2.9 如图示一铅直矩形平板AB 如图2所示，板宽为1.5米，板高h =2.0米，板顶水深h 1=1米，求板所受的总压力的大小及力的作用点。

解法一：将坐标原点放在水面与直板延长线的交点，水平向右为O-x 轴，竖直向下为O-y 轴，建立直角坐标系O-xy ，在y 方向上h 处取宽度为d h 的矩形，作用力d F 为h h A h F d 5.1d d γγ==在y 方向上积分得总压力F 为N 1088.5])[(25.1d 5.1d 4212111⨯=-+===⎰⎰++h h h h h F F h h h h h h γγ总压力的作用点为121.5d d 2.167m h h hD h h h Fy FFγ+===⎰⎰解法二（直接运用公式）： （1） 总压力F 为：3412()9.810(1) 1.52 5.881022c c h F p A h A h bh N N γγ===+=⨯⨯+⨯⨯=⨯（2）总压力的作用点为311112() 2.167m 2()2c D c c bh J h y y h h y A h bh =+=++=+2.10 如图示为一侧有水的倾斜安装的均质矩形闸门，其宽度b =2m ，倾斜角α=60，铰链中心O 位于水面以上C =1m ，水深h =3m ，求闸门开启时所需铅直向上的提升力T ，设闸门重力G =0.196×105N 。

（要注意理解力矩平衡原理和合力矩定理）力矩平衡原理：如果把把物体向逆时针方向转动的力矩规定为正力矩，使物体向顺时针方向转动的力矩规定为负力矩，则有固定转动轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零。

合力矩定理：平面力系的合力对平面上任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的代数和。

解法一：建立坐标系O-xy ，原点在O 点，Ox 垂直于闸门斜向下，Oy 沿闸门斜向下，如下图（1），浸在水中的闸门上的作用力 （不计大气压力）为C 2sin 60h bhF h A γγ==⨯设压力中心为D 到ox 轴的距离为D y ，则有（1） （2）30C D C C ()212sin 60sin sin 602sin 60sin 603sin 60()2sin 60sin 60b h h J C h C h y y h bh y A α=++=++=+当闸门转动时，F 与G 产生的合力矩与提升力T 产生的力矩相等，则有2()2()tan 602sin 60sin 603sin 602tan 60T C h bh C h h CG γ++=++则T 大小为22552/3981023123/30.19610 1.6310N sin 22sin120132bh C h G T C h γα+⨯⨯+⨯⨯=⨯+=⨯+=⨯++解法二：建立坐标系O-xy ，原点在液面与闸门的交点，Ox 垂直于闸门斜向下，Oy 沿闸门斜向下，如上图（2），浸在水中的闸门上的作用力 （不计大气压力）为C 2sin 60h bhF h A γγ==⨯设压力中心为D 到ox 轴的距离为D y ，则有3C D C C ()212sin 602sin 603sin 60()2sin 60sin 60b h J h h y y h bh y A =+=+=当闸门转动时，F 与G 产生的合力矩与提升力T 产生的力矩相等，则有2()()tan 602sin 60sin 602tan 60D T C h bh C h Cy G γ++=++则T 大小为22552/3981023123/30.19610 1.6310Nsin 22sin120132bh C h G T C h γα+⨯⨯+⨯⨯=⨯+=⨯+=⨯++2.12 在水深2m 的水池下部有一个宽为1m ，高为H =1m 的正方形闸门OA ，其转轴在O 点处，试问在A 点处需加多大的水平推力F ，才能封闭闸门？ 解法一：将y 轴取在闸门上，竖直向下，原点为水面与闸门延长线的交汇点 液面下深度h=y 处微面积d A 上的微液作用d F 为dF hdA hbdh γγ==闸门上的总作用力为 223d d 2HHHHF F hb h γγ===⎰⎰设压力中心为D 到原点的距离为D y ，则有22211D d d 1.56m 3/2h F h hy Fγγ===⎰⎰由'(2)D F H H y F =-得 (2)0.44'6474.6N1D H y F F F H -=== 解法二：将y 轴取在闸门上，竖直向下，原点为水面与闸门延长线的交汇点 设闸门上的总作用力为F ：31()(1)11222c H F h A H bH γγγγ==+=+⨯⨯⨯=设压力中心为D 到原点的距离为D y ，3112() 1.56m 2()2c D c c bH JH y y H H y AH bH =+=++=+由'(2)D F H H y F =-得 (2)0.44'6474.6N1D H y F F F H -=== 2.13 如图示，a 和b 是同样的圆柱形闸门，半径R =2m ，水深h =R =2m ，不同的是图（a ）中水在左侧，而图（b ）中水在右侧，求作用在闸门AB 上的静水总压力P 的大小和方向？（闸门长度（垂直于纸面）按1m 计算）。

