n 1

xn
．
5、 （15 分）设在区间 a, b 上， f x 连续， g x 可积，并且 f x 0, g x 0 ．证明
lim
n

b
a
f
n
x g x dx

1n
max f x ．
a x b
6、 （15 分）设在区间 0, a 上， f x 二次可导，且 f x 1, f x 1 ，则当 x 0, a 时， f x
中国科学院 2012 数学分析考研试题参考解答
引言
本文是中国科学院大学 2012 年硕士研究生入学考试《数学分析》试题的参考解答．试 题来自文献[1]．第二题由对称性计算定积分和二重积分．第五题证明连续函数的本性最大 模（范数）的积分定义式．第七题用介值定理和单调性处理代数方程求根问题．第八题计算 第一型曲面积分，附注中提供了另外的解题思路．
1 0
2 5
3、解：记幂级数
a x
n 1 n

n
，则 1 an 0 n ，放缩得
1 n 1 n 1 n n 1 n ， k 1 k 1
由 Cauchy-Hadamard 公式，得收敛半径
R
1 lim 1 ， x lim n an k 1 k 1
（2）等价无穷小量代换
1 x4 1 x4 1 lim cos exp lim ln cos exp lim cos 2 1 2 2 x x x x 2 x 2 x x4 1 1 1 exp lim 4 exp 4 x 2 e 2 x 4
试题
1、 （30 分，每小题 15 分）计算极限： （1） lim n 2sin n
3

1 2 sin ； n n
x4
1 （2） lim cos 2 ． x x
2、 （30 分，每小题 15 分）计算积分： （1） I （2） J
n x
1 n
由 1 an 0 n ，用 Leibniz 判别法， 由 an
a x
n 1 n

n
在 x 1 收敛，
1 1 n ，而 发散，用比较判别法， an x 在 x 1 发散． n n n 1 n 1


2 0
x 1 yf x
S
dx ； 1 tan 3 x
2
y 2 dxdy ，
3

其中 S 为由曲线 y x , y 1, x 1 所围成的区域， f x 为实值连续函数． 3、 （15 分）求下列幂级数的收敛域：

1 1 1 n 2 x 4、 （15 分）证明：函数列 sn x n 1 在区间 , 上一致收敛；函数列 1 n2 x2 nx tn x n 1 在区间 0,1 上不一致收敛． 1 n2 x2
2 a ． a 2
7、 （15 分） 设 n 是一个正整数． 证明： 方程 x nx 1 0 有唯一的正实根 xn ， 并且当 1
n
时，级数
x 收敛．
n 1 n

8、 （15 分）设 x, y, z 是原点 O 到椭球面
x2 y2 z 2 1 的上半部分（即满足 z 0 的 2 2
2、解： （1）对 ，对称换元得
x4
I

2 0
dx dx dx 4 2 0 1 tan x 1 tan x 4 1 tan x 1 1 dx dx 4 4 0 1 tan x 0 1 tan 2 x 1 tan x 1 cot
（方法 2）等价无穷小量代换
1 2 1 1 1 1 lim n3 2sin sin lim 2n3 1 cos sin lim 2n3 2 1 ． n n n n n n n 2n n
1 x3 y 1

xyf x 2 y 2 dxdy
dx 3 xdy
1 1 x 1
1
1
1 1 1 xyf x 2 y 2 dxdy dx 3 xdy x 1 2 1,11,1 1 1
x 1 x3 dx x 4 dx 2 x 4 dx
部分） 的任一点 x, y , z 处的切面的距离，求积分
x, y, z dS ．

z
解答
1、解： （1） （方法 1）无穷小量展开
1 1 1 2 1 2 4 1 n3 2sin sin n3 2 3 o 3 3 o 3 n n n n 3n n n 6n 1 1 n3 3 o 3 1 o 1 1 n n n
4
0



dx x
4 dx
0


4
特别地，令 3 得 I

（2）注意二元函数 xyf x y
2

4
．பைடு நூலகம்
2
关于原点中心对称，化为累次积分得
J x 1 yf x 2 y 2 dxdy
S


1 x3 y 1

xdxdy