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量子力学习题集及答案

09光信息量子力学习题集一、填空题1. 设电子能量为4电子伏,其德布罗意波长为( 6.125A )。

2.索末菲的量子化条件为=nh pdq ),应用这量子化条件求得一维谐振子的能级=n E ( ωn )。

3.德布罗意假说的正确性,在1927年为戴维孙和革末所做的( 电 )子衍射实验所证实,德布罗意关系(公式)为( ω=E )和( k p= )。

4.三维空间自由粒子的归一化波函数为()r pψ=( r p i e⋅2/3)2(1π ), ()()=⎰+∞∞-*'τψψd r r p p ( )(p p-'δ )。

5.动量算符的归一化本征态=)(r pψ(r p i e⋅2/3)2(1π ),='∞⎰τψψd r r p p )()(* ( )(p p-'δ )。

6.t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=,其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数,则()=t x ,ψ( t i t i ex ex ωωψψ25220)(2)(--+ )。

7.按照量子力学理论,微观粒子的几率密度w =2),几率流密度j =(()**2ψ∇ψ-ψ∇ψμi )。

8.设)(r ψ描写粒子的状态,2)(r ψ是( 粒子的几率密度 ),在)(r ψ中Fˆ的平均值为F =( ⎰⎰dx dx Fψψψψ**ˆ )。

9.波函数ψ和ψc 是描写( 同一 )状态,δψi e 中的δi e 称为( 相因子 ),δi e 不影响波函数ψ1=δi )。

10. 定态是指( 能量具有确定值 )的状态,束缚态是指(无穷远处波函数为零)的状态。

11.)i exp()()i exp()(),(2211t Ex t E x t x-+-=ψψψ是定态的条件是( 21E E = ),这时几率密度和( 几率密度 )都与时间无关。

12. ( 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 )称为隧道效应。

13. ( 无穷远处波函数为零 )的状态称为束缚态,其能量一般为( 分立 )谱。

14.3.t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=,其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数,则()=t x ,ψ( t i t i ex ex ωωψψ27320)()(--+ )。

15. 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中,第一激发态的能量为( 2222aμπ )x a π2 )。

16. 基态是指( 能量最低 )的状态,写出一维线性谐振子的基态波函数:( 2/022x e N α- )。

17.一维线性谐振子的第一激发态的能量为( ω23)、第一激发态的波函数为( 2/1222x xe N αα- )。

18. ( 对应于同一本征值的本征函数的数目 )称为简并度,不考虑电子自旋时,氢原子的第n 个能级的简并度为( n 2 )。

19. 一维无限深势阱第n 个能级的简并度为( 1 ),不考虑电子自旋时,氢原子的第n 个能级的简并度为( n 2)。

20. 一维线性谐振子第n 个能级的简并度为( 1 ),考虑电子自旋以后,氢原子的第n 个能级的简并度为( 2n 2)。

21. 氢原子的状态为),()(1223ϕθY r R ,角动量平方是 26 )、角动量z 分量是( )。

22.厄密算符Fˆ的定义是:对于两任意函数ψ和φ, 等式( ⎰⎰=dx F dx F φψφψ**)ˆ(ˆ )成立。

23. 力学量算符的本征值必为( 实数 ),力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必( 相互正交 )。

24.力学量算符的属于( 不同本征值 )的本征函数必相互( 正交 )。

25. 量子力学中,力学量算符都是( 厄米 )算符,力学量算符的本征函数组成( 完全 )系。

26.算符在其自身表象中的矩阵为( 对角 )矩阵,例如在z σ表象中z σˆ=( ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 )。

27. 如果[G F ˆˆ,]=0,则G F ˆˆ,存在组成( 完全 )系的共同本征态,ZL L ˆˆ2,的共同本征态是( ),(ϕθm l Y )。

28.如果G F ˆˆ,存在有组成( 完全 )系的共同本征态,则[G F ˆˆ,]=( 0 ), ZL L ˆˆ2,的共同本征态是( ),(ϕθm l Y )。

29. 对易子=],[xe dxd ( xe ),=]ˆ,ˆ[xy L L ( z L i ˆ - )。

30. =]ˆ,[y p x ( 0 ),=]ˆ,[x p x ( i ),=]ˆ,ˆ[y x L L ( z L i ˆ )。

31. =-],[xe dxd ( xe -- )。

=]ˆ,[y p y ( i ),=]ˆ,[x p y ( 0 )。

32.能量与时间的测不准关系是( ~t E ∆∆ ),x 和x p 的测不准关系是( 42____2____2≥∆⋅∆xpx )。

33.在一维情况下,若粒子处于状态),(t x ψ中,则在动量表象中的波函数为=),(t p C ( dx et x px i ⎰+∞∞--ψ),( )。

34.一维线性谐振子处在H ˆ的本征态)(x n ψ的迭加态)(54)(53)(42x x x ψψψ-=中,则在Hˆ表象中一维线性谐振子的波函数为+ψ=( (0,0,3/5,0,-4/5,0,…) )。

