件得
3.5
1 可求得
力学量的表象与矩阵力学 P122
10.
自旋
电子自旋的两个假设
1.
每个电子都有自旋动量距 ，在空间任意
方向上只能取两个值
2.
自旋磁距
泡利矩阵
i cos cos
a b
2
ba
a(cos i cos ) b cos b
1 cos
1
(Sn
)
cos
1 i cos
2
2(1 cos )
1 (Sn) 2
1
cos 2
1 0
cos i cos 2(1 cos )
10
1 cos 2
1
2
cos i cos 2(1 cos )
散射概率
5.
量子力学的三大景象
薛定谔景象
随时间变化， 不变
海森伯景象 取 时刻， 含时
互作用景象（狄拉克景象）
6.
量子力学的三大方程
薛定谔方程：
含时形式：
定态形式：
自旋波函数 P176 6.30 式
11.
双粒子系下波函数的形式 P205，P206
12.
散射截面
海森伯方程 泡利方程
7.
波函数
物理含义：描述微观物体的运动状态，
1 2
同理可求得
对应于 S n
的本征函数为 2
1 cos
1 2
(Sn
)
2 cos i cos
2(1 cos )
6.1
设 在 的表象下的本征函数为
，
本征值为 ， 在 的表象下的本征函数为
由 在 的表象下的矩阵得
方程有非零解的条件为 det
=0，
，本征值为
即
， 的本征值、本征函数有两个
当 第六章
6.3
，同样
解：在 Sˆ z 表象， Sˆ n 的矩阵元为
Sˆn
2
10
10
cos
2
0 i
i 0
cos
2
1 0
Sn
2
cos cos i cos
cos
i cos cos
其相应的久期方程为
01 cos
cos 2 (cos i cos ) 2
(cos i cos )
2 cos
自旋量子数 （2）当存在自旋动量距与轨道动量矩的耦合 电子的哈密顿量为
当
时，代入得
由波函数归一化条件得
有
同样求其本征值时转化为球坐标系下的方程 表象下也是 阶连带拉盖尔多项式 表象下的方程显示的对 的作用关系即是总动量