Ramsey理论的哲理意义
完全的无序是不可能的(Complete disorder is impossible)。 任一足够大的结构中必定包含一个给定大小的规则子结构。 无序无意的行为产生了有规律的后果，发人深思耐人寻味。 古人在满天的星斗中发现野兽和众神群集于天空的图形，以 为是造物主的杰作。但根据Ramsey 定理，只要随机分布的 星星数目足够多，就可以描绘出各种图形的轮廓。 1994年Statistical Science的一篇论文利用统计方法证明： 圣经隐藏了许多讯息，而这些讯息是有意安排的，绝非文字 排列偶然造成的。 1997 年Michael Drosnin的《The Bible Code 》通过计算机扫读圣经中的304805个字母，发现圣经 密码当中传达的讯息除了拉宾被刺杀外，还包括美国肯尼迪 和林肯两位总统，以及印度总理甘地遇刺的事件，日本神户、 美国旧金山的大地震、世界末日与广岛原子弹轰炸等，种种 过去与未来发生的大事件。
中国的组合数学
河图洛书九宫图
易曰：河出图，洛出书，圣人则之。河图洛书是最早的幻方。 “二、九、四；七、五、三；六、一、八” ----《大戴礼记明堂》 《黄帝内经灵枢》的《九宫八风》篇。 “九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央 ” ----(汉)徐岳撰 (北周)甄鸾注 杨辉《续古摘奇算法》(1275)进一步给出了四阶幻方构造方法。此外， 他还构造出了五阶、六阶、七阶、八阶、九阶和十阶幻方(百子图 )。
离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互 离散数学 是研究离散量的结构及其相互 关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域， 关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域， 特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用， 计算机科学与技术领域有着广泛的应用 特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也 计算机专业的许多专业课程 的许多专业课程， 程序设计语言、数据结构、 是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操 作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、 作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论 计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习， 计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习， 不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法， 离散结构的描述工具和方法 不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学 习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力， 习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为 将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。 将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。 随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续 随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续 微积分 数学占主流的地位已经发生了变化， 数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人 们认识。离散数学课程所传授的思想和方法， 们认识。离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算 机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理， 机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理 论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件， 论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件， 从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。 从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
组合数学的分支
组合分析 代数组合 极值集论 图 论 组合设计 组合优化 组合算法
组合数学的应用
应用促进理论发展
36个军官问题这个纯粹来自智力游戏的题目孕育着 艰深的数学问题 。Euler猜想直到二十世纪中叶才 获得解决，有两个原因：一是理论上的准备。这类 问题用初等方法很难解决，二十世纪代数和几何的 发展为解决问题提供了必要工具（如Galois域上的 射影几何即有限几何等）；二是生产实际的推动。 数理统计学家Fisher将正交拉丁方用于试验设计， 例如，用二种原料合成某染料，每种原料有3个水 平，怎样安排试验能使每种原料的各种水平各碰一 次？这正好是3阶的正交拉丁方阵问题。 Fisher的 试验设计是一股巨大的推动力量，把一种数学游戏 变成了节约人力物力的具有重大价值的科学方法。
