(2)P{(-a/2)<X<(a/2)} ＝F(a/2)- F(-a/2)=
10
解答（续）
在F ( x)的连续点上，F ( x) p( x) 1 1 x 1 1 1 1 [ arcsin ] 2 a a x 2 a x2 1 ( ) a (3)X的概率密度 f(x)为 1
xd (e x )
1
[ xe
x 0
e
0


x
1 x x e dx e dx] 0

2

1
同理：DX ( x EX ) f ( x)dx ( x
0
1

) e
2
x
dx
2
17
1 x 1 1000 解： e X 的密度函数为：f ( x) 1000 0
• 例2：某电子元件的寿命X的服从参数为0.001的指数分 布，求3个这样的元件使用1000个小时至少有一个已经损 坏的概率.
x0 x0
1 P( X 1000) e 1000 1000


x 1000
dx e 1
3个都没有损坏的概率为:
[ P( X 1000)]3 e3

2

2
答案:1/2 求(1)A,(2)F(x),(3)P{0<X<π/4}.
A cos x , 7.设X~ f ( x) 0,
x x

2

2
答案:(1)1/2
0 x 2 1 (2) F ( x) (sin x 1) x 2 2 2 1 x 2
概率密度函数的性质
(1) f ( x) 0 (2)

f ( x)dx 1
2
满足这2个条件的函数可以作为某随机变量的密度函数
连续型随机变量的分布函数
对任意随机变量X , 任意实数x, 随机变量X 的分布函数F ( x)为 : F ( x) P( X x) p(t )dt
x
3
尽管P{X=a}=0, 事件{X=a}并不是不可能事件
4
1 例：均匀分布：X ~ p( x) b a 0
x [ a, b] 其它
(1)验证f(x)是否是一个概率密度函数. (2)求X的分布函数.
解:(1)
验证： (a) p( x) 0,
(b)


p( x)dx 1
(2)求X的分布函数为:
F(x) 1 a 0 b x
5
kx 1 0 x 2 例1.设X~ f ( x) 其它 0
(1) 确定k, (2) 求X的分布函数F(x). (3) 求P(3/2<X<5/2)
1 解：(1) f(x)dx= (kx+1)dx=1 k=- 0 2 0 1 x (2) F ( x) f(t)dt= x 2 x - 4 1
1 e x x 0 4. X的分布函数为 F ( x ) x0 0 求(1)P(X>3), (2)P(X≤2), (3)f(x)
答案:(1)P(X>3)=e-3 (2)P(X≤2)=1- e-2
0 (3) f ( x) x e
x0 其它
5. 设X~f(x)，且f(-x)=f(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实 数a，有( )
6
离散型和连续型的比较:
离散型 1.概率分布:pn=P(X=xn) (n=1,2,...) 2.F(x)= 连续型 1.概率密度 X~f(x): P(a<X<b)=
xi x
P( X x

b
a
f ( x )dx

i
)
2. F ( x ) P{ X x }
f ( t )dt
p( x) a x 2 0
a x a 其它
1 x [0,1] 练习4 已知X服从[0,1]的均匀分布,即X~ f ( x) 1 0 其它 3 1 0 2 求: P( X X 0) 4 8 1 1 3 1 3 1 1 2 4 P( X x 0) P( X ) P( X ) dx 1 dx 0 4 8 2 4 4 2 11
解:(1)F(x)在x=-a与x=a处连续, 得:
a 1 0 A B arcsin( a ) 0 A B A 2 2 a 1 A B arcsin( ) 1 A B 1 B a 2
1 1 1 1 1 1 1 arcsin [ arcsin( )] 2 2 2 2 3
故A
2
1 (2) P(0 X ln3) 2
2

1 ln3 2 0
A e x e x
1 2 ln3 x dx [arctan( e )] 2 0
2 1 [arctan 3 arctan 1] [ ] 3 4 6
8练习2 设连续型随机变量X密度函数为 0 x 1 x p( x) 2 x 1 x 2 求X的分布函数 0 其它 解： (1)x≤0时,F(x)=0 (2)0<x 1时, F(x)=
P(X=a)=0
5.F(x)连续,且f(x)= F ( x )
7
5.F(x)有可列个间断点,且右连续
练习1 设连续型随机变量X的密度函数为
A p( x) x x , x e e
求:(1)A; (2)P(0<X<(1/2)ln3
x de A x p( x)dx e x e x dx A e2 x 1 A[arctan( e )] A 2 1
试验
抽查一批电子元件 新建一座住宅楼 测量一个产品的长度
连续型随机变量
平均使用寿命(小时) 半年后工程完成的百分比 测量误差(cm)
可能的取值
X0 0 X 100 X0
1
一 概率密度函数
定义 设随机变量X的分布函数为F(x), 若存在非负 可积函数f(x), 使得对任意的实数x, 有： x F ( x) p(t )dt 则称X为连续型随机变量，f(x)为随机变量X的概率 密度函数。记作X~f(x)
至少有一个已经损坏的概率.
1 e 3
18
练习：某设备有4个同类型的三极管，其寿命X的密度函数 为： x
e p ( x) 0
5000
x0 x0
• 求：(1)参数λ 的值 • (2)一个三极管寿命超过1250小时的概率． • (3)该设备使用了1250小时后，需要更换三极管的概率．
A=1
即:
x 1
lim Ax f ( 1 ) 1
2
所以,
(2)P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)= 0.72-0.32=0.4 0 x<0 (3)f(x)=
F ( x)
=

2x
0
0≤x<1 即: f ( x ) 2 x 0 1≤x
0 x1
其它
12
1 课堂练习２.设X~ f ( x ) 2 x 0
第4节 连续型随机变量 (continuous random variables)
• 至少可以某个区间的所有实数。 • 所有可能的取值不可以逐个列举出来 • 一般是: the measurement on a continuous scale with no gaps or interruptions)


课堂练习１ 设连续型随机变量X的分布函数为
x0 0 F ( x ) Ax 2 0 x 1 1 1 x
求:(1)A; (2)P(0.3<X<0.7);
(3)X的概率密度f(x)
x 1
解:(1)F(x)在x=1点连续,由左连续性得:
lim f ( x ) f ( 1 )
①F(-a)=1-

a
0
1 ② F(-a)= f ( x)dx 2
f ( x)dx
0
a
③F(-a)=F(a) 答案:(2)
④F(-a)=2F(a)-1
14
0, 6 设 X的分布函数为 F ( x) sin x , 1,
则P{|X|<π/6}=（ ）
x0 0 x x
x
3.P(a<X≤b)=F(b)-F(a); P(X>a)=1-F(a); P(X=a)=F(a)-F(a-0) 4.P(x∈A)=
xi A
P( X x
i
)
4.P{a<X≤b}=P{a<X<b} =P{a≤X<b}=P{a≤X≤b} b =F(b)-F(a)= f ( x )dx

a
P(X=a)不一定为0
+ 2
x0 0 x2 x2
5 5 3 5 1 2 2 (3) P( X ) 3 f (t )dt = 3 ( t 1)dt 0.0625 2 2 2 2 2 3 5 5 3 或： (3) P( X ) F ( ) F ( ) 0.0625 2 2 2 2

x

f (t )dt f (t )dt f (t )dt
0
x
０
x
1 2 0 tdt x 0 2０ x 1 x (3)1<x 2时, F(x)= f (t )dt 0dt tdt (2 t )dt
0 1