2012考研数学易混淆概念分析之高等数学（三）
万学海文
考研数学当中的高等数学有很多容易混淆的概念知识点，万学海文数学考研辅导专家们根据多年的辅导经验，在此将为2012年的广大考生们罗列出这些容易混淆知识点以供大家参考复习。

下面，我们讲解的是利用洛必达法则求极限的相关问题。

1、导函数之比的极限值不存在时，不能使用洛必达法则． 例1、求极限2cos lim
3sin x x x x x →∞
+-
解：原式2sin ()lim 3cos x x x
→∞∞- ∞
-，由于该极限不存在，所以原极限2cos lim
3sin x x x x x
→∞
+-不
存在．
此题显然不对，我们可以得到该题目的极限为
23
．为什么会这样呢？难道洛
必达法则出问题了？显然不是，洛必达法则只能说出导数之比的极限值存在或无穷大时，原极限的情况，而极限不存在时，原函数的极限可能存在也可能不存在．
2、求数列极限时不能直接利用洛必达法则．
例2、求极限1
lim (1)n n n e →∞
-
解：利用洛必达法则求解
1
1
1
2
2
1
1
l i m (1)
l i m l i m
1
1
n
n
n n n n e e n n e n
n
→∞
→∞→∞
-
--
==-1
l i m 1n n e →∞==．
此题的结果是正确的，但是计算过程是错误的．因为数列中变量n 是自然数，
它是一系列离散的点，不是连续变量，所以没有导数，不能直接利用洛必达法则求极限．但对于特殊的数列极限00和
∞
∞
型，可以间接的使用洛必达法则求极限．
正确的求解方法是，先求出lim ()x f x →+∞
的极限，根据函数极限的性质可得相应
的数列极限．
正确的解法：因为，1
1
11
2
2
1(1)lim (1)lim
lim
lim 1
11x
x
x x x x x x e e x x e e x
x
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
-
--====-
所以，数列1
lim (1)n n n e →∞
-=1
例3、求数列极限n
n n n
)
111(lim 2
++
∞
→
解：先求函数极限x
x x
x
)
111(lim 2
+
+
+∞
→取对数后的极限为：
22
2
2
2
2
2
21
211ln(1)ln 21lim ln(1)lim
lim lim
1,
11
1
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
→+∞
→+∞
→+∞→+∞
+-
++-++++
+
====++-所以，.)
111(lim )
111(lim 2
2
e x
x
n
n
x
x n
n =++
=+
+
+∞
→∞
→
3、求解含有抽象函数的极限，使用洛必达法则时一定要注意题设条件． 例
4、设()f x 在点x 处具有二阶导数，求极限
2
()2()()
lim
h f x h f x f x h h
→+-+-．
错误解答：
(1) 用洛必达法则 2
()2()()
'()2'()'()
lim
lim
2h h f x h f x f x h f x h f x f x h h
h
→→+-+-+-+-=
01
'()'()'()'(
)1
l i m [][''()''(
)]
22
h f x h f x f
x f x h f x f x
h
h
→+--+-=+
=-=
（2）利用洛必达法则
2
()2()()
'()'()
lim
lim
2''()''()
lim
''()
2
h h h f x h f x f x h f x h f x h h h
f x h f x h f x →→→+-+-+--=++-==
上述两种做法都是错误的．（1）式的错误在于，利用洛必达法则求极限时，自变量是h ，故分子分母均应是分别对变量h 求导数，这时，2()f x -的导数是0，而（1）式中却想当然的把导数错误的求为2'()f x -，所以结果是错的．
（2）式的错误在于，第二次使用洛必达法则时，没有考虑题设条件：()f x 在点x 处具有二阶导数．只是可导，我们并不知道在x 的一个邻域内是否二阶可导，所以不满足洛必达法则的条件．同样第三步计算也是错误的，因为题设并没有告诉我们二阶导数在x 处连续，故0
''()''()
''()''()
lim
2
2
h f x h f x h f x f x →++-+=
是没有根
据的．所以，万学海文提醒考生们一定要小心使用洛必达法则求极限．
正确解答：2
()2()()'()'()
lim
lim
2h h f x h f x f x h f x h f x h h
h
→→+-+-+--=
1'()'()
'()'()
[lim
lim
]''()2
h h f x h f x f x h f x f x h
h
→→+---=+=-
先是利用洛必达法则，再利用导数定义求解．
当然也有其它的方法求解：
2
2
()()()()()2!f x f x h f x f x h h o h '''+=+++,
2
2
()()()()()2!
f x f x h f x f x h h o h '''-=-+
+．所以
2
()2()()
lim
h f x h f x f x h h
→+-+-22
2
()()
lim
()h f x h o h f x h
→''+''==
例5、设
()()
,00,0g x x f x x
x ⎧ ≠⎪
=⎨⎪ =⎩，且已知0)0()0(='=g g ，3)0(=''g ，试求).0(f '
解 因为,)
(0)
0()(2
x x g x f x f =
--所以由洛必达法则得
2
()()(0)lim
lim
2x x g x g x f x
x
→→''==01
()(0)13
l i m (0).2022
x g x g g x →''-''===- 问题两则：
(1)上例解法中，已知条件0)0(=g 用在何处? (2)如果用两次洛必达法则，得到
==' )0(f x
x g x 2)(lim
'→.2
3)0(2
12
)(lim
=
''=
''=→g x g x 错在何处?
小结 万学海文在此为2012年考生们列出用洛必达法则应注意的事项:
①运用洛必达法则时,一定要注意条件.当∞→x 时,极限中含有x x cos ,sin ； 或当0→x 时,极限式中含有x
x 1cos
,1sin
时,不能用法则.
②只要满足洛必达法则的条件,洛必达法则可一直用下去； ③每用完一次法则，要将式子整理化简；
④为简化运算经常将法则与等价无穷小结合使用；
⑤用变量代换使求导运算简单，从而使洛必达法则更有效.。