组合数学第一章 排列和组合1.1 计数的基本原则相等原则：设A 、B 是两个有限集，如果存在由A 到B 上一个一一对应映射（即双射），则 |A|=|B|.加法原则：设A 是有限集，),,...2,1(k i A A i=⊂如果 ki i A A 1== 且 =j i A A φ（1≤i ＜j ≤k ），则 ∑==ki iAA 1.★ 定理1.1 已知做一件事要经过两个步骤，完成第一个步骤的方法有m 种，完成第一个步骤之后，完成第二个步骤的方法有n 种，则做这件事情的方法共有mn 种.★ 定理1.2（乘法原则）：已知做一件事情要依次经过k 个步骤，且在已完成前面i-1（1≤i ≤k ）个步骤的情况下，完成第i 个步骤有i n 种方法，则做这件事情的方法共有∏==∙⋅⋅⋅∙∙ki i k n n n n 121 种.1.2 排列 n 元集的r-排列☻ 定义1.1 设A 是n 元集，如果序列r a a a ⋅⋅⋅21中的r 个元 ra a a ,,,21⋅⋅⋅都属于A 且彼此互异，则称序列r a a a ⋅⋅⋅21是n 元集A 的一个r-排列，并称k a （1≤k ≤r ）是该r-排列的第k 个元，或称k a 在该r-排列中排在第k 位.☻ 定义1.2 n 元集A={n a a a ,,,21⋅⋅⋅}的n-排列称为n 元集A 的一个全排列，亦称为由n a a a ,,,21⋅⋅⋅作成的一个全排列.定理1.3 设n ，r （n ≥r ）是正整数，以P(n,r)表示n 元集的r-排列的个数，则)!(!)1()1(),(r n n r n n n r n P -=+-⋅⋅⋅-=推论1.1 n 元集的全排列的个数为n ！n 元集的r-可重复排列☻ 定义1.3 设A 为n 元集，如果序列r a a a ⋅⋅⋅21的元素都属于A ，则称序列r a a a ⋅⋅⋅21是n 元集A 的一个r-可重复排列.★ 定理1.4 n 元集的r-可重复排列的个数为r n .多重集的排列☻ 定义1.4 由k k a n a n a n 个个个,,,2211⋅⋅⋅组成的集合M 记为},,,{2211k k a n a n a n M ∙⋅⋅⋅∙∙=，M 称为多重集，也称M 是一个n-多重集，其中k n n n n +⋅⋅⋅++=21.☻ 定义1.5 设},,,{2211k k a n a n a n M ∙⋅⋅⋅∙∙=，π是集合},,,{21k a a a A ⋅⋅⋅=的一个n-可重复排列且π中有k k a n a n a n 个个个,,,2211⋅⋅⋅，则称π是多重集M 的一个全排列，此时也称π是由k k a n a n a n 个个个,,,2211⋅⋅⋅作成的全排列。

★ 定理1.5 多重集},,,{2211k k a n a n a n M ∙⋅⋅⋅∙∙=的全排列的个数为!!!)!(2121k k n n n n n n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++☻ 定义1.6 设},,,{2211k k a n a n a n M ∙⋅⋅⋅∙∙=和},,,{2211k k a s a s a s A ∙⋅⋅⋅∙∙=都是多重集，且i i n s ≤≤0（1≤i ≤k ），则称M A 是的一个子集，如果r s s s k =+⋅⋅⋅++21，则称M A 是的一个r-子集.☻ 定义1.7 设},,,{2211k k a n a n a n M ∙⋅⋅⋅∙∙=是多重集，π是M 的某个r-子集的全排列，则称π是M 的一个r-排列.1.3 T 路的计数☻ 定义1.8 由p ×q 个单位正方形拼成的长为p ，宽为q 的长方形叫做一个p ×q 棋盘.★ 定理1.6 沿p ×q 棋盘上的线段，由顶点A 到顶点B 的最短路的条数为q!p!q)!p (+.☻ 定义1.9 在Oxy 坐标平面上，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点.由任一个整点（x ，y ）到整点（x+1，y+1）或（x+1，y-1）的有向线段叫做一个T 步.☻ 定义1.10 由整点A 到整点B 的一条T 路是指由若干个T 步组成的起点为A 、终点为B 的有向折线.★ 定理1.7 如果存在由整点),(αa A 到整点),(βb B 的T 路，则： ① b ＞ a.② b - a ≥ │β-α│.③ a + α与 b + β的奇偶性相同. 上述三给条件合称为T 条件.★ 定理1.8 设整点),(αa A 与整点),(βb B 满足T 条件，则由A 到B 的T 路的条数为)!22()!22()!(αβαβ----+--a b a b a b .★ 定理1.9（反射定理） 设整点),(αa A 与整点),(βb B 满足T 条件，且,,0,0βαβα+≥->>a b 则由A 到B 且经过x 轴（即与x 轴有交点）的T 路的条数等于由),('α-a A 到B 的T 路的条数，为)!22()!22()!(αβαβ+--++--a b a b a b★ 定理1.10 设整点),(αa A 与整点),(βb B 满足T 条件，且,,0,0βαβα+≥->>a b 则由A 到B 且不经过x 轴的T 路的条数为)!22()!22()!()!22()!22()!(αβαβαβαβ+--++-------+--a b a b a b a b a b a b★ 定理1.11 （1）由点O （0,0）到点V （2n ，0），中途不经过x 轴且位于上半平面的T 路的条数为)!1(!)!22(--n n n .（2）由点O （0,0）到点V （2n ，0）且位于上半平面的T 路的条数为!)!1()!2(n n n +.令n n C n n n n C ),,3,2,1()!1(!)!22(⋅⋅⋅=--=叫做Catalan （卡塔兰）数★ 定理1.12 以n S 2表示满足条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅=<+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++）（或n j x n j j x x x nx x x j jn 2,,2,110)12,,2,1(2121221的解),,,(221n x x x ⋅⋅⋅的集合，则 )!1(!)!22(2--==n n n C S n n .★ 定理1.13 以n 2T 表示满足条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅=≤+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++）（或n j x n j j x x x nx x x j jn 2,,2,110)12,,2,1(2121221 的解),,,(221n x x x ⋅⋅⋅的集合，则 !)!1()!2(12n n n C T n n +==+.1.4 组合 n 元集的r-组合☻ 定义1.11 集合A 的含有r 个元素的子集称为A 的一个r-组合.