拉丁方阵与正交拉丁方阵 拉丁方阵与正交拉丁方阵
每名军官对应一个有序对（军团，军衔） 以9名军官为例：
军团阵列 军衔阵列 并置阵列
（正交拉丁方阵） 正交拉丁方阵） （拉丁方阵） （拉丁方阵） 拉丁方阵） 拉丁方阵）
1 2 3 1 2 3 (1,1) (2,2) (3,3) 3 1 2 + 2 3 1 (3,2) (1,3) (2,1) 2 3 1 3 1 2 ຫໍສະໝຸດ (2,3) (3,1) (1,2)
源出于游戏受惠于数学落脚于应用
“Kirkman女生问题”引出组合数学的一个重要分 支—组合设计。对这些数学游戏，一旦当人们认识 到它们在数学和其他科学上的深刻含义后，便又促 使人们对它进行更深入的研究，从而丰富了数学学 科的内容和知识。该问题就是最典型的组合设计问 题。其本质就是如何将一个集合中的元素组合成一 定的子集系以满足一定的要求。表面上看来， Kirkman女生问题是纯粹的数学游戏，然而它的解 却在医药试验设计上有很广泛的运用。德国组合数 学家利用组合设计的方法研究药物结构，为制药公 司节省了大量的费用。在美国也有专门的公司用组 合设计的方法开发软件，来解决工业界中的试验设 计问题。
〈胃痛〉（The Stomachion） 胃痛〉 ）
左上图为一份用希腊文写在羊皮纸上的 Archimedes手稿“Stomachion”的副本, 它考虑的是现在名为“tiling”的组合问题
Stomachion
〈胃痛〉（The Stomachion） 胃痛〉 ） 阿基米德以惡作劇、謎題及走捷徑而聞名。從《阿基米德寶 典》裡，已發掘出一個會讓人玩到胃痛的14巧板遊戲，如右 圖。 我們可以拿這14片，拼成各種圖案，譬如大象、鳥、 魚等等，但是這並不稀奇！真正稀奇的是，把這14片「拼成 同樣大小的一個正方形」。
Ramsey定理
Ramsey(1903-1930)：给定任意 正整数p和q，总存在一个最小正 整数R(p,q)，使得R(p,q)个人中 或者有 p 个人互相认识，或者有 q 个人互不相识。 R(p,q) 称为Ramsey数。 只要人数足够多，则互相认识的 人会越来越多，或互不相识的人 会越来越多。
组合数学漫谈
要点
组合数学的问题 组合数学的内容 组合数学的应用 中国的组合数学
组合数学的问题
组合数学概述
组合数学（Combinatorial Mathematics) 也称组合学(Combinatorics) 或离散数学(Discrete Mathematics) 现代数学根据所研究的对象可分为两类： 连续数学：以微积分为基础，传统主流 离散数学：伴随计算机科学，方兴未艾 1666年Leibniz著《Dissertatio de arte combinatoria》,首次使用了组合一词。
Ramsey数的计算
Ramsey数的计算是对人类智力 的挑战！例如R(4,5)=25 (1993年计算机11年的计算量) Erds用如下比喻说明其困难程 度：一伙外星人入侵地球，要 求一年内求得R(5,5)，否则将 灭绝人类！那么也许人类能集 中所有计算机和专家来求出它 以自保；但如果外星人问的是 R(6,6) ，那么人类将别无选择， 只能拼死一战了。
Kirkman女生问题
Kirkman （1806～1895） 1850年：有15个女生，她们 每天要做三人行的散步，要 使每个女生在一周内的每天 做三人行散步时，与其她同 学在组成三人小组同行时， 彼此只有一次相遇在同一小 组，应怎样安排？ 组合设计的起源
Kirkman女生问题的一个解
Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat ABC ADH AEM AFI AGL AJN AKO DEF BEK BHN BLO BDJ BIM BFG GHI CIO CGK CHJ CFM CEL CDN JKL FLN DIL DKM EHO DOG EIJ MNO GJM FJO EGN IKN FHK HLM
最精美的组合定理
Rota：如果要求在 组合学中仅举出 一个精美的定理， 那么大多数组合 学家会提名 Ramsey定理。
1984年Wolf奖得主Erds 1997年Fulkerson奖得主Kim 1998年Fields奖得主Gowers 1999年Wolf奖得主Lovasz 2003年Steele奖得主Graham 2005年Gdel奖得主Alon 2006年Fields奖得主Tao 均对Ramsey理论有杰出贡献
Euler猜想
Euler(1779)：不存在4t+2阶正交拉丁方？ Tarry(1900)：不存在6阶正交拉丁方！ 存在10阶正交拉丁方！ Bose, Shrikhande和Parker(1960)： 当t>2时，存在4t+2阶正交拉丁方！ 首次数学上了The New York Times的头版！
阿基米德(287? -212 B.C.)在计算把14条不规则的 纸带拼成正方形有多少种不同的拼法.
Bill Cutler （2003）：答案是17152=536x32
Knigsberg七桥问题 七桥问题
Pregel河横穿Knigsberg城，河上建有七座桥 ，能 否设计散步路线，走过所有七座桥，每座桥恰好经 过一次而回到同一地点？
组合数学的内容
组合数学的研究内容
组合数学研究的中心问题是按照一定的规划来安排 一些与物件有关的问题。 1.存在问题——当符合要求的安排并非显然存在或不 存在时，首要的问题是证明或否定它的存在. 2.计算问题或分类问题——当符合要求的安排显然存 在，或者已证明它存在时，求出这类安排的各抒己 见，或者把它分类. 3.构造问题（组合设计）——把满足某种条件的安排 构造出来. 4.优化问题——给出最优标准，找出满足给定条件的 最优安排.