5 4 3 2 1 4 5
3
2
1
平面与圆锥相交
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线. 作图: 1 求特殊点。 最高点 最低点 2 求一般点。
3 连线。
已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影
1’ (2)’ (8)’
(4)’ 3’
2”
4”
3”
1”
(12)’
7’ 11’
5’ (6)’
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。
㈠ 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面
与圆柱轴线的相对位置
PV
PV
PV
P
P
P
垂直 圆
倾斜 椭圆
平行 两平行直线
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的 另外两个投影。
4’ 3’ 2’ 1’
5’
6”
5”
(7)’
7”
8”
由于平面与圆柱的轴线 具体步骤如下： 斜交，因此截交线为一椭圆。 4” （2）再作出适当数量 （4）补全侧面投影中 （1）先作出截交线上的 截交线的正面投影重影为一 （3）将这些点的投影 3” 直线，水平投影与圆柱面的 的一般点。 的转向轮廓线。 特殊点。 依次光滑的连接起来。 投影重影为圆。侧面投影可 2” 1” 根据圆柱表面取点的方法求 出。
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截 切位置。
平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平面
立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每条 边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 求截交线的实质是求两平面的交线
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤： ★ 空间及投影分析 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交线，并 连接成多边形。 确定截交线 的投影特性 确定截交 线的形状
此种截交线为一椭圆。 由于圆锥前后对称，故椭圆 也前后对称。椭圆的长轴为 截平面与圆锥前后对称面的 交线——正平线，椭圆的短 轴是垂直与长轴的正垂线。
Ⅱ Ⅳ Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。 （3）依次光滑连接各点，即得 截交线的水平投影和侧面投影。 5” 3”
⒊ 当单体被多个截平面截切时，要逐个截 平面进行截交线的分析与作图。当只有 局部被截切时，先按整体被截切求出截 交线，然后再取局部。
⒋ 求复合回转体的截交线，应首先分析复
合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后分别求出这些基本
回转体的截交线，并依次将其连接。
例2、 补画被挖切后立体的投影 。 分 析： 该立体是在圆柱筒的 上部开出一个方槽后形成 的。构成方槽的平面为垂 直于轴线的水平P和两个平 行于轴线的侧平面Q。它 们与圆柱体和孔的表面都 有交线，平面P与圆柱的交 线为圆弧，平面Q与圆柱 的交线为直线，平面Ｐ和 Q彼此相交于直线段。
平面与圆柱相交
●
小 结
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 面与棱面的交线。
求截交线的方法：棱线法 棱面法
二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截
平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。
三、解题方法与步骤
⒈ 空间及投影分析 ⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状。 ⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以确定截交线的投影特性。 ⒉ 求截交线 当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊 点，再补充中间点，最后光滑连接各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的 投影。
Ⅱ
7
Ⅰ
3
4
截交线的投影 检查截交 分析棱线的 截交线的形状？ 求截交线 特性？ 投影 线的投影
1
2
5.1.2 回转体的截切
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面 截平面
截交线
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 截交线都是封闭的平面图形。
7”
5’6’ 3’4’ 1’
7’8’
2’
4”
6”
8”
2”
（4）补全侧面转向轮廓线。
1”
4
Ⅱ
6
8
Ⅳ
2
1
7
Ⅲ
正垂线
3 5 平面与圆锥相交
Ⅰ
正平线
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线 的另外两个投影。
3’ 2’ 1’ 5” 4” (4’) (5’) 3” 2” 1”
具体步骤如下： （1）先求特殊点。 （2）再求一般点。 （3）依次光滑连接各点。
1’ a’
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交 线的水平投影和侧面投影。 s” 具体步骤如下： s’ Pv 3’ (1) 求Pv与s’a’、s’b’、 3” 2’ 2” s’c’的交点1’、2’、3’为 截平面与各棱线的交点 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。 1” b’ c’ c” a” b” (2) 根据线上取点的方 法，求出1、2、3和1”、 2”、3”。
12” 6” 8”
5” 7”
11”
9’ (10)’
10”
9”
10 8 12 6 4
11 7 9
3 5
㈢ 球体的截切
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根 据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投
影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
平面与球相交
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。 ( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
例3：求左视图
同一立体被多个平面
截切，要逐个截平面进行 截交线的分析和作图。
●
解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
3’4’ 5’ 1’ 6’ 3’4’ 5’ 1’ 6’
6
4 2 3
6
4 2 2 3 1 4 3
1 5
1 5
平面与球相交
㈣ 复合回转体的截切
例：求作顶尖的俯视图
● ●
●
● ●
● ●
●
● ●
● ● ● ●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们 的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并 依次将其连接。
二、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析 ☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影。 ⒉ 画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，补充中间点。
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
平面与圆锥相交
根据截平面与圆锥轴线的相对 位置不同，截交线有五种形状。
PV
PV θ PV PV α
θ
α
θ PV
α
θ = 90° 圆
过锥顶 两相交直线
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截
交线的另外两个投影。
●
●
●
例4：求左视图
●
●
●
●
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’ 2’ (11)’ 11’’ (10)’’ 3’’ 2’’
1’
1’’ (8)’ 6’ (9)’ 5’ 9’’ 5’’
7’
8’’
7’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) (6) 2
㈡ 圆锥体的截切
1
s 2
3
(3) 连接各点的同面投 影即等截交线的三个投 影。 (4) 补全棱线的投影。
图3-20 平面与三棱锥相交
例2 求做立体被截切后的投影
1’
1”
2’ 3’(4’)
4”
3”
4 2
1
3
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4) 3 1 2 4
● ●
1
●
2
●
3
4 3
●
●
●
1
两个侧平面截圆球的 水平面截圆球的截交线 截交线的投影，在侧视 的投影，在俯视图上为 图上为部分圆弧，在俯 部分圆弧，在侧视图上 视图上积聚为直线。 积聚为直线。
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的 水平投影。 具体步骤如下：
2’
（1）先求特殊点。
2’
（3）依次连接各点的水平投影。 （2）确定截交线与转向轮廓线的交点。
第五章 立体的表面交，截去立体的一部分。
截平面 —— 用以截切物体的平面。 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。 截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形 成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
5.1.1 平面立体的截切