第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所
围成三角形区域.
解 令，则，，
（*） 令，则，，，，
2．设
是连续函数，且满足, 则____________.
解 令，则，
,
解得。

因此。

3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 解 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由
=--++⎰⎰y x y
x x y
y x D
d d 1)
1ln()(D 1=+y x v x u y x ==+
,v u y v x -==,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=v u u v u u u y x y x x y
y x D D d d 1ln ln d d 1)
1ln()(⎰⎰⎰⎰--=
--++⎰⎰⎰⎰----=---=10
2
1
0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u u
v u u u u u ⎰
-=1
2
d 1u u
u u t
-=121t u -=dt 2d t u -=42221t t u +-=)1)(1()1(2t t t u u +-=-⎰+--=01
42d )21(2(*)t t t ⎰
+-=10
4
2
d )21(2t t t 1516513
2
21
053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t )(x f ⎰--=2
2
2d )(3)(x x f x x f =)(x f ⎰=2
d )(x x f A
23)(2--=A x x f A A x A x A 24)2(28d )23(2
2-=+-=--=⎰3
4=
A 3103)(2
-=x x f 22
22
-+=y x z 022=-+z y x 022=-+z y x )1,2,2(-22
22
-+=y x z ),(00y x )1),,(),,
((0000-y x z y x z y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1,2,2(-
，知，
即，又，于是曲面在处
的切平面方程是，即曲面平行平面 的切平面方程是。

4．设函数
由方程确定，其中具有二阶导数，且
，则
________________. 解 方程的两边对求导，得
因，故
，即，因此
不会：二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.
解法1 因
故
因此
解法2 因
x z x =y z y 2=0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====1,200
==y x 5)1,2(),(00==z y x z 022=-+z y x )),(,,(0000y x z y x 0)5()1(2)2(2=---+-z y x 2222
-+=y x z 022=-+z y x 0122=--+z y x )(x y y =29ln )(y y f e xe =f
1≠'f =2
2d d x y
29ln )
(y y f e xe
=x 29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+)(29ln y f y
xe e
=y y y f x
'=''+)(1
))(1(1y f x y '-=
'2
222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'
''+
'--=''=3
22
232)](1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''=x
e nx
x
x x n
e
e
e )
(
lim 20
+++→ n x
e
nx x x x x e nx x x x n
n e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ nx
n e e e e x
e n n e e e A nx
x x x nx x x x -+++=-+++=→→ 2020lim
lim
e n n n e n ne e e e nx x x x 2
1212lim 20+=+++=+++=→ e n A x
e
nx x x x e e n
e e e 2
1
20)(lim +→==+++ x
n e e e e n e e e nx x x x x e
nx x x x ln )ln(lim )ln(lim 2020-+++=+++→→
故
三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.
解 由和函数连续知， 因，故，
因此，当时，，故
当时，
， 这表明在处连续.
四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：
（1）
；
（2）
. 证 因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知 （1）
e n n n e e e e ne e e e nx x x nx x x x 2
1212lim 220+=+++=++++++=→ e n A x
e
nx x x x e e n
e e e 2
1
20)(lim +→==+++ )(x f ⎰=1
d )()
(t xt f x g A x
x f x =→)
(lim
A )(x g ')(x g '0=x A x
x f x =→)
(lim 0
)(x f 0)(lim
lim )(lim )0(000===→→→x x f x x f f x x x ⎰=1
d )()
(t xt f x g 0)0(d )0()0(1
0===⎰f t f g 0≠x ⎰=x
u u f x x g 0
d )(1)(0)0(1
)
(lim
d )(lim
)(lim 0
====→→→⎰f x f x
u u f x g x x x x 0≠x x
x f u u f x x g x )
(d )(1)(0
2
+
-
='⎰
2
00
00d )(lim
d )(1lim )0()(lim )0(x t t f x
t t f x x g x g g x x x
x x ⎰
⎰→→→==-='22)(lim
0A
x x f x ==→2
2d )(1
lim )(lim ])(d )(1[lim )(lim 0
2
000
2
A
A A u u f x x
x f x x f u u f x x g x x x x x x =-
=-=+-
='⎰
⎰
→→→→)(x g '0=x }0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D L D ⎰⎰-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin 2sin sin 25d d π⎰≥--L
y
y x ye y xe D y x ye y xe x x ye y xe D x y L x y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-∂∂-∂∂=---。