前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x y x x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，令u t -=1，则21t u -=2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________.解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得 因)(29ln y f y xe e =，故y y y f x '=''+)(1，即))(1(1y f x y '-='，因此二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 解 :因 故 因此三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解:由A xx f x =→)(lim和函数)(x f 连续知，0)(limlim )(lim )0(0===→→→xx f x x f f x x x 因⎰=1d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g ，因此，当0≠x 时，⎰=xu u f x x g 0d )(1)(，故当0≠x 时，这表明)(x g '在0=x 处连续.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 （1）y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 和y 是对称的，即知 因此 （2）因 故知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解 设x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则x x e e y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111x f y y y =-'-''和知，1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解 因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点，故1=c ，于是 即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令 得 即 因此七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.解由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此由)1()1(nC e u n e n +==知，0=C ， 于是下面求级数的和：令 则 即由一阶线性非齐次微分方程公式知令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数∑∞=1)(n n x u 的和八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.解 令2)(t x t f =，则因当10<<x ，(0,)t ∈+∞时，2()2ln 0t f t tx x '=<，故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减。

因此即 又所以，当-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量是x-121π。

2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

） 一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x-→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

（3）设0s >，求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞-==⎰L 。

（4）设函数()f t有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g g x y ∂∂+∂∂。

（5）求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离。

解：（1）22(1)(1)(1)n n x a a a =+++L =22(1)(1)(1)(1)/(1)nn x a a a a a =-+++-L(2) 22211ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x xx x x e e ex -++--→∞→∞→∞⎛⎫+== ⎪⎝⎭令x=1/t,则原式=21(ln(1))1/(1)112(1)2200lim lim lim t t t t ttt t t eeee +-+---+→→→===（3）0000112021011()()[|](1)!!sxnn sx n sx sx nn sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s sn n n n n n e x dx I I I s s s s s∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====⎰⎰⎰⎰L二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。

证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根。

解： 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。

将f(x)二阶泰勒展开： 因为二阶倒数大于0，所以 证明完成。

三、（15分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切，求函数()t ψ。

解：（这儿少了一个条件22d ydx=）由()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切得上式可以得到一个微分方程，求解即可。

四、（15分）设10,,nn n k k a S a =>=∑证明：（1）当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1nn na S α+∞=∑发散。

解：（1）n a >0, n s 单调递增 当1n n a ∞=∑收敛时，1n n n a a s s αα<Q，而1n a s α收敛，所以nna s α收敛； 当1n n a ∞=∑发散时，lim n n s →∞=∞所以，11111211n n n s s n s s n n n a a a dx dx s s xs x ααααα-∞∞==<+=+∑∑⎰⎰ 而1111111111lim 11ns n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--⎰，收敛于k 。

所以，1nn na s α∞=∑收敛。