第七届全国大学生数学竞赛决赛试题答案（非数学类） 2016年3月27日填空题（5 >6分=30分）1.程微分方y 一 (y ) = 0的通解是 _________解：令y 二P ,则y = p ,贝U dp = p 3dx ，积分得到-g p ，= X -G ，即 ―1 _______________________p = y = = _ ，积分得 y =C2±J2(G —x) (&2为常数). p 2(G -x ) *2. __________________________________________________________ 设D: 1兰x 2+ y 2兰4，则积分I = J ] (x + y 2$專刊* dxdy 的值是 _____________________tXjf SdS3.设ft 二阶连续可导，且f t=o ，若y 二f t, 则adx2I解：dx 二 f tdt , dy = f ' t dt ，所以史二U ，则得dx f t d 2y _ d f (t )]dt _ f (t )f (t 卜 f (t f dx 2dt i f (t )J dx f 3(t )4. 设'1，' 2，…，’n 是n 阶方阵A 的特征值，f X 为多项式，则矩阵f A 的行列式的值为 ________ 解: f（A 卜f （匕）f （扎2广f （匕）5. 极限 lim.hsin （二n!e ） 的值为 ____解:卫 22I = 4e 4 °2d 二 r 2sin 2廿 rdr14=—e^ue 』du = — (2e 3- 5)(对称性和极坐标)■: 4编者注：填空题考察基础，简易，稳扎稳打，唾手可得! •(本题满分14分)设f u,v 在全平面上有连续的偏导数,口 , 土逹：=0的所有切平面都交于点a, b,c .z —c z —c证明：记F(x,y,z)=f '◎,口 )，求其偏导数得到其法向量：\.z-c z_c 丿(Fx, Fy, Fz )= i 丄，丄,-(x-a )f1-(y-b)fj --------------------------------------------------- 6 分辽-c z-c (z -c) 丿 (得分比高中数学联赛都容易)为方便取曲面的法向量 n = z -c f 1, z -c f 2,7x -a £-：〔y -b f 2 .记x,y,z 为曲面上的点，X,Y,Z 为切面上的点，则曲面上过点x,y,z 的切平面 方程为〔z - c f 「X -c 〔z-c f 2 V -y _ 丨 x - a f 「y _b f ?上- y i=O ----------------------------- 12 分 容易验证，对任意x,y,z z = c , X,Y,Z 二a,b,c 都满足上述切平面方程•结论 得证。
编者注：此题入手容易，拿分也容易，主要的就是一个思路，不在于过多的计算, 恰到好处的体现了一个很浅显但用数学化的语言描述的一个证明或者定理。
三•(本题满分14分)设f X 在a,b 1上连续,证明：由f x 在a,b 】上连续，知f x 在a,b i 可积.一 1 1 1解：恥小1 1并A 冇01----- - I ]=^a n + ——十0W +1)丿」 n^ n 1，an为整数，所以结果=lim nsin 一5 十1i n 『o(n M二二。
试证明：曲面试证明: b2. f aF 、(bf(x j J f (t dt Idx = [ f (x dxZ bb令 F x = f tdt.则 F ' x =-f x . -------------------------------------------------------------- 5 分x根据要证明试的左边，则bb2 f x f t dt dxaxb b b=2 f x F x dx - -2 F x F ' x dx - -2 F x dF xa-------------------------------------------- 14 分 得证•编辑者注：此题属于送分题，很容易上手，非常基础但不失大气！ 四(本题满分14分)设A 是m n 矩阵，B 是n p 矩阵，C 是p q 矩阵，试 证明：R(AB)+R(BC)-RB)银(ABC),其中R(X)表示矩阵R 的秩.所以二 4五(本题满分14分)设人二.tan nxdx ，n 为正整数.