2007年高考数学山东卷（理科）详细解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。

1 若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是（A ）6π （B ） 4π （C ）3π （D ） 2π 【答案】:D 【分析】：把2π代入验证即得。

2 已知集合{}1,1M =-，1124,2x N xx Z +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂= （A ）{}1,1- （B ） {}1- （C ）{}0 （D ） {}1,0- 【答案】:B 【分析】：求{}1124,1,02x N xx Z +⎧⎫=<<∈=-⎨⎬⎩⎭。

3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（A ）(1),(2) （B ） (1),(3) （C ）(1),(4) （D ） (2),(4)【答案】:D 【分析】：从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案。

4 设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （A ）1,3 （B ） 1,1- （C ）1,3- （D ） 1,1,3-【答案】:A 【分析】：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。

5 函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++的最小正周期和最大值分别为（A ）,1π （B ） π （C ）2,1π （D ） 2π【答案】:A 【分析】：化成sin()y A x ωϕ=+的形式进行判断即cos 2y x =。

6 给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-。

下列函数中不满足其中任何一个等式的是（A ）()3xf x = （B ） ()sin f x x = （C ）2()log f x x = （D ） ()tan f x x = 【答案】:B 【分析】：依据指、对数函数的性质可以发现A ，C 满足其中的一个等式，而D 满足()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，B 不满足其中任何一个等式.7 命题“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”的否定是（A ）不存在x R ∈，3210x x -+≤ （B ）存在x R ∈，3210x x -+≤ （C ）存在x R ∈，3210x x -+> （D ）对任意的x R ∈，3210x x -+>【答案】:C 【分析】：注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定。

8 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。

右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。

设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为 （A ）0.9,35 （B ） 0.9,45 （C ）0.1,35 （D ） 0.1,45【答案】: A .【分析】：从频率分布直方图上可以看出0.9x =，35y =. 9 下列各小题中，p 是q 的充要条件的是（1）:2p m <-或6m >；2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点。

（2）():1;()f x p f x -= :()q y f x =是偶函数。

（3）:cos cos ;p αβ= :tan tan q αβ=。

（4）:;p A B A ⋂= :U U q C B C A ⊆。

（A ）(1),(2) （B ） (2),(3) （C ）(3),(4) （D ） (1),(4)【答案】: D.【分析】：（2）由()1()f x f x -=可得()()f x f x -=，但()y f x =的定义域不一定关于原点对称；（3）αβ=是tan tan αβ=的既不充分也不必要条件。

10 阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是 （A ）2500,2500 （B ） 2550,2550 （C ）2500,2550 （D ） 2550,2500【答案】:D.【试题分析】：依据框图可得1009896...22550S =++++=，999795...12500T =++++=。

11 在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅ （C ）2AB AC CD =⋅ （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=【答案】:C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =⋅⇔⋅-=⇔⋅=，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ⋅=⋅，通过等积变换判断为正确.12 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为 （A ）51()2（B ） 2551()2C （C ）3351()2C （D ） 235551()2C C【答案】:B.【分析】：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为223511()(1)22P C =-。

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。

13． 设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60︒，则OA 为________.【答案】:2p 【分析】：过A作AD x ⊥轴于D ，令FD m =，则2FA m =，2p m m +=，m p =。

.2OA p ∴==14．设D 是不等式组21023041x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩表示的平面区域,则D 中的点(,)P x y 到直线10x y +=距离的最大值是_______.【答案】:【分析】：画图确定可行域，从而确定(1,1)到直线直线10x y +=距离的最大为15．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.【答案】:. 22(2)(2)2x y -+-=【分析】：曲线化为22(6)(6)18x y -+-=，其圆心到直线20x y +-=的距离为d ==所求的最小圆的圆心在直线y x =上，其，圆心坐标为(2,2).标准方程为22(2)(2)2x y -+-=。

16．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,则12m n+的最小值为_______. 【答案】: 8。

