Re i , i 1,2 , , n
定理：定常线性系统渐
进稳定的充要条件是，
对任意给
定的 n n 阶非负对称阵 Q D T D ，当 [ A D ]能观测时，
矩阵方程
A T P PA D T D ，有唯一对称正定解。
线性系统理论
系统的运动稳定性
20
a1 1 0 0
a3
i a5
a2 a1 1
a4 a3 a2
, i 1,2, , n
a 2i1 a 2i
ai
均大于 0，这里 a j 0, j n
线性系统理论
系统的运动稳定性
19
4.3.2 Lyapunov定理
定理：线性定常系统为
渐进稳定的充要条件是
矩阵方程
A T P PA Q
对于任意给定的正对称
P(t) T ( , t) Q( )( , t)d t
对于 t 0收敛，且为下述矩阵微 分方程的唯一解 P (t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t) , t t0
线性系统理论
系统的运动稳定性
16
定理：考虑线性时变系统，xe为其唯一的平衡状态，A(t)的 元均为分段连续的一致有界的实函数，则原点平衡状态为
第四章 系统的运动稳定性
Lyapunov意义下的运动稳定性 线性时变系统的稳定性判定 线性定常系统的稳定性
线性系统理论
系统的运动稳定性
1
4.1 Lyapunov意义下的运动稳定性 4.2 线性时变系统的稳定性判定 4.3 线性定常系统的稳定性
线性系统理论
系统的运动稳定性
2
4.1 Lyapunov意义下的运动稳定性
一致渐近稳定的充要条件是对于任意给定的一个实对称、
一致有界和一致正定的时变阵Q(t), Lyapunov矩阵微分方程 P(t) P(t)A(t) AT (t)P(t) Q(t) ,t t0
有唯一的实对称、一致有界和一致正定的矩阵解P(t)。 推论：设A(t)为[t0 , )上的一致有界分段连续矩阵，且
(2)对(,t0)和任意给定的实 数0,对应地存在实数 T(,,t0) 0,使得满足||x0 xe ||(,t0)的任一初
态x0出发的受扰运动同足 时满
|(t；x0,t0)xe ||, t t0 T(,,t0)
S(δ)
线性系统理论
S(ε)
渐近稳定示意图
系统的运动稳定性
6
定义 4： [Lyapu意 no义 v 下的一致性 渐] 近在稳上定述
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12
定理 3： 若原点的某邻域 内 存在一个正定函数 V (x ), 它沿系统的全导数在 内为半负定的（或负定 的）， 则系统的零平衡状态为 局部稳定的（或渐近稳 定的）。 定理 4： 若原点的某邻域 内 存在一个正定函数 V (x ), 它沿系统的全导数在 内为半负定的，但在 中 V (x )在 系统的非零解上非零， 则系统的零平衡状态渐 近稳定。
的 则 对任 称 给 xe||为 ||x一 定 0L(t,yx初 x的 xa00e出 ,|tp|0态 任 )u发 意 (nx一 e,o的 t|义 0|0v)实 ,都 受 ,下 数 对 扰 稳 t应 运 t定 0 地 动 不 的存 都 等 。在 满 式一 足 (,个 t0),使 实得 数满足
稳定示意图
定理 5： 若在 R n 上存在一个具有无穷大 性质的正定函 数 V (x ), 它沿系统的全导数在 R n上为负定的，则系统的 零平衡状态为全局渐近 稳定的。 定理 6： 若原点的某邻域 内 存在一个正定函数 V (x ), 它沿系统的全导数在 内为正定，则零平衡点 不稳定的。
线性系统理论
系统的运动稳定性
0, 使得满足
|| x 0 x e || ( , t 0 )
的任一初态 x 0出发的受扰运动都满足 不等式
|| (t , x 0 , t 0 ) x e || k ( ) e (t t0 ) , t t 0
则称 x e为全局指数稳定的。
线性系统理论
系统的运动稳定性
9
4.1.3 Lyapunov第二方法的主要定理
负实部。
定义：设 A R nn，则 （1） A称为 Hurwitz 稳定的，如果
实部。
A 的所有特征值都有负
（2） A称为临界 Hurwitz 稳定的，如果 A的所有特征值都
有非正实部，且零实部 根为其最小多项式的单 根。
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系统的运动稳定性
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Hurwitz 定理：给定实系数多项 式
f (s) s n a1s n1 a 2 s n2 a n1s a n 其所有根均 s平面左半平面的充要条 件是
Lyapu意 no义 v 下的渐近义 稳中 定， 性 和 若 定 T的选取
不依赖于初t0始 ，时 则刻 称平衡 xe是 状一 态致渐近稳
一致渐近稳定示意图