设},,,{21n a a a A ⋅⋅⋅=是n 元集，则A 的任一个r-组合可表成},,,{21r i i i a a a ⋅⋅⋅， 其中r i i i ,,,21⋅⋅⋅均是整数，且 n i i i r ≤<⋅⋅⋅<<≤211.以 rn C 或 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛r n 表示n 元集的r-组合的个数，简称为组合数.★ 定理1.14 设n 是正整数，r 是非负整数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤->=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.0,)!(!,0时当！时；当n r r n r n n r r nn 元集的r-可重复组合☻ 定义1.12 从集合A 中可重复地选取r 个元作成的多重集，称为集合A 的一个r-可重复组合.★ 定理1.15 n 元集的r-可重复组合的个数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+r r n 1.推论1.2 不定方程 r x x x n =+⋅⋅⋅++21 的非负整数解的个数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+r r n 1.推论1.3 不定方程 ()n r rx x x n ≥=+⋅⋅⋅++21 的正整数解的个数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n r r 1. 应用公式 ()0)!(!!≥≥-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n k n k n k n ，容易证明下面两个定理 ★ 定理1.16 （1） ()0≥≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛k n k n n k n （2） ()1111≥>⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n k n k n k n（3） ()111≥≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n k n k n k n （4） ()111≥≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n k n k k n k n （5） ()01≥>⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n k n k n n k n ★ 定理1.17 ()k m n k m k n k n k m m n ≥≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛多项式定理★ 定理1.18（多项式定理）设n 是正整数，k x x x ,,,21⋅⋅⋅是任意k 个实变数，则∑⋅⋅⋅==⋅+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++是非负整数),,2,1(2121212121!!!!)(k i n nn n n n kn n k nk i k k x x x n n n n x x x .推论1.4 （二项式定理） 设n 是正整数，x 和y 是任意实数，则kn k nk ny x k n y x -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)(.推论1.5 设n 是正整数，x 是任一实数，则k nk nx k n x ∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(. 推论1.6 设n 是正整数，则（1）)0(20≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n k n nnk .（2）)1(0)1(0≥=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∑=n k n n k k.1.5 二项式反演公式 二项式反演公式引理1.1 设n ，s 是非负整数且s n ≥，对于每个非负整数k )(n k s ≤≤，),,1,(,k s s i a i k ⋅⋅⋅+=是复数，则∑∑∑∑=====n s i nik i k n s k k si i k a a ,,★ 定理1.18 （二项式反演公式） 设 {}0≥n n a 和 {}0≥n n b 是两个数列，s 是非负整数，如果对任意的不小于s 的整数n ，都有k nsk n b k n a ∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，则对任意的不小于s 的整数n 。

都有k ns k kn n a k n b ∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)1(.有限集的覆盖设A 是n 元集，以)(*A P 表示A 的全体非空子集所成之集，则12)(*-=n A P ，)(*A P 共有1212--n 个非空子集.☻ 定义1.13 设A 是n 元集，)(*A P ⊆Γ，如果 Γ∈=F A F ，则称Γ是n 元集A 的一个覆盖.☻ 定义1.14 如果Γ是n 元集A 的一个覆盖且m =Γ，则称Γ是n 元集A 的一个m-覆盖. 多元二项式反演公式★ 定理1.20 设 r s s s ,,,21⋅⋅⋅ 是r 个给定的非负整数，又设对任意的r 个非负整数),,2,1,(,,,21r i s n n n n i i r ⋅⋅⋅=≥⋅⋅⋅，),,,(),,,(2121r r n n n g n n n f ⋅⋅⋅⋅⋅⋅及都是实数，且),,,(),,,(211,,2,121r i i ri ri n k s r k k k g k n n n n f i i i ⋅⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅⋅∏∑=⋅⋅⋅=≤≤. 则对任意r 个非负整数),,2,1,(,,,21r i s n n n n i ir ⋅⋅⋅=≥⋅⋅⋅，有),,,()1(),,,(211,,2,121r i i ri k n ri n k s r k k k f k n n n n g ii i i i ⋅⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅⋅⋅∏∑=-⋅⋅⋅=≤≤.。