【分析】：函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点(2,1)A --，(2)(1)10m n -⋅+-⋅+=，21m n +=，,0m n >，12124()(2)448.n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+= 三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17)（本小题满分12分）设数列{}n a 满足21*12333 (3),.3n n na a a a n N -+++=∈(I)求数列{}n a 的通项; (II)设,n nnb a =求数列{}n b 的前n 项和n S . 解：: (I)2112333 (3),3n n n a a a a -+++= 221231133...3(2),3n n n a a a a n ---+++=≥1113(2).333n n n n a n --=-=≥ 1(2).3n n a n =≥验证1n =时也满足上式，*1().3n n a n N =∈(II) 3nn b n =⋅，23132333...3n n S n =⋅+⋅+⋅+⋅231233333n n n S n +-=+++-⋅11332313n n n S n ++--=-⋅-， 111333244n n n n S ++=⋅-⋅+⋅ 18（本小题满分12分）设b c 和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数(重根按一个计). (I)求方程20x bx c ++= 有实根的概率; (II) 求ξ的分布列和数学期望;(III)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程20x bx c ++= 有实根的概率. 解：:（I ）基本事件总数为6636⨯=，若使方程有实根，则240b c ∆=-≥，即b ≥。

当1c =时，2,3,4,5,6b =； 当2c =时，3,4,5,6b =； 当3c =时，4,5,6b =； 当4c =时，4,5,6b =； 当5c =时，5,6b =； 当6c =时，5,6b =,目标事件个数为54332219,+++++= 因此方程20x bx c ++= 有实根的概率为19.36(II)由题意知，0,1,2ξ=，则23413 132333...3n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅17(0)36P ξ==，21(1),3618P ξ===17(2)36P ξ==， 故ξ的分布列为ξ0 1 2P1736 118 1736ξ的数学期望17117012 1.361836E ξ=⨯+⨯+⨯= (III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ，“方程20ax bx c ++= 有实根” 为事件N ，则11()36P M =，7()36P MN =， ()7()()11P MN P N M P M ==.19（本小题满分12分）如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,已知122DC DD AD AB ===,AD DC ⊥,AB DC .(I)设E 是DC 的中点,求证: 11D E A BD 平面; (II)求二面角11A BD C --的余弦值.C1A1BA解：:(I)连结BE ，则四边形DABE 为正方形，11BE AD A D ∴==，且11BE AD A D ， 11A D EB ∴四边形为平行四边形，11D E A B ∴.1111D E A BD A B A BD ⊄⊂平面，平面， 11.D E A BD ∴平面(II) 以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设1DA =，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2),(1,0,2).D A B C A1(1,0,2),(1,1,0).DA DB ∴==设(,,)n x y z =为平面1A BD 的一个法向量， 由1,n DA n DB ⊥⊥得20x y x y +=⎧⎨+=⎩，取1z =，则(2,2,1)n =--.设111(,,)m x y z =为平面1C BD 的一个法向量，由,m DC m DB ⊥⊥得11112200y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11z =,则(1,1,1)m =-.cos ,9m n m n m n⋅<>===⋅由于该二面角11A BD C --为锐角，所以所求的二面角11A BD C -- (20)（本小题满分12分）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105︒的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120︒方向的2B 处,此时两船相距,问乙船每小时航行多少海里?解：如图，连结12AB ，22A B =122060A A =⨯=，122A A B ∆是等边三角形，1121056045B A B ∠=︒-︒=︒，1A2A120 105 乙在121A B B ∆中，由余弦定理得2221211121112222cos 45202202002B B A B A B A B A B =+-⋅︒=+-⨯⨯=，12B B =因此乙船的速度的大小为6020=答：乙船每小时航行海里.(21)（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1. (I)求椭圆C 的标准方程;(II)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.解：(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b === 221.43x y ∴+= (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D1122(2,)(2,)0DA DB x y x y ∴=--=，1212122()40y y x x x x ∴+-++=，2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7(22)（本小题满分14分）设函数2()ln(1)f x x b x =++,其中0b ≠. (I)当12b >时,判断函数()f x 在定义域上的单调性; (II)求函数()f x 的极值点;(III)证明对任意的正整数n ,不等式23111ln(1)n n n+>-都成立. 解：(I) 函数2()ln(1)f x x b x =++的定义域为()1,-+∞.222'()211b x x bf x x x x ++=+=++，令2()22g x x x b =++，则()g x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递减，min 11()()22g x g b =-=-+.当12b >时，min 1()02g x b =-+>，2()220g x x x b =++>在()1,-+∞上恒成立.'()0,f x ∴>即当12b >时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递增。