充分发展：
本节考察管道中在距管道入口相对远处的流动状况。这时 流体的速度分布沿流动方向不再变化，这种流动称为充分 发展的层流流动， u 。x 0
圆管内的层流流动分析
几何坐标如图，求速度、切应力。 取如图所示的微元控制体 (长dz,厚dr的同心圆环柱体)
一维、充分发展：u x 0 且微元体为矩形，故有：
《冯·卡门自传》中写道：“20年代德国著名物理学家Arnold Sommerfeld 有一次对我说，他盼望有生之年弄明白两个自然词汇: 量子力学和湍流。 30多年以后他去世了。我看他那时对开辟现在物理学发展道路的量子力 学真的是多少已有所了解，而对湍流的认识却依然如故。”
稳态湍流流场：虽然各个流场参数(如速度u)的瞬时u 变化无规律
λ
用平均速度表示： hf

8 Lum R2 g

64 Dum
L um2 D 2g
D 2R
达西－怀斯巴赫公式 （Darcy-Weisbach)
hf
L um2
D 2g
即流动阻力系数λ的定义为:

L
p
D um2
2
因此可得阻力系数： 64 64
um D / Re
湍流研究先驱们对湍流如是描述：
– O. Reynolds： • 蜿蜒曲折、起伏不定的流体运动(sinuous motion) – G. I. Taylor & von Karman: • 流体流过固体表面或剪切流动中出现的不规则流动 – J. O. Hinze: in Turbulence • 不规则流体运动，物理量随时间、空间呈随机变化 • 可分为壁面湍流和自由湍流 (wall turbulence, free turbulence)
【例5-3】圆管中充分发展流动断面上的压力分布
解: 取如图微元控制体。r和θ方向速度
均为0, 且受力平衡,
。
由
可得：
考虑
并略去三阶小量：
此处 可见p0不是r的函数，也不是θ的函数，最 多只是z的函数。
圆形套管内充分发展的层流流动
圆形套筒充分发展层流
微元体的选取及受力和圆管相同
切应力分布方程:
yx
um


1 R2 (1
k2)
R
u2 rdr
kR

p L
R2
8
(1


k2)

1k2
ln(1 /
k
)

体积流量:
qV
R2 (1 k 2 )um

p L
R4 8
(1

k
4
)

(1 k ln(1 /
2 )2 k)

非圆管道的阻力系数:
圆形套筒充分发展层流
3) 不同类型的问题中，导致流动转捩的机理不同；雷诺数定义中 采用的特征长度和特征速度也不尽相同，因此临界雷诺数的具体 数值不同。例如：
平板边界层： Re=ρux/μ，x为观察点到平板前端的距离，临界雷诺 数Recr =3×105～ 3×106； 圆柱绕流：Re=ρuD/μ，D为圆柱直径，包含多个临界点，工程计 算中绕流问题的临界雷诺数一般取Recr =20000。
速度分布:
u

R2
4
p L

1


r 2
R

应用条件：圆管；牛顿流体；
层流
圆管中充分发展的层流
r zR
u
rz
可见对于圆管中充分发展 的层流，沿着半径方向
•速度为抛物线分布； •切应力为线性分布。
最大速度：
umax

R2
4
p L
(r＝0处)
圆管中充分发展的层流
可见套管内芯的加入，使得流速只增大万分之一，但因为流场的 改变，压降增加了27.7％。
9.1.3 湍流及其基本特征
稳态层流：流动参数(压力场、速度场、温度场)不随时间变化，
只随空间位置变化。
湍流：是一种高度复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流动。湍
流流场中各点的参数(速度、压力、温度等)都随时间与空间发生 随机的变化。物理结构上，可以把湍流看作是由各种不同尺度的 涡旋(eddy)叠合而成的流动，而这些涡旋的大小和旋转轴的方向 分布在时间和空间上都是随机的。
因记左-rΔp侧*r/只L=是∂pr的*z /∂函z，数积而分右可侧z得只切是应z的力函分数布因方此程可：知：pz const
yx

p L
r 2

C1 r
应用条件：圆管与圆形套管；牛顿流体 和非牛顿流体均适用。
牛顿流体
rz


du dr
du p r C1
dr L 2 r
(x,
y,
z,t)

