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2012高考试卷-理数-含答案及解析

2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)A数学(理科)本试卷共4页,21题,满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式:柱体的体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高。

锥体的体积公式为13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高。

一 、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 设i 为虚数单位,则复数56ii-= A . 65i + B .65i - C .65i -+ D .65i -- 【答案】D2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,2,4}M =, 则U C M =A .UB .{1,3,5}C .{3,5,6}D .{2,4,6} 【答案】C3. 若向量(2,3)BA =u u u r ,(4,7)CA =u u u r,则BC uuu rA .(2,4)--B .(3,4)C .(6,10)D .(6,10)-- 【答案】A4. 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是A .ln(2)y x =+B .1y x =-+C .1()2x y =D .1y x x=+ 【答案】A5. 已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为A .12B .11C .3D .-1 【答案】B6. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为A .12πB .45πC .57πD .81π【答案】C7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个,其个位数万恶哦0的概率是A .49 B .13 C .29 D .19【答案】D8. 对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβαβββ⋅=⋅o 。

若平面向量,a b 满足||||0a b ≥>,a 与b 的夹角(0,)4πθ∈,且a b o 和b a o 都在集合{|}2∈nn Z 中,则a b o = A .12 B. 1 C. 32 D. 52【解析】:因为||cos cos ||2θθ⋅==≥>⋅o a b a a b b b b ,||cos cos 1||θθ⋅==≤<⋅o b a b b a a a a 且a b o 和b a o 都在集合{|}2∈n n Z 中 所以,||1cos ||2θ==o b b a a ,||1||2cos θ=b a ,所以2||cos 2cos 2||θθ==<o a a b b所以22≤<o a b ,故有1=o a b 【答案】B二、填空题:本大题共7小题,考生答6小题,每小题5分,满分30分。

(一)必做题(9-13题)9. 不等式|2|||1x x +-≤的解集为_____。

【答案】1{|}2x x ≤10. 261()x x+的展开式中3x 的系数为______。

(用数字作答)【答案】2011. 已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =____。

【答案】21n a n =-12. 曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为 。

【答案】21y x =+13. 执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为 。

【答案】8(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14,(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)和2cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),则曲线1C 和2C 的交点坐标为_______。

【答案】(1,1)15.(几何证明选讲选做题)如图3,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足∠ABC =30°,过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则P A =_____________。

【答案】3三、解答题:本大题共6小题,满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16.(本小题满分12分) 已知函数()2cos()6f x x πω=+,(其中0ω>,x R ∈)的最小正周期为10π。

(1)求ω的值; (2)设,[0,]2παβ∈,56(5)35f απ+=-,516(5)617f βπ-=,求cos()αβ+的值。

【答案】(1)15ω=;(2)13cos()85αβ+=-17. (本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[40,50],[50,60],[60,70],[70,80],[80,90],[90,100]。

(1)求图中x 的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ得数学期望。

【答案】(1)0.024x =;(2)25E ξ=ξ12()P ξ2235 1235 13518.(本小题满分13分)如图5所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,点 E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE 。

(1) 证明:BD ⊥平面PAC ;(2) 若PH=1,AD=2,求二面角B-PC-A 的正切值;【答案】(1)略;(2)tan 3θ=19. (本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1221n n n S a +=-+,*n N ∈,且1a ,25a +,3a 成等差数列。

(1) 求1a 的值;(2) 求数列{}n a 的通项公式。

(3) 证明:对一切正整数n ,有123111132n a a a a ++++<L . 【解答】(1)11a =;(2)32n nn a =-;(3)当3n ≥时32(12)2n n n n n a =-=+-12211122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+-L 122111222n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅L 2222(1)n C n n >⋅=-又因为2522(21)a =>⨯⨯- 所以,2(1),2n a n n n >-≥ 所以,11111()2(1)21n a n n n n<=--- 所以,12311111111111131(1)1(1)2234122n a a a a n n n ++++<+-+-++-=+-<-L L20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3。

(1)求椭圆C 的方程;(2)在椭圆C 上,是否存在点(,)M m n 使得直线l :1mx ny +=与圆O :221x y +=相交于不同的两点,A B ,且OAB V 的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及相对应的OAB V 的面积;若不存在,请说明理由。

【解答】:(1)由2223c e c a a ===,所以222213b ac a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点,则22221x y a b +=,所以222222(1)3y x a a y b=-=-||PQ ===所以,当1y =-时,||PQ 3=,可得a =1,b c ==故椭圆C 的方程为:22132x y += (2)因为(,)M m n 在椭圆C 上,所以22132m n +=,22332m n =- 设11(,)A x y ,22(,)B x y由2211mx ny x y +=⎧⎨+=⎩,得2222()210m n x mx n +-+-= 所以,222222222144()(1)4(1)4(2)02m m n n n m n n n ∆=-+-=+-=->,可得24n < 并且:12222mx x m n+=+,212221n x x m n -=+ 所以,2212121212222111()1mx mx m x x m x x m y y n n n m n---++-=⋅==+所以,||AB ==== 设点O 到直线AB 的距离为h ,则h =所以1||2OAB S AB h =⋅=V 设221t m n =+,由204n <<,得22213(1,3)2m n n +=-∈,所以,1(,1)3t ∈OAB S ==V 1(,1)3t ∈所以,当12t =时,OAB S V 面积最大,最大为12。

此时,(0,M21.(本小题满分14分)设1a <,集合{|0}A x R x =∈>,2{|23(1)60}B x R x a x a =∈-++>,D A B =I 。

(1)求集合D (用区间表示)(2)求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点。

【解答】:(1)对于方程223(1)60x a x a -++= 判别式29(1)483(3)(31)a a a a ∆=+-=-- 因为1a <,所以30a -<① 当113a <<时,0∆<,此时B =∅,所以D =∅; ② 当13a =时,0∆=,此时{|1}B x x =≠,所以(0,1)(1,)D =+∞U ;当13a <时,0∆>,设方程223(1)60x a x a -++=的两根为12,x x 且12x x <,则1x =,2x =12{|}B x x x x x =<>或③ 当103a <<时,123(1)02x x a +=+>,1230x x a =>,所以120,0x x >> 此时,12(,)(,)D x x x =+∞U)=+∞U④ 当0a ≤时,1230x x a =≤,所以120,0x x ≤>此时,2(,))D x =+∞=+∞(2)2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--,1a <所以函数()f x 在区间[,1]a 上为减函数,在区间(,]a -∞和[1,)+∞上为增函数① 当113a <<时,因为D =∅,所以()f x 在D 内没有极值点; ② 当13a =时,(0,1)(1,)D =+∞U ,所以()f x 在D 内有极大值点13a =;③ 当103a <<时,)D =+∞U由103a <<,很容易得到1a <<<(可以用作差法,也可以用分析法) 所以,()f x 在D 内有极大值点a ; ④ 当0a ≤时,)D =+∞由0a ≤1>此时,()f x 在D 内没有极值点。

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