(1)若 n 一2,计算 I n I n^证：即证明 R(AB)+R(BC) <R(ABC)+R(B)=R‘ABC QOB>-------------- 3 分由于 'Em A广 ABC O' 'E q O ''O AB ' 由」 Q En 」 Q BVC E P 丿-BC B 丿------------------------ 7分0 AB" ■O -Ep^ ‘AB O 'I-BC B 」l E p丿lB BC 丿 ------------------------- 10分'Em QEn J'E q<_CE P丿O<E— E p可逆,ABC 01 R =RQ B 丿'AB <B OBC> 采(AB)+R(BC) ------------------------------- 14 分 --F xO（2）设p 为实数，讨论级数二-1 nI n P的绝对收敛性和条件收敛性.n 4编辑者注：第一问送分题，不予置评；第二问就是高中的分类讨论思想，注意其 区别性，掌握好概念，也有放缩的意蕴，只要基础扎实，得满分不是问题..兀4肚4 J!4解：（1） l n l n^= tan nxdxtan n 'xdx= tan n，xd tanx二丄tan 」x 。
：4二丄 ---------- 6分 n 「1 n 「1■TT（2）由于 0 < x < 二,所以 0<tanx <1, tan n 42x c tan nx c tan n ，x .4因此 I n 2 < I n < J,于是 I n 2 I n ：：： 21 n ：：： J I n根据p 的取值不同，分类讨论 oO1co由于v —・收敛，所以7 -1 nI n p绝对收敛. n V n - 1 n =2Q Q当0<P <1时，由于｛幣｝单调减少，并趋近于0,由莱布尼兹判别法，知Z （-1）nI ：n=2收敛.1 “ 12卩口十-亦,而二时发散，所以“ -1%是条件收敛的.Q Q当p O 时，则I n p羽，由级数收敛的必要条件可知，瓦（-1）n|n p是发散的.n=2------------------------------------ 14 分六（本题满分14分）设P x, y 和R x, y,z 在空间上有连续偏导数，设上半球面S: z=z ° +J r 2-（x —x ° 2-（y -y ° 了，方向向上，若对任何点（x °, y °,Z 0 ）和 r>0，故捫V 亠，则2(n —1) >2( n+1)I p<I n < 1 ,2(n —1)当p>1时，（-1亢:::I p ::1n2pn —1p ，(n 2)10分第二型曲面积分11Pdydz Qdxdy 二 0S试证明：—=0.ex证明：设上半球面S 的底平面为D,方向向下，S 和D 围成的区域记为门，由高 \ （冲 FP \Pdydz Qdxdy dv丿 弹&®丿由于底平面为负面，所以..Pdydz Rdxdy 二- Rd 二，再由题设条件得DD-..Rd 二— - dv*DM . X - Z注意到上试对任何r>0都成立，由此证明R x 0, y 0，z 0 =0 反证法：若不然，设 Rx 0,y 0,z （）- 0由于 Rd 二二R \ ,z ）二r 2,这里,z^ D.D而当r —； 0 ；R 1 ,z °「R X 0,y °,Z 0，因此*左端为一个二阶的无穷小类似地，当-卩x °,y0,z0 .「R x °,y0,z0 “， 兰.兰 dv 时一个三阶的无穷小， -X :y x ；z 而当沪心心 .：Rx0,y0,z0=0,该积分趋于o 的阶高于3.因此*式右端阶 /-s L 、 '.x: y高于左端，从而当r 很小，则"Rd b> 出 ［即 c R ^ + idvD<cx cz J这与（*）式矛盾. ------------------------- 10 分因此在任何点X 0,y °,z 都有R X 0,y °, z 0 1=0 ,故R x, y,z =0.带入（*）式得^^dv=0< 'V 'Vl 、Q $重复前面的证明可知 ：P 心心。
胡.由冷』0,勺得任意性知 —=0. 点X CX------------------ 4 分斯公式得编辑者注：可以说这道题证明点细微，用到反证法这一重要思想，通过比较阶次的高低来比较大小，这应该是我们平常不是很注意到的，在这道题中恰恰得到了很好的体现。
细致推理，拿10分左右不是问题，满分也未尝不可•总：从本届试题看出，填空题没有啥大变动之处，解答题新增了空间几何问题，题都不是很难，对于曾经参加过全国高中数学联赛的学生来说，这些题相应于一个认识阶段来看，不是很难。
考察基础，但却能体现厚重基础，思维清晰的良好素养•估计起码参加这个决赛的起码获得70分左右，也考虑到大学学生事情繁杂，没有多大精力在这一枯燥的学科之上，毕竟不是学数学的•分数不重要，喜欢数学就足够了，并能用于生活就行.与君共享，喜欢数学的都是不错的！2016年6月于西安学生编辑。