40
中心差分方法（线弹性情况）
知道这些 参数即可
41
中心差分方法（线弹性情况）
知道这些 参数即可 • 根据 • 根据 • 分析步长取多大？下式是稳定性要求的步 长。实际中取的更小，一般0.01~1e-5
42
中心差分方法（线弹性情况）
• 步骤总结 绝对速度 和加速度
43
中心差分方法（线弹性情况）
max max
max
mSa
g
G k G
?
G ---集中于质点处的重力荷载代表值
g ---重力加速度

Sa xg (t )
k
xg (t ) g
max
---地震系数
---动力系数
max
k ---地震影响系数
23
抗震设计谱（续）
• 重力荷载代表值应取结构和构件自重标 准值和各可变荷载组合值之和。可变荷 载的组合值系数，可按下表采用
Sd = x(t ) max
13
y g ( t )
(ms 2 )
t (s)
Elcentro 1940 （N-S） 地震记录
相对速度反应谱
(t ) max Sv x
14
y g ( t )
(ms 2 )
t (s)
Elcentro 1940 （N-S） 地震记录
绝对加速度反应谱 Sa x(t ) xg
max
15
地震动反应谱（续）
1. 目前应用的抗震设计方法是基于力的抗震设计， 加速度反应谱是基于力的抗震设计的基础，因 此后面将主要介绍加速度反应谱 2. 在 代 表 未 来 抗 震 设 计 理 论 发 展 方 向 的 抗 震 理 论 —— 基 于 性 态 的 抗 震 设 计 理 论 （Performance-based seismic design）中，位 移反应谱将起到至关重要的作用！位移谱可以 用加速度谱转化。
50
Newmark方法（线弹性情况）
• 步骤总结 隐式方法 Implicit method
i+1时刻由i和 i+1时刻求出 ，使用i+1时 刻的平衡
51
Newmark方法（线弹性情况）
• 分析步长取多大？下式是稳定性要求的步 长。实际中取的更小，一般0.01~0.005， 但比显式方法大的多
52
• 第二类误差（初始刚度预测） 迭代逼近
modified Newton–Raphson iteration
62
Newmark方法（非线性情况）
• 第二类误差（初始刚度预测） 迭代逼近
Newton–Raphson iteration
63
Newmark方法（非线性情况）
• Modified Newton–Raphson iteration：收 敛慢、收敛性相对好 • Newton–Raphson iteration：收敛快、收 敛性相对差
max(Tg / T)

1 0.6 0 0.2 0.50.8 0 0.3 1
1.5 2.5
0 0.3
1
1.5
2 T (s)
3
4
2 T (s)
3
4
(c) 1974规范设计谱
Sl Sll Slll
4
(d) 1989规范设计谱
max
3
加速度
max(Tg / T)
2

max(Tg / T)
稳定性
• 三种方法的稳定性
无条件稳定
条件稳定
53
稳定性（续）
• Procedures that lead to bounded solutions if the time step is shorter than some stability limit are called conditionally stable procedures • Procedures that lead to bounded solutions regardless of the time-step length are called unconditionally stable procedures
设防烈度I 地震系数k 6 7 8 0.05 0.10（0.15） 0.20（0.30） 9 0.40
26
地震系数k
k
g (t ) x g
max
---地震系数
27 设计基本地震加速度是否直接用于设计？No！
抗震设计谱（续）
根据同一类场地上所得到的地面加速度记录分别计算 出它的加速度反应谱曲线，然后将这些谱曲线进行统计分 析，求出其中最有代表性的平均反应谱曲线然后结合经验 判断确定，通常称这样的谱曲线为抗震设计谱！
28
抗震设计谱（续）