1 t
t t
t (x,
y,
z, t )dt
例如时均速度：
u
(x,
y,
z,t)

1 t
tt,u简(x记, y,为z,t：)dt t
u
瞬时参数可分解为时均值与脉动值之和：u u u
这一分解称作雷诺分解。
显然，脉动值的时均值等于零：
( u u等 u号 两边再求时均即得)
对于雷诺实验中的圆管，雷诺数的定义是：
Re ud
ρ: 流体密度。雷诺实验中采用的流体是水。 u: 圆管横截面上的平均流动速度 d: 圆管直径 μ: 动力黏度
雷诺实验中发现：
• Re<2300, 层流； • Re>4000, 湍流； • Re＝2300~4000，过渡区，与流动环境有关；

说明:


1 r

r rz
r


p z


g
cos


2
rdrdz
其中略去了三阶无穷小drdrdz
圆管中充分发展的层流
r
P0 z R
g
β
u
L
pl
p
rz

rz
r
dr
u
rz
dr
gβ dz
r p p dz u z
圆管层流与微元控制体
故微元体在z方向的动量方程为：
1) 重复性实验发现，当流速从大到小变化时，湍流向层流的转变 点(称为转捩点, transition point)的雷诺数总在2300左右且变化不大； 但速度从小到大变化时转捩点的雷诺数则在过渡区中变化较大。
2) 圆管中Re＝2300被称为圆管流动的临界雷诺数，记作Recr。工 程计算中为简单起见，Re<2300当作层流计算，Re>2300则可当作 湍流计算。
定义水力当量直径: Dh 4A P
A: 管道通流面积，P: 管道截面浸润周边长度，简称湿周。
因此圆形套筒的当量直径为：
Dh

4A P

4

R2

kR 2

2 R 2 kR

D 1 k
其中：D=2R
则圆形套筒层流的阻力系数λ为:

p
1 64
L Dh um2 2 Re
其中：Re
umD 1 k ,



1 1

k k
2 2

1 ln k

1 k2
【例5-5】套管与圆管流动阻力比较
外筒内径均为R，流体相同，流量均为qV。套管内管0.01R。 解: 由已知k=0.01, 据圆筒和套筒各自的平均速度与qV的关系得：
又据压降计算式，可得两管压降之比为：
关于平板边界层和绕流问题，本章最后将简单介绍。
9.1.2 (§5.3) 圆管内充分发展层流流动
在学习湍流前，先讨论圆管内和圆形套管内两种充分 发展的层流流动。
层流状态：
前面雷诺实验看出：层流时宏观运动规则、稳定，流线平直， 流体层与层之间无宏观的横向掺混，仅有分子扩散和分子黏 性的作用，切应力服从牛顿剪切定律。三维层流情况下，内 应力(切应力、正应力)服从牛顿流体的本构方程(广义的牛顿 剪切定律)。


r R
2


1 k2 ln(1/ k)
ln

r R

r0 R
1 k2 2ln(1/ k)
umax

R2
4
p L
1
1 k2 2 ln(1/ k)
1

ln


1 k 2
2
ln(1
/
k)


平均速度：
1883年, Osborne Reynolds著名的雷诺实验，揭示出粘性 流体有两种性质不同的流动状态：层流和湍流
雷诺实验, O. Reynolds(1883)
染色示踪剂 水
染色示踪 剂喷头
阀门
层流 过渡状态 湍流
流态判定
流动从层流型态过渡到湍流型态的过程是一个流动失 稳的过程，称为流动型态的转捩(liè,“烈”)，其判定 指标为雷诺数Re.
速度分布方程：
u
p r2
L 4

C1

ln
r

C2
应用条件:圆管与圆 形套管,牛顿流体
要确定积分常数C1和C2, 该如何做？
边界条件: du 0,u 0
dr r0
rR
将边界条件代入方程有, 应力分布:
rz

p L
r 2
应用条件：圆管；牛顿流体
/非牛顿流体；层流
第9章 管内流体流动