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系统的运动稳定性
7
定义5：[Lyapunov意义下的大范围渐近稳 定性]
设x
为系
e
统的平衡状态，若以状
态空间中任一有限点
x
为初态的
0
定义 9： 设 x R n , 是 R n中包含原点的一个封闭 有限区域， V (x, t)是定义在 [t0 , ) 上的一个标量函数，若 (1)V (x, t)关于 x和 t均具有一阶连续偏导 (2)V (0, t) 0 (3)V (x, t)有限正定，即存在两个 连续的非减的标量函数
(|| x ||) 和 (|| x ||) 满足： (0) (0) 0，并使得对任何
的任一初态 x 0出发的受扰运动都满足 不等式
|| (t , x 0 , t 0 ) x e || e (t t0 ) , t t 0 则称 x e为指数稳定的。 定义 8：[全局指数稳定的定义 ] 设 x e为系 统的平衡状态，若 对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 k ( ) 0和
阵 Q 都有唯一正定对称解
P。
推论： (1) A T P PA Q 有唯一正定对称解 是 A 的特征值都有负实部。
P 的充要条件
( 2 ) n n 阶正定对称阵 Q 以及正数 ，矩阵方程
2 P A T P PA Q
有唯一正定对称解的充
要条件是矩阵 A 的每一个特
征值 i (i 1,2 , , n )满足
定义：设 Q(t)为定义在 [t0 , )上的一个分段连续的实 对 称矩阵函数，它称为是 一致有界和一致正定的 ，如果
存在正实数 2 1 0,使得下式成立 0 1I Q(t) 2 I ,t t0
引理：设系统是一致渐 近稳定的， (t, t0 )为其状态转移 矩阵， Q(t)为一致有界和一致正定 的矩阵，则积分
[A(t) AT (t)] 0
则系统一致渐近稳定。
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4.3 线性定常系统的稳定性
4.3.1 直接判据与Hurwitz定理
定理：（ 1）系统稳定的充要条件 是 A的所有特征值均具 有非正实部，且其具有 零实部的特征值为其最 小多项式
的单根。
（2）系统渐进稳定的充要 条件是 A的所有特征值均具有
t t0和x 0有
0 (|| x || V (x, t) (|| x ||)
则称 V (x, t)为定义在 [t0 , ) 上的一个正定函数。
若 lim (|| x ||) , 则称正定函数 V (x, t)具有无穷大性质。 || x||
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10
定义10： 设x R n , 是R n中包含原点的一个封闭 有限区域，
x
出发的运动满足不等式
0
|| (t；x0 , t0 ) xe || ,
t t0 ，
称x
为不稳定的。
e
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定义 7：[指数稳定的定义 ] 设 x e为系 统的平衡状态，若 对给定的任一实数 0, 都对应地存在一个实数 ( )和 0,
使得满足
|| x 0 x 一个标量函数，若
(1)V (x)关于 x的所有分量均具有一阶 连续偏导
(2)V (0) 0
(3)对于 x 0有V (x) 0,
则称 V (x)为定义在 上的一个 时不变正定函数。
若 lim V (x) ,则称正定函数 V (x)具有无穷大性质。 | |x| |
V (x, t)沿系统的全导数
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定义2：[Lyapuno意v 义下的一致稳定]性
在上述Lyapuno意v 义下的稳定性定义，中
若的选取只依赖于 而与初始时刻t0的
选取无关，则进一步平称衡状态xe是 一致稳定的。
一致稳定示意图
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定义3： [Lyapuno意v 义下的渐近稳定 ] 性系统的一个平 衡状态xe称为渐近稳定的，如果 (1)xe是Lyapuno意v 义下稳定性的
受扰运动 (t；x0 , t0 )都是有界的，且满足
lim
t
(t；x0
,
t0
)
xe
则称
x
是大范围渐近稳定的
e
全局渐近稳定。
不稳定示意图
定义6：[Lyapunov意义下的不稳定定义 ]
设
x
为系
e
统的平
衡状态，若对于不管多 大的有限实数 0,都不可能找到
相应的实数 ( , t0 ), 使得由满足 || x0 xe || ( , t0 )的任一
4.1.1 系统的运动与平衡点
研究运动稳定性问题，时常限于研究无外作的用系统 自治系统。 x f(x,t), x(t0) x0, t t0