---地震影响系数 ---结构周期
地震影响系数最大值（阻尼比为0.05）
地震影响 多遇地震 罕遇地震 0.04 ----烈度 6 7 8 9 0.08(0.12) 0.16(0.24) 0.32 0.50(0.72) 0.90(1.20) 1.40
T
max---地震影响系数
5
荷载插值方法
6
荷载插值方法（续）
无阻尼情况
• 考虑i时刻的初始条件，得到
• i+1时刻
7
荷载插值方法（续）
无阻尼情况
• i+1时刻的反应
8
荷载插值方法（续）
无阻尼情况
• 可以得到以下递推公式
• 通过递推，可以得到结构反应的时程。值 得注意的是该方法没有任何的假设（除了 假设线性插值）。但该方法仅适用于线弹 性结构计算。 9
54
计算误差
• 计算误差：数值计算结果和真实结果的误 差。考虑以下自由振动算例
• 真实结果（理论解）
55
计算误差（续）
结构的时程反应
56
计 算 误 差
Amplitude Decay（AD）和 Period Elongation（PE）
57
中心差分方法（非线性情况）
• 使用位移差分表示速度和加速度
• 带入方程
，得到
58
Newmark方法（非线性情况）
• 带入方程 ，得到
• 下式的近似性
固定时间步长引 起的分析误差
59
Newmark方法（非线性情况）
• 第一类误差（拐点预测） 速度判断 减小步长
60
Newmark方法（非线性情况）
• 第二类误差（初始刚度预测） 迭代逼近
61
Newmark方法（非线性情况）
荷载插值方法（续）
• 递推系数（考虑阻尼）
10
地震动反应谱
11
地震动反应谱（续）
Sa
加速度反应谱
T1 Ti
T
概念：单自由度体系在给定地震动作用下 某种反应量的最大值与体系自振周期之间 的关系曲线
12
相对位移反应谱
地震动
y g ( t )
(ms 2 )
t (s)
Elcentro 1940 （N-S） 地震记录
45
Newmark方法（线弹性情况）
46
Newmark方法（线弹性情况）
• 速度和位移用以下两式表示 需要迭代
• 增量形式
47
Newmark方法（线弹性情况）
• 速度和位移用以下两式表示 需要迭代
48
Newmark方法（线弹性情况）
• 带入方程 ，得到
49
Newmark方法（线弹性情况）
• 步骤总结 绝对速度 和加速度
• 步骤总结 显式方法 Explicit method
i+1时刻由i时 刻求出，不使 用i+1时刻的 平衡条件
44
Newmark方法（线弹性情况）
• 速度和位移用以下两式表示
• 根据以上两个参数的取值不 同，对应两种常用方法：平 均加速度法和线性加速度法
Newmark NM，1959年提出。地震工程 中“最流行”的方法
0.9
1
min
0.3 0.2 0.7 1.5 3.5
0
1
2 T (s)
3
4
0 0.1 0
Tg 1
2 T (s)
3
33
4
4
中国规范设计谱（
1%
3
2% 5% 10% 20%
2

1
20 01 ）
0
0 0.25
1
2
3 T (s)
4
5
6
34
中国规范设计谱（
20 10
）
35
差异来自何处，认识问题？
38 个国家的设计谱比较
分四 类
29%
分二 类
7.9%
分三 类
36
55%
分六 类
5.3% 2.6%分Βιβλιοθήκη 类• 反应谱研究存在的问题
37
• 标准化技术（距离的影响）
38
• 标准化技术（谱的敏感区）
Chopra，2001
39
中心差分方法（线弹性情况）
• 使用位移差分表示速度和加速度
• 带入方程
，得到
水平地震影响系数是地震系数k与动力系数的乘积， 当基本烈度确定后，地震系数k为常数。仅随值而变化。 所以，水平地震影响系数最大值
max k max 2.25k
我国抗震规范中是以水平地震影响系数作为抗震设计 依据的，其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以 25 及结构自振周期和阻尼比确定
0.05 2 1 0.06 1.7
30
对设计谱的再认识
31
由Housner提出的第一个地震设计谱(1959) 32