（a ） （b ）解：在图a 和图b 中总压力P 的大小是相同的，仅作用方向相反而已。

由于AB 是个圆弧面，所以面上各点的静水压强都沿半径方向通过圆心点，因而总压力P 也必通过圆心。

（1）先求总压力P 的水平分力。

铅垂投影面的面积 2122x A bh m ==⨯= 投影面形心点淹没深度 /21c h h m == 则 10009.81219600x c x P gh A N ρ==⨯⨯⨯=x P 的作用线位于23h 深度。

在图a 和图b 中x P 的数值相同，但方向是相反的。

（2）求总压力的垂直分力。

在图（a ）中压力体是实际水体的体积，即实压力体，但在图（b ）中则应该是虚拟的水体的体积，即虚压力体，它们的形状、体积是一样的。

则22z R 3.142P V (1)10009.8130800N 44g g πρρ⨯==⨯=⨯⨯⨯=z P 的作用线通过水体OAB 的重心，对于我们所研究的均匀液体，也即是通过压力体体积 OAB 的形心。

在图（a ）中的方向向下，而在图（b ）中的方向向上。

（3）求总压力及作用力的方向P 36450N ===30800()()57.519600z x P arctg arctg P α===° 即总压力的作用线与水平线的夹角 57.5α=°2.14 如图示，为一储水设备，在C 点测得相对压强为p =19600N/m2，h =2m ，R =1m ，求半球曲面AB 的垂直分力。

解法一：由题意得2AB AB hp p p S F Gγ=-⋅=+，解得32()10257.33N 23AB h R F p S G p S πγγ=⋅-=--=解法二：C 点到测压管水面的距离19600210009.8a p p H m m g ρ-===⨯ 半球曲面AB 的垂直分力：232[()]10257.3323z z h F F V R H R N γγππ===--=2.16 挡水弧形闸门如图示，闸前水深H =18m,半径R =8.5m ，圆心角θ=450，门宽b =5m 。

求作用在弧形门上总压力的大小和方向。

解：（1）水平分力投影面如下图，025sin 4530X A bh R m ==⨯≈sin 8.5..()10009.8(1830441024x c X c X X R F h A gh A g H A KN θγρρ===-=⨯⨯-⨯≈ 方向向右。

（2）铅直分力压力体（虚压力体）如图abcde ，.z abcde V A b =abcde abce cde A A A =+cde A =扇形面积ode －三角形面积ocd02002451.sin 45.cos 4510.293602cdeA R R R m π=-≈002(sin 45)(cos 45)(188.5)(8.58.53022abce A H R R R m =-⨯-=-⨯⨯-⨯≈ 210.293040.29abcde A m =+=10009.840.2951794.21Z z abcde F gV gA b KN ρρ==⋅=⨯⨯⨯= 方向向上。

（3）总压力4761F KN ==（4）作用力的方向合力指向曲面，其作用线与水平方向的夹角01794.21tan()tan()22.144410Z X F arc arc F α===，标注如下图所示。

2.17 盛有水的开口圆桶形容器，以角速度ω绕垂直轴O 作等速旋转。

当露出桶底时，ω应为若干？（如图示中符号说明：坐标原点设在筒底中心处。

圆筒未转动时，筒内水面高度为h 。

当容器绕轴旋转时，其中心处液面降至H o ，贴壁液面上升至H 高度。

容器直径为D 。

）（旋转体体积等于同底同高圆柱体体积一半） 解：当露出桶底时，在O —xyz 坐标系中，抛物面方程为222r Z gω=当r R =时，Z H =ω=由回转抛物体的体积恰好是高度为h 的圆柱体体积之半， 即：22222R R H h ππ=⨯2H h =，2D R =ω⇒= 3.1 已知流体的速度分布为y u -=1x ；t u =y ，求t =1时过（0,0）点的流线及t =0时位于（0,0）点的质点轨迹。

解：（1）将y u -=1x ，t u =y 带入流线微分方程yx d d u y u x =得 tyy x d 1d =- t 被看成常数，则积分上式得c y y xt +-=22t =1时过（0,0）点的流线为022=+-y y x （2）将y u -=1x ，t u =y 带入迹线微分方程t u y u x d d d yx ==得 t tyy x d d 1d ==- 解这个微分方程得迹的参数方程：1)1(c t y x +-=，222c t y +=将0t =时刻，点（0,0）代入可得积分常数：01=c ，02=c 。

带入上式并消去t 可得迹线方程为：y y x 2)1(-=4.1 重度γoil =8.82kN/m 3的重油，沿直径d =150mm 输油管路流动，现测得其重量流量Q G =490kN/h ，问它的体积流量Q V 及平均流速v 各为若干？解：体积流量33490kN/h 55.56m /h 8.82kN/mGv Q Q γ===, 平均流速22155.5610.873m/s 36000.15/436004v Q v d ππ=⋅=⋅= 4.3 水银压差计连接在水平放置的文丘里流量计上，如图。