35.斯特恩—革拉赫证实电子具有( 自旋 )角动量,它在任何方向上投影只能取两个值( 2 )和( 2- )。

36. x y y x σσσσˆˆˆˆ-=( z i σˆ2 ),S S ˆˆ ⨯=( S i ˆ )。

37. x y y x σσσσˆˆˆˆ+=( 0 ),[zL L ˆ,ˆ2]=( 0 )。

38. 在z s 表象中,粒子处在自旋态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααχsin cos 中,z s =( α2cos 2)。

39. 在z σ表象中,粒子处在自旋态⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ααχsin cos 中,x σ=( α2sin )。

40.在z s 表象中,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102 x s ,则在状态⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1122χ中,x s =( 2 )。

41. 全同性原理的内容是:( 在全同粒子组成的体系中,两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变 )。

42. 泡里原理的内容是:( 不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态 )。

43. 描写电子体系的波函数只能是( 反对称 )波函数,而电子体系的自旋波函数则可以是( 对称 )或者(反对称)的。

44. 电子是( 费密 )子,服从( 费密-狄拉克 )统计,描写电子体系的波函数只能是( 反对称 )波函数。

45. 描写玻色子体系的波函数只能是( 对称 )波函数,而玻色子体系的自旋波函数则可以是( 对称 )或者( 反对称 )的。

46. 描写费密子体系的波函数只能是( 反对称 )波函数,而费密子体系的自旋波函数则可以是( 对称 )或者( 反对称 )的。

47. 光子是( 玻色 )子,服从( 玻色-爱因斯坦 )统计,描写光子体系的波函数只能是( 对称 )波函数。

――――――――――――――――――――――――――――――二、计算、证明题1.粒子在一维势场⎩⎨⎧<>∞+≤≤=0,,0,0)(x a x ax x U 中运动,试从薛定谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数.解:当0)0(,,,0=∞→><ψU a x x当.2ˆ,0222ψψμψψE dxd E H a x =-⇒=<<令22 E k μ= 得 0222=+ψψk dxd kx c kx c x cos sin )(21+=ψ0)0(=ψ ,,02=∴c kx c r sin )(1=ψ ),3,2,1(,,0sin ,0)( ===∴=n n ak ax a πψ,22222an E n μπ =),2,1(,sin )(1 ==n x a n c x πψac d an 2112=⇒=⎰τψ 2.一粒子在一为势场()bx x x U -=2221μω中运动,试求粒子的能级和归一化定态波函数(准确解)。

解:bx x dx d H -+-=22222212ˆμωμ 222222222)(212μωμωμωμb b x dx d --+-= 令2μωbx x -=' 则 2222x d d dx d '= 22222222212μωμωμb x dx d H -'+-=' ψψμωμωψμE b x dx d =-'+-)221(22222222 22222222,212μωψψμωψμb E E E x dx d +=''='+- ),21(+='n E nω),2,1,0(),()(222 ='=''-n x H e N x n x n n αψα,2)21(22μωωb n E n -+=' ),2,1,0(),(2exp )(222 =-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n bx H b x N x n n n μωααμωαψ 3.一粒子在硬壁球形空腔中运动,势能为()⎩⎨⎧≥∞+<=.,;,000r r r r r U试从薛定谔方程出发求粒子在s 态中的能级和定态波函数(不必归一化)。

{ 提示:在s 态中)(1222f r rd d r f =∇ } 解:当0)(,,0=∞→≥r U r r ψ当().22ˆ,222220ψψμψψμψψE r drd r E E H r r =-⇒=∇-⇒=<令22 E k μ= 得 0)()(222=+ψψr k r drd r kr c kr c r )sin cos ()(21+=ψ)0(ψ 有限,,01=∴c kr rcr sin )(2=ψ),3,2,1(,,0sin ,0)(000 ===∴=n n k r k r r πψ,22222r n E n μπ =),2,1(,sin )(02 ==n r r n r c r n πψ4.粒子在一维势场()()⎩⎨⎧><∞+≤≤>-=a x x a x U U x U ,00000当当中运动,试从薛定谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数。

解:1.当0)0(,,,0=∞→><ψU a x x当.2ˆ,00222ψψψμψψE U dx d E Ha x =--⇒=<< 令20)(2 U E k +=μ 得 0222=+ψψk dxd kx c kx c x cos sin )(21+=ψ0)0(=ψ ,,02=∴c kx c r sin )(1=ψ ),3,2,1(,,0sin ,0)( ===∴=n n ak ax a πψ,202222U an E n -=μπ ),2,1(,sin )(1 ==n x a n c x πψa c d an 2112=⇒=⎰τψ 5.利用力学量算符Fˆ本征函数)(x n φ的正交归一完全性,证明 2*)(ˆ)(∑⎰=n nn c dx x Fx λψψ式中,n λ为F ˆ本征值。

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